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leetcode322零钱兑换(背包问题)

leetcode322零钱兑换(背包问题)

目录

题目

背包状态转移方程

0-1背包

完全背包

解决方案


题目

给你一个整数数组 coins ,表示不同面额的硬币;以及一个整数 amount ,表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

背包状态转移方程

0-1背包

weight[]={1,3,1} 表示物品的重量,value[] ={15,30,20}表数物品的价值,  求背包承受重量是maxWeight  = 4时,这个背包能够装的重大价值。

dp[i][j]表示,前i个物品,重量为j时的最大价值。

0-1背包dp[i][j]求值可以转换成2种情况

 dp[i-1][j]   第i个物品不放入背包的价值

dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]   第i个物品放入背包的价值

}

(1)转移方程

  二维数组

dp[i][j] = max {  dp[i-1][j]    ,   dp[i-1][j-weight[i]]+value[i] }

 一维数组

dp[j] = max{ dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i]   }

一维很难理解,今天看到一个别的的理解

dp[j]= max{dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i] }

(2)代码实现

二维数组方案

  1. public static int maxValue(int[] weight, int[] value, int maxWeight) {
  2. int n = weight.length;
  3. if (n == 0) return 0;
  4. int[][] dp = new int[n + 1][maxWeight + 1];
  5. for (int i = 1; i <= n; i++) {
  6. for (int k = 1; k <= maxWeight; k++) {
  7. // 存放 i 号物品(前提是放得下这件物品)
  8. if(k>=weight[i-1]){
  9. dp[i][k] = Math.max(dp[i - 1][k], dp[i-1][k-weight[i-1]]+value[i-1]);
  10. }else{
  11. dp[i][k] = dp[i - 1][k];
  12. }
  13. }
  14. }
  15. return dp[n][maxWeight];
  16. }

一维数组方案

需要注意,状态转移方程是从后往前推。跟完全背包不一样 

  1. public static int maxValue(int[] weight, int[] value, int W) {
  2. int n = weight.length;
  3. if (n == 0) return 0;
  4. int[] dp = new int[W + 1];
  5. for (int i = 0; i < n; i++) {
  6. //只要确保 k>=weight[i] 即可,而不是 k>=1,从而减少遍历的次数
  7. for (int k = W; k >= weight[i]; k--) {
  8. dp[k] = Math.max(dp[k - weight[i]] + value[i], dp[k]);
  9. }
  10. }
  11. return dp[W];
  12. }

完全背包

二维数组

dp[i][j] = max{    dp[i-1][j],      dp[i][j-weight[i]]+value[i]}

一维数组

dp[j] = max{ dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i]   }

完全背包和0-1背包,状态转移方程很像,只有标红部分不同。

解决方案

回到322这个题目,这题是完全背包问题

dp[i][j]表示前N种硬币,总金额是j时,最少的数据量。

dp[i][j]=min{dp[i-1][j],   dp[i][j-coin[i]]+1 }

初始化dp[0][0]=0,默认金币个数是0时,都是不可实现方案,初始化dp[0][i]等于某个很大的值

  1. public static int coinChange(int[] coins, int amount) {
  2. if (amount == 0) {
  3. return 0;
  4. }
  5. int[][] dp = new int[coins.length + 1][amount + 1];
  6. int initValue = Integer.MAX_VALUE / 2;
  7. dp[0][0] = 0;
  8. for (int i = 1; i < amount + 1; i++) {
  9. dp[0][i] = initValue;
  10. }
  11. for (int i = 1; i < coins.length + 1; i++) {
  12. for (int j = 0; j <= amount; j++) {
  13. if (j >= coins[i - 1]) {
  14. dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i - 1]] + 1);
  15. } else {
  16. dp[i][j] = dp[i - 1][j];
  17. }
  18. }
  19. }
  20. return dp[coins.length][amount] == initValue ? -1 : dp[coins.length][amount];
  21. }

一维实现方案

public static int coinChange1(int[] coins, int amount) {
    if (amount == 0) {
        return 0;
    }
    int[] dp = new int[amount + 1];
    int initValue = Integer.MAX_VALUE / 2;
    Arrays.fill(dp, initValue);
    dp[0] = 0;
    for (int i = 1; i < coins.length + 1; i++) {
        for (int j = coins[i - 1]; j < amount+1; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i - 1]] + 1);
        }
    }
    return dp[amount] == initValue ? -1 : dp[amount];
}
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