Stanford机器学习---第八讲. 支持向量机SVM_usage: model = svmtrain(training_label_vector, tra

本栏目（Machine learning）包括单参数的线性回归、多参数的线性回归、Octave Tutorial、Logistic Regression、Regularization、神经网络、机器学习系统设计、SVM（Support Vector Machines 支持向量机）、聚类、降维、异常检测、大规模机器学习等章节。所有内容均来自Standford公开课machine learning中Andrew老师的讲解。（https://class.coursera.org/ml/class/index）

第八讲. 支持向量机进行机器学习——Support Vector Machine

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（一）、SVM 的 Cost Function

（二）、SVM —— Large Margin Classifier

（三）、数学角度解析为什么SVM 能形成 Large Margin Classifier（选看）

（四）、SVM Kernel 1 —— Gaussian Kernel

（五）、SVM 中 Gaussian Kernel 的使用

(六)、SVM的使用与选择

本章内容为支持向量机Support Vector Machine（SVM）的导论性讲解，在一般机器学习模型的理解上，引入SVM的概念。原先很多人，也包括我自己觉得SVM是个很神奇的概念，读完本文你会觉得，其实只是拥有不同的目标函数， 不同的模型而已，Machine Learning的本质还没有变，呵呵~

完成本文花了我很长时间，为了搞懂后面还有程序方便和参考网站大家实验，希望对大家有所帮助。

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（一）、SVM 的 Cost Function

前面的几章中我们分别就linear regression、logistic regression以及神经网络的cost function进行了讲解。这里我们通过logistic regression的cost function引入SVM。

首先回忆一下logistic regression的模型：

还是原先的假设，suppose我们只有两个类，y=0和y=1。那么根据上图h(x)的图形我们可以看出，

当y=1时，希望h(x)≈1，即z>>0；

当y=0时，希望h(x)≈0，即z<<0；

那么逻辑回归的cost function公式如下：

cost function我们之前已经讲过了，这里不予赘述。现在呢，我们来看看下面的两幅图，这两幅图中灰色的curve是logistic regression的cost function分别取y=1和y=0的情况，

y=1时，随着z↑，h(x)逐渐逼近1，cost逐渐减小。

y=0时，随着z↓，h(x)逐渐逼近0，cost逐渐减小。

这正是图中灰色曲线所示的曲线。

ok，现在我们来看看SVM中cost function的定义。请看下图中玫瑰色的曲线，这就是我们希望得到的cost function曲线，和logistic regression的cost function非常相近，但是分为两部分，下面呢，我们将对这个cost function进行详细讲解。

logistic regression的cost function:

现在呢，我们给出SVM的目标函数（cost function）定义：

该式中，cost0和cost1分别对应y=0和y=1时的目标函数定义，最后一项regularization项和logistic regression中的类似。感觉系数少了什么？是的，其实它们的最后一项本来是一样的，但是可以通过线性变换化简得到SVM的归一化项。

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（二）、SVM —— Large Margin Classifier

本节给出一个简单的结论——SVM是一个large margin classifier。什么是margin呢？下面我们做详细讲解，其理论证明将在下一节中给出。

在引入margin之前，我们回顾一下上一节中的SVM cost function curve，如下图所示分别是y取1和0时的情况。先给出一个结论，常数C取一个很大的值比较好（比如100000），这是为什么呢？

我们来看哈，C很大，就要求[]中的那部分很小（令[]中的那部分表示为W），不如令其为0，这时来分析里面的式子：

※需求1：

y=1时，W只有前一项，令W=0，就要求Cost₁(θ^Tx)=0，由右图可知，这要求θ^Tx>=1；

y=0时，W只有后一项，令W=0，就要求Cost₀(θ^Tx)=0，由右图可知，这要求θ^Tx<=-1；