- 1sql之多数据字段值拼接以及去重_sql server 字符 去重 连建
- 2linux(二) -- vim编辑器_vim编辑器是从vi发展出来的一个性能更强大的文本编辑器有三种模式分别是一般模式
- 3《旅游学概论》总复习题及参考答案_旅游概论复习资料
- 4内行都在学的大模型黑书！外网爆火LLM手册_基于gpt-3、chatgpt、gpt-4等transformer架构的自然语言处理
- 5rabbitmq充分利mysql_牛逼哄哄的 RabbitMQ 到底有啥用？
- 6数据仓库（Data Warehouse）建设的流程[web业务交互之外部分]
- 7stable diffusion ——img2img Api参数数据格式参考，插件包含ControlNet和roop换脸
- 8情感分析的新方法_情感分析属于什么研究方法
- 9SwiftData 教程之摆脱 CoreData 的复杂性，构建 SwiftData 应用程序的终极指南
- 10深度阐述数据建模及可视化系统技术方案_数据分析可视化系统
计算方法-常微分方程初值问题的数值解法_隐式欧拉方程
赞
踩
常微分方程的初值问题
y ′ ( x ) = f ( x , y ) y ( x 0 ) = y 0 y'(x)=f(x,y) \\\quad\\ y(x_0)=y_0 y′(x)=f(x,y)y(x0)=y0
常微分方程问题的初值解法
一、欧拉公式
y n + 1 = y n + h f ( x n , y n ) y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n) yn+1=yn+hf(xn,yn)
- h h h为步长，即 x n x_n xn 到 x n + 1 x_{n+1} xn+1间的距离 ( x n + 1 − x n ) (x_{n+1}-x_n) (xn+1−xn)。
- f ( x n , y n ) f(x_n,y_n) f(xn,yn)为 ( x n , y n ) (x_n,y_n) (xn,yn)点的斜率。
二、隐式欧拉公式
y
n
+
1
=
y
n
+
h
f
(
x
n
+
1
,
y
n
+
1
)
y_{n+1}=y_n+hf(x_{n+1},y_{n+1})
yn+1=yn+hf(xn+1,yn+1)
即采用了后面点的斜率作为两点连线的斜率。
从上方公式可以看出，求常微分方程的初值问题的关键是：
如何选取一个合适的斜率
f
′
(
ξ
)
f'(\xi)
f′(ξ)使得
y
n
+
1
y_{n+1}
yn+1的值最为精确
y
n
+
1
=
y
n
+
(
x
n
+
1
−
x
n
)
∗
f
′
(
ξ
)
,
ξ
∈
(
x
n
,
x
n
+
1
)
y_{n+1} = y_n + (x_{n+1}-x_n)*f'(\xi),\quad\xi\in (x_n,x_{n+1})
yn+1=yn+(xn+1−xn)∗f′(ξ),ξ∈(xn,xn+1)
- 欧拉方法使用 x n x_n xn点的斜率近似
- 隐式欧拉方法使用 x n + 1 x_{n+1} xn+1点的斜率近似
但我们如果将欧拉公式和隐式欧拉公式的斜率平均会不会得到更为近似的斜率呢？
为此引出梯形公式
三、梯形公式
y n + 1 = y n + h [ f ( x n , y n ) + f ( x n + 1 , y n + 1 ) ] 2 y_{n+1}=y_n+h\frac{\left[ f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})\right]}{2} yn+1=yn+h2[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)]
但如何求解隐式公式：
如果
y
′
(
x
)
=
f
(
x
,
y
)
y'(x)=f(x,y)
y′(x)=f(x,y)中，f(x,y)只包含y的一次项 (即
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)是
y
y
y的线性函数）)，则可显示计算。
但若不是线性函数，则需要用迭代法计算。
迭代公式:
y
n
+
1
0
=
y
n
+
h
f
(
x
n
,
y
n
)
y
n
+
1
(
k
+
1
)
=
y
n
+
h
2
[
f
(
x
n
,
y
n
)
+
f
(
x
n
+
1
,
y
n
+
1
k
)
]
