基于多相滤波器的数字信道化算法详解_基于多相滤波的信道化

本文详细介绍了基于多相滤波器的数字信道化算法的推导过程, 如果您在阅读的过程中发现算法推导过程中有任何错误, 请不吝指出.
此外, 进入我的Github仓库polyphase , 可查看基于多相滤波器的数字信道化算法的Python代码实现; Matlab代码可从我的资源中下载. 感兴趣的小伙伴可以下载使用, 希望对大家有所帮助.

推导过程

多相滤波信道化是对传统信道化结构的改进, 通过各支路共用一个低通滤波器提高资源的利用率, 同时采用多相抽取提高了后续滤波和 FFT 的运算效率. 给定输入信号为$x(n)$, 欲划分的信道数为$K$, 原型滤波器$h(n)$
的阶数为$N$, 且滤波器阶数能被信道数整除, 即$L=N/K$, 则原型滤波器的系统函数$H(z)$可表示为:

$$\begin{gathered} H(z)=\sum _{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n} \\ =h_0{z}^{-0}+h_K{z}^{-K}+...+h_{(L-1)K}{z}^{-(L-1)K} \\ +h_1{z}^{-1}+h_{K+1}{z}^{-(K+1)}+...+h_{(L-1)K+1}{z}^{-[(L-1)K+1]} \\ ... \\ +h_{K-1}{z}^{-(K-1)}+h_{2K-1}{z}^{-(2K-1)}+...+h_{LK-1}{z}^{-(LK-1)} \\ =z^{-0}(h_0+h_K{z}^{-K}+...+h_{(L-1)K}{z}^{-(L-1)K}) \\ +z^{-1}(h_1+h_{K+1}{z}^{-K}+...+h_{(L-1)K+1}{z}^{-(L-1)K}) \\ ... \\ +z^{-(K-1)}(h_{K-1}+h_{2K-1}{z}^{-K}+...+h_{LK-1}{z}^{-(L-1)K}) \\ =\sum _{k=0}^{K-1}(z^{-k}\sum _{l=0}^{L-1}{h}_{lK+k}{z}^{-lK})\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

令$e_r(l)=h(lK+r)$为原型滤波器$h(n)$的多相分量, 则

$$E_r(z)=\sum _{l=0}^{L-1}{e}_r(l)z^{-l}=\sum _{l=0}^{L-1}h(lK+r)z^{-l}\text{\hspace{1em}(2)}$$

那么$H(z)$可表示为

$$H(z)=\sum _{r=0}^{K-1}(E_r(z^K)z^{-r}\text{\hspace{1em}(3)}$$

传统数字信道化结构中, 第$k$路信道的实现框图如下图所示. 信号经过滤波后, 与复指数信号$e^{-2j\pi kn/K}$相乘, 实现正交下变频到基带信号. 其中, 滤波器$h_k(n)$的系统函数$H_k(z)$可表示为$h_k(n)=h_0(n)e^{2j\pi kn/K}$, $h_0(n)$为低通原型滤波器.

令$w_k=-2\pi k/K$,则复数乘法器的输出$v_k(n)$可表示为

$$\begin{gathered} v_k(n)=[x(n)\ast h_k(n)]e^{j{w}_{k}n} \\ =\sum _{i=0}^{N-1}x(n-i)[h_0(i)e^{-j{w}_{k}i}]e^{j{w}_{k}n} \\ =\sum _{i=0}^{N-1}x(n-i)[h_0(i)e^{j{w}_k(n-i)}]\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$

$\ast$: 卷积符号, 下同.

第$k$路的输出$y_k(m)$为

$$y_k(m)=v_k(n){|}_{n=Km}=\sum _{i=0}^{N-1}x(Km-i)[h_0(i)e^{j{w}_k(Km-i)}]\text{\hspace{1em}(5)}$$

令$i=lK+r$, 则上式可表示为

$$y_k(m)=\sum _{r=0}^{K-1}\sum _{l=0}^{L-1}x(Km-Kl-r)h_0(Kl+r)e^{j{w}_k(Km-Kl-r)}\text{\hspace{1em}(6)}$$

令$x_r(m-l)=x(K(m-l)-r)$, 结合原型滤波器$h(n)$的多相分量$e_r(l)=h(Kl+r)$, 上式可表示为

$$\begin{gathered} y_k(m)=\sum _{r=0}^{K-1}\sum _{l=0}^{L-1}{x}_r(m-l)e_r(l)e^{j{w}_k(Km-Kl-r)} \\ =\sum _{r=0}^{K-1}{e}^{-j{w}_{k}r}\sum _{l=0}^{L-1}{x}_r(m-l)e_r(l)e^{j{w}_{k}K(m-l)}\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$

$K$分别为奇数和偶数时, 信道分配采用如下图所示的方式进行排列

第 $k$ 路的中心频率 $w_k$ 为

$$w_k=-\pi +\frac{2\pi k+\pi }{K}\text{\hspace{1em}(8)}$$

将上式带入公式 (7) 得

$$y_k(m)=\sum _{r=0}^{K-1}{e}^{j(\pi -\frac{2\pi k+\pi }{K})r}\sum _{l=0}^{L-1}{x}_r(m-l)e_r(l)(-1{)}^{(K-1)(m-l)}\text{\hspace{1em}(9)}$$

