素数的高效算法_产生大素数最高效的算法的复杂度

素数最简单的判断方法是采用枚举，复杂度为O（n）。（这里不作解释）

这里将介绍下列几点：
1）素数判断，复杂度为O（√n）的原理及代码。
2）素数表的获取。
3）更为高效判断素数的"筛选法"。

（一）素数判断
这里介绍复杂度为O（√n）的原理：
例：2~n-1中存在n的约数，不妨设为k，即n%k==0，那么由k*（n/k）==0，n/k也是n的一个约数，因此得到了k与n/k中一定满足：一个数小于√n，一个数大于√n。
这里稍作解释：√n*√n=n，而k*n/k=n，因此一个约数小于√n，一个约数大于√n。
启示：只需判断n能否被2，3...，|_√n_|中的一个整除即可（其中|_√n_|表示向下取整）。

在此注意sqrt()函数的用法：
1）传入的参数应为浮点型。
2）返回的类型也为浮点型。

因此：请严格按照标准来书写代码。

bool isPrime(int n){
	if(n<=1) return false;
	int sqr=(int)sqrt(1.0*n);
	for(int i=2;i<=sqr;i++){
		if(n%i==0) return false;
	}
	return true;
}

可能你还有看到其他更为简单的写法如：

bool isPrime(int n){
	if(n<=1) return false;
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
		if(n%i==0) return false;
	}
	return true;
}

建议新手不要使用此简单的写法，原因：在n接近int类型范围上界时，i*i极有可能越界溢出。（当然n在10^9以内是绝对安全的）
不过这也是有解决办法的：将i定义为long long类型即可。

（二）获取表
方法：从1~n枚举，判断每个数是否为素数。
时间复杂度：一部分O（n），另一部分O（n√n），因此获取表的复杂度为O（n*n√n）。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
//求100以内素数表 
bool isPrime(int );
int prime[101],Num=0;
void Find_Prime(){
	for(int i=1;i<101;i++){
		if(isPrime(i)==true){
			prime[Num++]=i;
		}
	}
}
 
//判断n是否为素数 
bool isPrime(int n){
	if(n<=1) return false;
	int sqr=(int)sqrt(1.0*n);
	for(int i=2;i<=sqr;i++){
		if(n%i==0) return false;
	}
	return true;
}
int main(){
	Find_Prime();
	for(int i=0;i<Num;i++) {
		printf("%d ",prime[i]);
	}
	return 0;
} 

（三）筛选法求素数
原理：把2到n中所有的数都列出来，然后从2开始，先划掉n内所有2的倍数，然后每次从下一个剩下的数（必然是素数）开始，划掉其n内的所有倍数。最后剩下的数，就都是素数。

具体过程：自己百度。

int prime[101],Num=0;
bool p[101]={0};//如何为素数则为false 
void Find_Prime(){
	for(int i=2;i<101;i++){
		if(p[i]==false){
			prime[Num++]=i;
			for(int j=i+i;j<101;j=j+i){
				p[j]=true;
			}
		}
	}
}

时间复杂度为O(nloglogn)