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朴素贝叶斯_试由表的训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器

作者：你好赵伟 | 2024-07-23 09:09:03

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试由表的训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器

朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理（ $P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$ ）与特征条件独立假设的分类方法。对于给定的训练数据集，首先基于特征条件独立假设学习输入/输出的联合概率分布；然后基于此模型，对给定的输入x, 利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出y。

2. 朴素贝叶斯特点

优点：在数据较少的情况下仍然有效，可以处理多类别问题

缺点：对于输入数据的准备方式较为敏感。

使用数据类型：标称型数据

3. 朴素贝叶斯法的学习与分类

3.1.1基本方法

设输入空间 $X \in R^{n}$ 为n维向量的集合，输出空间为类标记集合 $Y=\left \{ c_{1},c_{2},...,c_{k} \right \}$ 。输入特征为特征向量 $x\in X$ ，输出为类标记 $y\in Y$ 。 $x$ 是定义在输入空间上面的随机变量，是定义在输出空间 $Y$ 上面的随机变量。 $p\left ( x,y \right )$ 是x和y的联合概率分布，训练集

$\large T=\left \{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{N},y_{N}) \right \}$

由 $p\left ( x,y \right )$ 独立同分布产生。

朴素贝叶斯法通过训练数据集学习联合概率分布 $p\left ( x,y \right )$ 。具体地，学习以下先验概率分布和条件概率分布。先验概率分布：

$p(Y=c_{k}),\quad \quad k=1,2,...,K \quad \quad \quad (3.1)$

条件概率分布

$p(X=x|Y=c_{k})=p(X^{(1)}=x^{(1)},...,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_{k}),\quadk=1,2,...K \quad \quad (3.2)$

于是就学到了联合概率分布 $p\left ( x,y \right )$

条件概率有指数级数量的参数，其估计实际是不可行的。事实上，假设，假设 $x^{(j)}$ 可取值有 $S_{j}$ 个， $j=1,2,...,n$ ，Y可取值有K个，那么参数个数为 $K\prod_{j=1}^{n}S_{j}$ .

$\LARGE \Rightarrow$ 由 $x^{(j)}$ 可取值有 $S_{j}$ 个，可知

$x^{(1)}\rightarrow S_{1}$ 个取值；

$x^{(2)}\rightarrow S_{2}$ 个取值

......

$x^{(j)}\rightarrow S_{j}$ 个取值

又由于

$p(X=x|Y=c_{k})=p(X^{(1)}=x^{(1)},...,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_{k})$

$\LARGE \Rightarrow$ $p(X=x|Y=c_{k})=p(X^{(1)}=x^{(1)},...,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_{k}) \vspace{=p(X^{(1)}=x^{(1)}|Y=c_{k})\cdot p(X^{(2)}=x^{(2)}|Y=c_{k})\cdot ....\cdot p(X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_{k})} \vspace{=\prod_{j=1}^{n} p(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_{k}) \quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(3.3)}$

$\LARGE \Rightarrow$ 参数个数为

$S_{1} \cdot S_{2} \cdot S_{3}\cdot ... \cdot S_{j} \cdot K =K\prod_{j=1}^{n}s_{j}$

关于朴素贝叶斯的条件独立性假设的理解：

朴素贝叶斯分类时，对于给定的输入 $x$ 的，通过学习到的模型计算后验概率分布 $p(Y=c_{k}|X=x)$ ，将后验概率最大的类作为 $x$ 的类输出。后验概率计算根据贝叶斯定理可知：

$p(Y=c_{k}|X=x)=\frac{p(X=x|Y=c_{k})p(Y=c_{k})}{\sum_{k}^{ }p(X=x|Y=c_{k})p(Y=c_{k})} \quad \quad \quad \quad(3.4)$

推导过程如下：

由贝叶斯定理得

$p(Y=c_{k}|X=x)=\frac{p(X=x|Y=c_{k})p(Y=c_{k})}{p(X=x)}$

根据全概率公式可知

$p(X=x)=\sum_{k}^{ }p(X=x|Y=c_{k})p(Y=c_{k}),k=1,2,...,K$

所以可知

$p(Y=c_{k}|X=x)=\frac{p(X=x|Y=c_{k})p(Y=c_{k})}{\sum_{k}^{ }p(X=x|Y=c_{k})p(Y=c_{k})},\quad k=1,2,...,K (3.5)$