y_{n+1}^0=y_n+hf(x_n,y_n) \\ y_{n+1}^{(k+1)} = y_n + \frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1}^k)]
yn+10=yn+hf(xn,yn)yn+1(k+1)=yn+2h[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1k)]
上标为迭代次数，第一次迭代使用欧拉公式确定一个近似值。
改进的欧拉公式
为了编程方便，且具有较好的精确度，一般采用改进的欧拉公式。
{
T
1
=
y
n
+
h
f
(
x
n
,
y
n
)
T
2
=
y
n
+
h
f
(
x
n
+
1
,
T
1
)
y
n
+
1
=
T
1
+
T
2
2
两步欧拉公式（中点公式）
两步欧拉公式：用前两步的值作为迭代初值，用前一步的斜率作为两步间的斜率。
y
n
+
1
=
y
n
−
1
+
2
h
f
(
x
n
,
y
n
)
y_{n+1} = y_{n-1}+2hf(x_n,y_n)
yn+1=yn−1+2hf(xn,yn)
中点公式：
y
n
+
1
=
y
n
+
2
h
f
(
x
2
n
+
1
2
,
y
2
n
+
1
2
)
y_{n+1} = y_{n}+2hf(x_{\frac{2n+1}{2}},y_{\frac{2n+1}{2}})
yn+1=yn+2hf(x22n+1,y22n+1)
如何判断以上方法的精度？
局部截断误差
T n + 1 = y ( x n + 1 ) − y ( x n ) − h ∗ φ ( x n , x n + 1 , y ( x n ) , y ( x n + 1 ) , h ) T_{n+1} = y(x_{n+1})-y(x_n)-h*\varphi(x_n,x_{n+1},y(x_n),y(x_{n+1}),h ) Tn+1=y(xn+1)−y(xn)−h∗φ(xn,xn+1,y(xn),y(xn+1),h)
φ ( x n , x n + 1 , y ( x n ) , y ( x n + 1 ) , h ) \varphi(x_n,x_{n+1},y(x_n),y(x_{n+1}),h ) φ(xn,xn+1,y(xn),y(xn+1),h)为各种方法中的斜率近似值函数
T
n
+
1
=
O
(
h
p
+
1
)
T_{n+1}=O(h^{p+1})
Tn+1=O(hp+1)则称该方法是具有p阶精度的。
含
h
p
+
1
h^{p+1}
hp+1的项称为局部截断误差主项。
求解截断误差需要使用泰勒展开：
y
n
+
1
=
y
(
x
n
)
+
h
y
′
(
x
n
)
+
h
2
2
!
y
′
′
(
x
n
)
+
.
.
.
+
h
p
p
!
y
(
p
)
(
x
n
)
+
O
(
h
p
+
1
)
y_{n+1} = y(x_n) + hy'(x_n)+\frac{h^2}{2!}y''(x_n)+...+\frac{h^p}{p!}y^{(p)}(x_n)+O(h^{p+1})
yn+1=y(xn)+hy′(xn)+2!h2y′′(xn)+...+p!hpy(p)(xn)+O(hp+1)
式中：
y
′
′
(
x
)
=
f
x
′
(
x
,
y
)
+
f
y
′
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
)
y
′
′
′
(
x
)
=
f
x
x
+
2
f
∗
f
x
y
+
f
∗
f
y
y
+
y
′
′
(
x
)
f
y
y''(x) = f'_x(x,y)+f'_y(x,y)f(x,y) \\y'''(x) = f_{xx}+2f*f_{xy}+f*f_{yy}+y''(x)f_y
y′′(x)=fx′(x,y)+fy′(x,y)f(x,y)y′′′(x)=fxx+2f∗fxy+f∗fyy+y′′(x)fy
龙格-库塔方法（Runge-Kutta）
通过多个采样点，加权近似精度最高的斜率。
即构造方程组，使得局部截断误差达到最小。
经典四阶龙格-库塔方法
{
y
n
+
1
=
y
n
+
h
6
(
k
1
+
2
k
2
+
2
k
3
+
k
4
)
k
1
=
f
(
x
,
y
)
k
2
=
f
(
x
n
+
h
2
,
y
n
+
h
2
k
1
)
k
3
=
f
(
x
n
+
h
2
,
y
n
+
h
2
k
2
)
k
4
=
f
(
x
n
+
h
,
y
+
h
k
3
)