注: $e^{-j\pi }=-1$, $x^{ab}=(x^a{)}^b$ ==> $e^{-j\pi (K-1)(m-l)}=(-1{)}^{(K-1)(m-l)}$

令

$$\begin{gathered} u_r(m)=\sum _{l=0}^{L-1}{x}_r(m-l)(-1{)}^{(K-1)(m-l)}{e}_r(l) \\ =x_r(m)(-1{)}^{(K-1)m}\ast e_r(m)\text{\hspace{1em}(10)} \end{gathered}$$

代入上式得

$$\begin{gathered} y_k(m)=\sum _{r=0}^{K-1}{u}_r(m)e^{j(\pi -\frac{2\pi k+\pi }{K})r} \\ =\sum _{r=0}^{K-1}{u}_r(m)e^{j\pi r}{e}^{-j\pi r/K}{e}^{-j(\frac{2\pi k}{K})r}\text{\hspace{1em}(11)} \end{gathered}$$

N点的DFT定义为 $X(k)=DFT[x(n)]={\sum }_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-2j\pi kn/N}$

$m_i$时刻, 各个信道的输出为
Y m i ( k ) = { y 0 ( m i ) , y 1 ( m i ) , y 2 ( m i ) , . . . , y K − 1 ( m i ) } (12) Y_{m_i}(k) = \{y_0(m_i), y_1(m_i), y_2(m_i), ... ,y_{K-1}(m_i) \} \tag{12} Ymi​​(k)={y0​(mi​),y1​(mi​),y2​(mi​),...,yK−1​(mi​)}(12)
$$=DFT[u_r(m)(-1{)}^r{e}^{j\pi r/K}]{|}_{m=m_i}$$

总结

以上是多相滤波数字信道化结构的推导过程. 对推导过程总结如下:

1. 对输入信号 $x(n)$ 和滤波器系数 $h_0(n)$ 进行多相分解, 即
   $$x_k(m)=x(Km+k)\text{\hspace{1em}(13)}$$
   $$e_k(m)=h_0(Km+k)\text{\hspace{1em}(14)}$$
2. 对分解后的多相信号$x_k(m)$乘以指数 $(-1{)}^{(K-1)m}$
3. 将上一步的输出同多相滤波器系数 $e_k(m)$ 进行卷积运算得到 $u_k(m)$, 即

$$u_k(m)=x_k(m)(-1{)}^{(K-1)m}\ast e_k(m)\text{\hspace{1em}(15)}$$

4. 将 $m_i$ 时刻多相滤波器的输出 $u(k{|}_{m=m_i})=u_k(m_i)$ 分别乘以复指数 $(-1{)}^k{e}^{j\pi k/K}$, 得
   $$v(k{|}_{m=m_i})=u(k{|}_{m=m_i})(-1{)}^k{e}^{j\pi k/K}\text{\hspace{1em}(16)}$$
5. 对上一步得到的 $v(k{|}_{m=m_i})$ 作 $K$点的 DFT 得到$m_i$
   时刻的输出向量
   $$Y(m_i)=DFT[v(k{|}_{m=m_i})]\text{\hspace{1em}(17)}$$

由此得到的多相滤波信道化原理结构框图如下图所示.

仿真

使用python对多相滤波数字信道化算法进行仿真. 代码如下:

from scipy.signal import chirp, remez
import matplotlib.pyplot as plt
# [how to install `polyphase`](https://github.com/falwat/polyphase)
from polyphase import Channelizer
from numpy import arange, real, imag
from numpy.fft import fft, fftshift

 # 通道数
channel_num = 8
# 采样率
fs = 1280000

f0 = 0
f1 = fs/2
t1 = 1


# 
T = 1

t = arange(0, int(T*fs)) / fs

# 生成一个chirp信号
s = chirp(t, f0, t1, f1)

# 创建原型滤波器
cutoff = fs / channel_num / 2    # Desired cutoff frequency, Hz
trans_width = cutoff / 10  # Width of transition from pass band to stop band, Hz
numtaps = 128      # Size of the FIR filter.
taps = remez(numtaps, [0, cutoff - trans_width, cutoff + trans_width, 0.5*fs],
                    [1, 0], Hz=fs)

# 创建信道化器    
channelizer = Channelizer(taps, channel_num)

ss = channelizer.dispatch(s)


segs = 500;
ns = int(fs/segs);
nss = int(ss.shape[1]/segs);


# 分段绘图
fig, axs = plt.subplots(3, 1)

for i in range(segs):
    s0 = s[i*ns:i*ns+ns]
    h0 = abs(fft(s0))
    ss0 = ss[0:4, i*nss:i*nss+nss]
    hh0 = abs(fftshift(fft(ss0)))
    for ax in axs:
        ax.cla()
    axs[0].set_title(r'original signal')
    axs[1].set_title(r'The spectrum of channelized signals')
    axs[2].set_title(r'Waveform of channelized signal(real part)')
    axs[0].plot(h0 / max(h0))
    axs[1].plot(abs(hh0.T / hh0.max()))
    axs[2].plot(real(ss0.T))
    plt.pause(0.05)
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仿真视频如下:

链接: 仿真视频