相机的内参、外参、畸变参数及其标定

一、相机参数

相机内参矩阵以及外参矩阵在介绍坐标系的时候已经推导过了
Z c [ u v 1 ] = [ f x 0 u 0 0 0 f y v 0 0 0 0 1 0 ] [ R T 0 → 1 ] [ X w Y w Z w 1 ] Z_c

$$\begin{bmatrix}u\\v\\1\\\end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix}f_x&0&u_0&0\\0&f_y&v_0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}R&T\\\mathop{0}\limits^{\rightarrow}&1\end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\\1\end{bmatrix}$$ Zc​⎣⎡​uv1​⎦⎤​=⎣⎡​fx​00​0fy​0​u0​v0​1​000​⎦⎤​[R0→​​T1​]⎣⎢⎢⎡​Xw​Yw​Zw​1​⎦⎥⎥⎤​
内参矩阵为：
$$\left[\begin{array}{cccc}{f}_x& \gamma & u_0& 0\\ 0& f_y& v_0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
相机内参分别为：
$f:$焦距，单位毫米；
$f_x$:使用像素来描述x轴方向焦距的长度；
$f_y$:使用像素来描述y轴方向焦距的长度；
$u_0,v_0$:主点坐标（相对于成像平面），单位也是像素；
$\gamma$:为坐标轴倾斜参数，理想情况下为0；
内参矩阵是相机自身的属性，通过标定就可以得到这些参数。

外参矩阵为：
[ R T 0 → 1 ] \left[

$$\begin{array}{c|c} R&T \\ \hline \mathop{0}\limits^{\rightarrow}&1 \end{array}$$ \right] [R0→​​T1​​]
相机的外参是世界坐标系在相机坐标系下的描述。$R$是旋转参数是每个轴的旋转矩阵的乘积，其中每个轴的旋转参数$(\varphi ,\omega ,\theta )$。$T$是平移参数$(T_x,T_y,T_z)$。

畸变参数是：k1,k2,k3径向畸变系数，p1,p2是切向畸变系数。径向畸变发生在相机坐标系转图像物理坐标系的过程中。而切向畸变是发生在相机制作过程，其是由于感光元平面跟透镜不平行。径向畸变，即由于透镜的不同区域的焦距的不同而引起的畸变，分为枕形畸变和桶形畸变如下图所示，越靠近镜头边缘畸变越明显。

二、相机标定

相机标定是后续计算机视觉工作的前提，其标定的目的是为了确定相机的内参、外参以及畸变参数。标定的方法有：线性标定法、非线性优化标定法、两步标定法。线性标定法：运算速度快但是标定的精度不高，因为相机畸变都是非线性的。非线性优化标定法：标定精度高，但模型复杂。两步标定法有：Tsai的经典两步法和张正友的标定方法。

线性标定法

将内参和外参合并 Z c [ u v 1 ] = M [ X w Y w Z w 1 ] Z_c

$$\begin{bmatrix}u\\v\\1\\\end{bmatrix}$$ =M $$\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\\1\end{bmatrix}$$ Zc​⎣⎡​uv1​⎦⎤​=M⎣⎢⎢⎡​Xw​Yw​Zw​1​⎦⎥⎥⎤​其中$M=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}& m_{12}& m_{13}& m_{14}\\ m_{21}& m_{22}& m_{23}& m_{24}\\ m_{31}& m_{32}& m_{33}& m_{34}\end{array}\right]$
整理消去$Z_c$得到两个关于$m_{ij}$的线性方程：
$$\begin{gathered} X_w{m}_{11}+Y_w{m}_{12}+Z_w{m}_{13}+m_{14}-u{X}_w{m}_{31}--u{Y}_w{m}_{32}-u{Z}_w{m}_{33}=u{m}_{34} \\ {X}_w{m}_{21}+Y_w{m}_{22}+Z_w{m}_{23}+m_{24}-v{X}_w{m}_{31}--v{Y}_w{m}_{32}-v{Z}_w{m}_{33}=v{m}_{34} \end{gathered}$$
求解步骤：
1、每个标定点对应两个方程，选取$n(n\ge 6)$个标定特征点，得到11个未知数的超定方程（假设$m_{34}=1$）；
2、最小二乘法求解；
3、分解得到的变换矩阵
在不考虑相机畸变的非线性问题时可使用线性标定。

非线性标定法

应用非线性模型，通过非线性优化的方法求解相机参数。

Citation

https://blog.csdn.net/lingchen2348/article/details/83052214
https://blog.csdn.net/yangdashi888/article/details/51356385