将式（3.3）带入式（3.4）得

$p(Y=c_{k}|X=x)=\frac{p(Y=c_{k})\prod_ {j}^{ }p(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_{k})}{\sum_{k} p(Y=c_{k})\prod_ {j}^{ }p(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_{k}) }$

这是朴素贝叶斯分类的基本公式，于是有朴素贝叶斯分类器可表示为

$y=f(x)=\arg \max_{c_{k}}\frac{p(Y=c_{k})\prod_ {j}^{ }p(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_{k})}{\sum_{k} p(Y=c_{k})\prod_ {j}^{ }p(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_{k}) },\quad \quad (3.6)$

又因为，在式中（3.7）分母对所有的 $c_{k}$ 都是相同的，所以

$y=\arg \max_{c_{k}}p(Y=c_{k})\prod_{j}p(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_{k}),\quad \quad (3.6)$

4.1.2后验概率最大化的含义

假设选择0-1损失函数：

$L(Y,f(X))=\left\{\begin{matrix} 1, \quad Y\neq f(X)\\ 0, \quad Y=f(X) \end{matrix}\right.$

式中 $f(X)$ 是分类决策函数。这时，期望风险函数为

$R_{exp}(f)=E\left [ L(Y,f(X)) \right ]$

期望是对联合分布 $p(X,Y)$ 取的，由此条件期望为

$R_{exp}(f)=E_{X}\sum_{k=1}^{K}\left [ L(c_{k},f(X)) \right ]p(c_{k}|X)$

具体这一步是怎么来的呢，如下所示：

要是期望风险最小，也就是这个图中的积分最小，那么对于任意的一个X=x在P(X=x)为常数条件下内层积分最小，即期望风险最小等价于条件期望最小。

而为了使得期望风险最小化，只需对X=x逐个极小化，则有：

$\huge \Rightarrow$ 由期望风险最小化就可以得到后验概率最大化准则：

$\large f(x)=\arg \max_{c_{k}}p(c_{k}|X=x)$

也就是朴素贝叶斯所采用的原理。

4. 朴素贝叶斯法的参数估计

4.1 极大似然估计

在朴素贝叶斯学习中，学习意味着估计 $\large p(Y=c_{k})$ 和 $\large p(x^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_{k})$ 。可以应用极大似然估计法估计相应的概率。先验概率 $\large p(Y=c_{k})$ 的极大似然估计是

$\large p(Y=c_{k})=\frac{\sum_{i=1}^{N}I(y_{i}=c_{k})}{N},\quad k=1,2,...,K \quad \quad \quad (4.1)$

设第j个特征 $\large x^{(j)}$ 可能取值的集合为 $\large \left \{ a_{j1},a_{j2},...,a_{js_{j}} \right \}$ ，条件概率 $\large p(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_{k})$ 的极大似然估计是

$\large p(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_{k})=\frac{\sum_{i=1}^{N}I(x^{(j)}=a_{jl},y_{i}=c_{k})}{\sum_{i=1}^{N}I(y_{i}=c_{k})}$

$\large j=1,2,...,n;\quad l=1,2,...,S_{j};\quad k=1,2,...,K \quad \quad \quad (4.2)$

式中， $\large x_{i}^{(j)}$ 是第i个样本的第j个特征； $\large a_{jl}$ 是第j个特征可能取的第 $\large l$ 个值； $\large I$ 为指示函数。

4.2 学习与分类算法

输入：训练数据

$\large T=\left \{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{N},y_{N}) \right \}$

其中 $\large x_{i}=(x_{1}^{(1)},x_{2}^{(2)},...,x_{i}^{(n)})^{\mathrm{T}}$ ， $\large x_{i}^{(j)}$ 是第i个样本的第j个特征， $\large x_{i}^{(j)}\in \left \{ a_{j1},a_{j2},...,a_{jS_{j}} \right \}$ ， $\large a_{jl}$ 是第j个特征可能取的第 $\large l$ 个值， $\large j=1,2,...,n,l=1,2,...,S_{j},\quad y_{i}\in \left \{ c_{1},c_{2},...,c_{k} \right \}$ ；实例 $\large x$ ；

