1、计算机图形学——基础变换矩阵_计算机 矩阵变换例题计算

向量叉乘与叉乘矩阵

向量叉乘

右手点赞，a x b，4个握住时手指反方向经过b，顺着a正方向指出，拇指指向为 a与b 的叉积

a、b分别为三维向量

a叉乘b一般定义为

可是这只是一个符号的定义啊，具体怎么得到代数值呢

关键方法就是引入单位坐标向量，这里用i j k来表示三维坐标轴，这里只是举例，可以扩展到更多维，只是比较抽象

通过引入单位向量，向量就可以转化为代数形式

单位向量叉乘为0

计算叉乘

叉乘矩阵

叉乘判断位置

a 叉乘 b 为正，则b在a左侧，a叉乘b为负，则b在a右侧

A,B,C逆时针组成三角形，AB与AP叉乘，BC与CP叉乘，CA与CP叉乘，结果都为正，则p在三角形内

A,B,C顺时针组成三角形，AB与AP叉乘，BC与CP叉乘，CA与CP叉乘，结果都为负，则p在三角形内

A,B,C逆时针组成三角形，AB与AP叉乘，BC与CP叉乘，CA与CP叉乘，一个结果都为0，则在边缘

2D线性变换

变换矩阵在图形学中很重要，一切物体的缩放，旋转，位移，都可以通过变换矩阵作用得到。同时在投影 变换的时候也有很多应用

如上图，通过不同的A（a11,a12,a21,a22）使得x,y的数值发生一定变换

• 缩放
  
  图形经过缩放，x 和 y 都变成了原来的 0.5 倍
  经过缩小，x,y变为原来的0.5倍，即上面等式右边 a11x + a12y = 0.5x，a21x + a22y = 0.5y
  
  那么左边矩阵应该为
  
  当然，对角的两个值可以不同，大小也是任意的，可以大于 1，但是始终大于 0。当我们的矩阵变成这样的时候，图形变化就变成了这样
  
• 对称
  按缩放的矩阵格式，我们先假设，其中一个不变，也就是 1，而另一个不断缩小，直到小于 0，会变成怎样。（也就是 a11 不变等于 1 的情况下，a22 小于 0，亦或者 a22 不变等于 1，a11 小于 0
  
  第一种情况，可以算出来，最后的矩阵是
  
  也就是说，y 没有发生变化，而 x 则变成负的，因此相当于做了一次翻转，沿 y 轴翻转，也就是对称
  
  同理，第二种情况则是沿着 x 轴进行翻转的对称图形，x 不变的情况下，y 轴变成负的了
  
• 剪切
  可以看到，图形像是右上角被往右拉动，底部不变的向右倾斜一样，也就是y坐标并没有变换，a21x + a22y = y，那么a21 = 0，a22 = 1
  
  对于x轴，底下的边固定不变，而上面的那条边则整体往右偏移了一个单位 1a。也就是x = x + a*y，a11x + a12y = ay，即a11 = 1，a12 = a
  

当我们知道图形与 y 轴的夹脚后，我们可以将矩阵写成

• 旋转
  先看下面的图，图中向量 a 与 x 轴之间的夹角为 α，向量 b 由 a 旋转而来，夹角为 φ。假设他们的长度为 r
  
  根据三角函数，我们可以得出关于向量 a
  
  对于向量 b，它跟 x 轴的夹角相当于是 α + φ，因此可以得出
  
  
  由公式可以得出
  a11x+a12y=cosφ，a21x+a22y=sinφ
  a11=cosφ，a21x=sinφ
  
  

仿射变换

• 位移(translation)
  
  
  
  
  
  
• 其他线性变换
  

逆变换

复杂的变换可以由简单的变换得到，且变换间的操作顺序性很重要

3D线性变换

• 维缩放(scaling)
  
• 剪切(shearing)
  
• 旋转(rotation)
  

3维旋转有3个矩阵，分别对应绕x轴，y轴，z轴旋转，同时有很关键的一点要注意！我们所采用的是右手系，因此旋转是有定向(orientation)正如在二维，是x轴向y轴旋转，对应到3维便是绕z轴旋转(x轴转向y轴)，不难推出绕x轴旋转(y转向z)，绕y轴旋转(z转向x), 如果想不明白，右手螺旋定则试一试就知道了！ x->y->z->x…

绕z旋转的变换矩阵

绕x旋转的变换矩阵

绕y旋转的变换矩阵

y由z叉乘x得到，所以要是逆矩阵（由于是正交矩阵，也可以表示转置矩阵）

• 维绕任意轴旋转
  
  

我们只有绕x，y, z旋转的方法，怎么随便给一个轴让你绕着他旋转呢！很直观的，我们把该轴给先旋转到任意的x，y，z轴上，然后就可以应用基本的旋转矩阵，最后再逆旋转回来即可

这里的Rx是知道的，问题只剩怎么求R1了，设我们想围绕旋转的轴为u，R1便是将u旋转到x的矩阵

具体来说这里我们需要以u为一轴，构造一个3维正交坐标系，然后将u-x对齐，那么其它两轴就肯定和y和z对齐了！构造如下，任取一t方向不与u重合

此时u, w, v便是我们构造出的新坐标系

现在得到了u,w,v 对应 x,y,z如何将我们的新坐标系与原始坐标系重合，这其实再简单不过了，我们取R1 = (u,w,v), 该旋转矩阵的含义便是将x , y , z 旋转到u，w，v的旋转矩阵(不信可以直接R1x，R1y，R1z试试便一目了然)，旋转矩阵是正交矩阵，旋转矩阵的转置便是它的逆，也是几何意义上的反作用，因此！将u,w,v旋转到x,y,z的矩阵了。现在我们知道了R1知道了RX，那么围绕位移轴的旋转也就得到了

3D仿射变换

与2D仿射变换道理一致

3D逆变换与2D逆变换道理一致