A*算法，简单实现八数码问题_a 算法实现八数码与a*算法实现八数码

A*算法求解N数码问题的设计与实现

Table of Contents

任务要求：

1. 关于A*算法：

2. 算法复杂度：

3. Solution：

4. CODE

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任务要求：

1. 以八数码问题为例实现A*算法的求解程序（编程语言不限），要求设计两种以上的不同估价函数；
2. 在求解八数码问题的A*算法程序中，设置相同的初始状态和目标状态，针对不同的估价函数，求得问题的解，并比较它们对搜索算法性能的影响，包括扩展节点数、生成节点数等；
3. 对于八8数码问题，设置与上述2相同的初始状态和目标状态，用宽度优先搜索算法（即令估计代价h(n)＝0的A*算法）求得问题的解，以及搜索过程中的扩展节点数、生成节点数；
4. 上交源程序（要求有代码注释）。

1. 关于A*算法：

A*算法的核心代价函数的设计，loss = g + h，g为当前状态深度，h是关键，h代表当前状态到达目标状态的估计值，h必须满足某些条件，而最重要的条件是h < r，r为当前状态到目标状态的估计值。

以实例理解上述条件。例如在八数码问题中，h可以被设计为“各个数到目标状态需要走的步数的和”，这显然是小于真实需要步数和的，h也可以被设计为“各个数和目标状态不同的个数和”，这个条件显然比第一个条件更加宽松，必然小于真实需要步数。以上即为本次设计的两个代价函数。

另一个例子是连续地图中的寻路算法，h一般设计为欧式距离，即直线距离，这显然比真实需要走的路要短（可能有障碍，弯路等等）。

通过以上两个例子，我们可以直观地理解，为什么估计值h必须小于真实值，但要尽可能的大，接近真实值的下界。例如寻路算法中，你估算的距离越接近真实距离，那么你启发式找到可能的路径就会越准确。理论上，可以严格证明满足这些条件，必然可以找到最优解。

从另一个角度来审视A*算法，它可以视为以代价为步长的广度优先算法，这一点要从代码实现上才能感受到。每次都优先处理代价最小的状态，如果观察搜索树，将会看到它在整个搜索数的节点之间无序跳动（选全局估计代价最小）。

再次，例如在寻路算法中，A*算法在实际运行中，类似于我们人类在找两点之间的最快路径，尽管我们无法确定中间要从何处绕开障碍，但是我们却知道要忘目标靠。下面是A*算法运行实例，它在每个状态，都会对目标计算一次欧式距离，以此约束选择，就仿佛被欧式距离牵引到目标状态一样。

2. 算法复杂度：

1. 广度优先搜索，算法复杂度为O(4^n)，或者从另外的角度，八字码的所有状态为n个数字的全排列，估计O(n!)。
2. A*算法的好坏和代价函数h的设计密切相关，h必须尽可能小于并贴近真实代价，这样朝目标贴近的方向越笔直（参考上图），算法的一个上界和广度搜索是一样的，但实际上可以很快，我感觉在一些问题中可以接近线性复杂度。
3. A*算法的空间消耗非常大，和实际复杂度类似，它需要保存每个状态，同样和h的设计相关。
4. 过小的h的估计，会导致“这条路比较最短，我要深入下去，但其实这条路是错的”这种现象，即会在错误的路上深入太深，h太小，那么g就要越大才会发现走错，越深的搜索，节点增长得越快，越接近指数级别。

3. Solution：

 

init_state

[[3 1 7]

 [6 8 0]

 [4 2 5]]

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