输出：实例 $\large x$ 的分类。

（1）计算先验概率及条件概率

先验概率： $\large p(Y=c_{k})=\frac{\sum_{i=1}^{N}I(y_{i}=c_{k})}{N},\quad k=1,2,...,K$

条件概率： $\large p(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_{k})=\frac{\sum_{i=1}^{N}I(x^{(j)}=a_{jl},y_{i}=c_{k})}{\sum_{i=1}^{N}I(y_{i}=c_{k})}$

$\large j=1,2,...,n;\quad l=1,2,...,S_{j};\quad k=1,2,...,K$

（2）对于给定的实例 $\large x=(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(n)})^{\mathrm{T}}$ ，计算

$\large p(Y=c_{k})\prod _{j=1}^{n}p(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_{k}),\quad \quad k=1,2,...,K$

（3）确定实例 $\large x$ 的类

$\large y=\arg\max_{c_{k}}p(Y=c_{k})\prod_{j=1}^{n}p(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_{k})$

例1.试由表1的训练数据学习朴素贝叶斯分类器并确定 $\large x=(2,S)^{\mathrm{T}}$ 的类标记 $\large y$ ，表中 $\large X^{(1)},X^{(2)}$ 为特征，取值的集合分别为

$\large A_{1}={1,2,3},A_{2}=\left \{ S,M,L \right \},Y$ 为类标记， $\large Y\in C=\left \{ 1, -1 \right \}$

表1 训练数据

解答如下：

代码如下：


#!/usr/bin/env python3
#coding=utf-8
 
import numpy as np
 
class NaiveBeyes(object):
    #获取训练数据
    def getTrainSet(self):
        dataSet=np.array([[1,'S'],[1,'M'],[1,'M'],[1,'S'],[1,'S'],[2,'S'],[2,'M'],[2,'M'],[2,'L'],[2,'L'],[3,'L'],        [3,'M'],[3,'M'],[3,'L'],[3,'L']])
        labels=[-1,-1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,-1]
        return dataSet,labels
 
    def classify(self,trainData,labels,features):
        #先计算先验概率
        #用于存放不同类别的先验概率
        labelProb={}
        for label in labels:
            labelProb[label]=labels.count(label)/float(len(labels))
 
        #计算特征和标签同时发生的概率
        # 用来存放特征和标签同时发生时的概率
        p_xy = {}
        for tagvalue in labelProb.keys():
 
            #获取Labels中出现tagvalue值的所有数值的下标索引
            tagvalueIndex=[index for index,label in enumerate(labels) if label==tagvalue]
            for i in range(len(features)):
                #获取features中的值在训练集中出现的所有下标索引
                x_index=[index for index,feature in enumerate(trainData[:,i]) if feature==features[i]]
                xy_count=len(set(tagvalueIndex) & set(x_index)) #如果它们索引相同，说明它们特征和标签同时发生
                key=str(features[i])+'*'+str(tagvalue)
                p_xy[key]=xy_count/float(len(labels))
 
        #计算条件概率
        #创建空字典，并将条件概率存入其中
        prob={}
        for tagvalue in labelProb.keys():
            for feature in features:
                pkey=str(feature)+'|'+str(tagvalue)
                prob[pkey]=p_xy[str(feature)+'*'+str(tagvalue)]/float(labelProb[tagvalue])
 
        #计算[2,S]所属类别
        #创建空字典用于存放[2,S]所属不同类别的概率
        resultProb={}
        for tagvalue in labelProb.keys():
            resultProb[tagvalue]=labelProb[tagvalue]
            for x in features:
                resultProb[tagvalue]=resultProb[tagvalue]*prob[str(x)+'|'+str(tagvalue)]
        #max(dict,key=dict.get)表示获取字典中值最大所对应的键
        result_feature=max(resultProb,key=resultProb.get)
        return result_feature
 
if __name__=='__main__':
    NB=NaiveBeyes()
    #训练数据
    trainData,labels=NB.getTrainSet()
    features=np.array([2,'S'])
    result=NB.classify(trainData,labels,features)
    print("[2,'S']的类别标记为:{}".format(result))

