        在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。
        在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。
        当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。
        常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、预测需求（零售销量等）。
        但不是并不是说所有的预测都是回归问题。

1.2 线性回归的基本元素：

线性回归（linear regression）：可以追溯到19世纪初，它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。

线性回归基于几个简单的假设：

假设自变量和因变量之间的关系是线性的，即可以表示为中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；
我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

1.3 线性模型：

线性假设如下面的式子：y = w1x1+w2x2+w3x3+b

权重决定了每个特征对我们预测值的影响。
b称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。
在现实的任何情况下我们都需要偏置项。如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。
给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重和偏置，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。
而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比
较方便。

当我们的输入包含个特征时，我们将预测结果 $\hat{y}$ （通常使用“尖角”符号表示的估计值）表示为： $\hat{y}$ = w1x1+w2x2+···+wnxn+b，我们可以用点积形式来简洁地表达模型： $\hat{y}$ =w⋅x+b.

无论我们使用什么手段来观察特征X和标签y，都可能会出现少量的观测误差。因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters）w\mathbf{w}w和bbb之前，我们还需要两个东西：（1）一种模型质量的度量方式；（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

1.4 损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。 损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。

回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。

当样本的预测值为 $\hat{y}$ ，其相应的真实标签为y时，平方误差可以定义为以下公式：

$Loss = \frac{1}{2}\left ( \hat{y} -y\right )^{2}$

常数1/2不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些（因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）

我们为一维情况下的回归问题绘制图像：

由于平方误差函数中的二次方项，估计值和观测值之间较大的差异将导致更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集nnn个样本上的损失均值（也等价于求和）。

1.5 学习数据

理论上学习数据越多越好，我们通过最小化损失来学习参数（w、b）。损失是凸函数，所以最优解满足：梯度=0

二. 基础优化算法

2.1 梯度下降

我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。w0—>w优

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。

因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

2.2 小批量随机梯度下降

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量bbb，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数η\etaη，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（∂表示偏导数）：

        b表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。 η\etaη表示学习率（learning rate）。

        批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。

        调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为 $\hat{w},\hat{b}$ 。

但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。

深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，这一挑战被称为泛化（generalization）。

总结一下，算法的步骤如下：

初始化模型参数的值，如随机初始化；
从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。

三. 矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

我们将频繁地进行运行时间的基准测试，所以我们定义一个计时器：


class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()
 
    def start(self):
        """启动计时器"""
        self.tik = time.time()
 
    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]
 
    def avg(self):
        """返回平均时间"""
        return sum(self.times) / len(self.times)
 
    def sum(self):
        """返回时间总和"""
        return sum(self.times)
 
    def cumsum(self):
        """返回累计时间"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

我们实例化两个全为1的10000维向量。在一种方法中，我们将使用Python的for循环遍历向量；在另一种方法中，我们将依赖对+的调用。


import math
import time
import numpy as np
import paddle
from paddle.tensor.random import rand
from matplotlib import pyplot as plt
from IPython import display
 
class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()
 
    def start(self):
        """启动计时器"""
        self.tik = time.time()
 
    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]
 
    def avg(self):
        """返回平均时间"""
        return sum(self.times) / len(self.times)
 
    def sum(self):
        """返回时间总和"""
        return sum(self.times)
 
    def cumsum(self):
        """返回累计时间"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()
 
n = 10000
a = paddle.ones(shape=[n])
b = paddle.ones(shape=[n])
 
c = paddle.zeros(shape=[n])
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
print(f'{timer.stop():.5f} sec')
 
timer.start()
d = a + b
print(f'{timer.stop():.5f} sec')

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。矢量化代码通常会带来数量级的加速。另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。

四. 正态分布与平方损失

接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。

正态分布和线性回归之间的关系很密切。正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution），最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。简单的说，若随机变量x具有均值μ和方差 $\sigma ^{2}$ （标准差σ），其正态分布概率密度函数如下：

下面我们定义一个Python函数来计算正态分布：


import math
import time
import numpy as np
import paddle
from paddle.tensor.random import rand
from matplotlib import pyplot as plt
from IPython import display
 
def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)
 
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()
 
def use_svg_display():  #@save
    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
    display.set_matplotlib_formats('svg')
 
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save
    """设置matplotlib的图表大小"""
    use_svg_display()
    plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
 
 
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """绘制数据点"""
    if legend is None:
        legend = []
 
    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else plt.gca()
 
    # 如果X有一个轴，输出True
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))
 
    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
 
# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)
print(x)
 
# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
 
plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

五. 总结

机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。
矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。
最小化目标函数和执行极大似然估计等价。
线性回归模型也是一个简单的神经网络。
梯度下降法通过不断沿着反梯度方向更新参数求解。
小批量随机梯度下降是深度学习默认的求解算法。
两个重要的超参数是批量大小和学习率。

六. 神经网络专栏

https://blog.csdn.net/weixin_53919192/category_11731739.htmlhttps://blog.csdn.net/weixin_53919192/category_11731739.html

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