4.3贝叶斯估计

用极大似然估计可能会出现所要估计的概率值为0的情况，这时会影响到后验概率的计算结果，使分类产生偏差。解决这一问题的方法是采用朴素贝叶斯估计。具体的是如下所示：

$\large p_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_{k})=\frac{\sum_{i=1}^{N}I(x_{i}^{(j)}=a_{jl},y_{i}=c_{k})+\lambda }{\sum_{i=1}^{N}I(y_{i}=c_{k})+S_{j} \lambda } \quad (4.3)$

式中 $\large \lambda \geq 0$ 。等价于在随机变量各个取值的频数上赋值一个正数 $\large \lambda >0$ 。当 $\large \lambda =0$ 时就是极大似然估计。常取 $\large \lambda =1$ ，这时称为拉普拉斯平滑。显然，对于任何 $l=1,2,...,S_{j},\quad k=1,2,...,K$ ，有

$\large p_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_{k})> 0$

$\large \sum _{l=1}^{S_{j}}p(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_{k})= 1$

表明式（4.3）确实是一个概率分布，同时，先验概率的贝叶斯估计为

$\large p_{\lambda }(Y=c_{k})=\frac{\sum_{i=1}^{N}I(y_{i}=c_{k})+\lambda }{N+K\lambda } \quad \quad(4.4)$

这里的K应该是指类别数

例2. 同例1，按照拉普拉斯平滑估计概率，即取 $\large \lambda =1$ 。

解答过程如下：

代码如下：


#!/usr/bin/env python3
#coding=utf-8
 
import numpy as np
 
class NaiveBeyes(object):
    #初始化K,j,λ值
    def __init__(self):
        self.D=1 #表示λ=1
        self.K=2
        self.S=3
    #获取训练数据
    def getTrainSet(self):
        dataSet=np.array([[1,'S'],[1,'M'],[1,'M'],[1,'S'],[1,'S'],[2,'S'],[2,'M'],[2,'M'],[2,'L'],[2,'L'],[3,'L'],[3,'M'],[3,'M'],[3,'L'],[3,'L']])
        labels=[-1,-1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,-1]
        return dataSet,labels
 
    def classify(self,trainData,labels,features):
        #先计算先验概率
        #用于存放不同类别的先验概率
        labelProb={}
        for label in labels:
            labelProb[label]=(labels.count(label)+self.D)/float(len(labels)+self.K*self.D)
 
        #计算条件概率
        # 用来存放特征和标签同时发生时的概率
        prob = {}
        for tagvalue in labelProb.keys():
            #获取labels中出现tagvalue值的所有数值的下标索引
            tagvalueIndex=[index for index,label in enumerate(labels) if label==tagvalue]
            #获取labels中每个标签出现的个数
            tagvalueCount=labels.count(tagvalue)
            for i in range(len(features)):
                #获取features中的值在训练集中出现的所有下标索引
                x_index=[index for index,feature in enumerate(trainData[:,i]) if feature==features[i]]
                xy_count=len(set(tagvalueIndex) & set(x_index)) #如果它们索引相同，说明它们特征和标签同时发生
                key=str(features[i])+'|'+str(tagvalue)
                prob[key]=(xy_count+self.D)/float(tagvalueCount+self.S*self.D)
 
 
        #计算[2,S]所属类别
        #创建空字典用于存放[2,S]所属不同类别的概率
        resultProb={}
        for tagvalue in labelProb.keys():
            resultProb[tagvalue]=labelProb[tagvalue]
            for x in features:
                resultProb[tagvalue]=resultProb[tagvalue]*prob[str(x)+'|'+str(tagvalue)]
        #max(dict,key=dict.get)表示获取字典中值最大所对应的键
        result_feature=max(resultProb,key=resultProb.get)
        return result_feature
 
if __name__=='__main__':
    NB=NaiveBeyes()
    #训练数据
    trainData,labels=NB.getTrainSet()
    features=np.array([2,'S'])
    result=NB.classify(trainData,labels,features)
    print("[2,'S']的类别标记为:{}".format(result))

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