扩散模型 (Diffusion Model) 简要介绍与源码分析

扩散模型 (Diffusion Model) 简要介绍与源码分析

前言

近期同事分享了 Diffusion Model, 这才发现生成模型的发展已经到了如此惊人的地步, OpenAI 推出的 Dall-E 2 可以根据文本描述生成极为逼真的图像, 质量之高直让人惊呼哇塞. 今早公众号给我推送了一篇关于 Stability AI 公司的报道, 他们推出的 AI 文生图扩散模型 Stable Diffusion 已开源, 能够在消费级显卡上实现 Dall-E 2 级别的图像生成, 效率提升了 30 倍.

于是找到他们的开源产品体验了一把, 在线体验地址在 https://huggingface.co/spaces/stabilityai/stable-diffusion (开源代码在 Github 上: https://github.com/CompVis/stable-diffusion), 在搜索框中输入 “A dog flying in the sky” (一只狗在天空飞翔), 生成效果如下:

Amazing! 当然, 不是每一张图片都符合预期, 但好在可以生成无数张图片, 其中总有效果好的. 在震惊之余, 不免对 Diffusion Model (扩散模型) 背后的原理感兴趣, 就想看看是怎么实现的.

当时同事分享时, PPT 上那一堆堆公式扑面而来, 把我给整懵圈了, 但还是得撑起下巴, 表现出似有所悟、深以为然的样子, 在讲到关键处不由暗暗点头以表示理解和赞许. 后面花了个周末专门学习了一下, 公式推导+代码分析, 感觉终于了解了基本概念, 于是记录下来形成此文, 不敢说自己完全懂了, 毕竟我不做这个方向, 但回过头去看 PPT 上的公式就不再发怵了.

广而告之

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另外可以看看知乎专栏 PoorMemory-机器学习, 以后文章也会发在知乎专栏中.

总览

本文对 Diffusion Model 扩散模型的原理进行简要介绍, 然后对源码进行分析. 扩散模型的实现有多种形式, 本文关注的是 DDPM (denoising diffusion probabilistic models). 在介绍完基本原理后, 对作者释放的 Tensorflow 源码进行分析, 加深对各种公式的理解.

参考文章

在理解扩散模型的路上, 受到下面这些文章的启发, 强烈推荐阅读:

• Lilian 的博客, 内容非常非常详实, 干货十足, 而且每篇文章都极其用心, 向大佬学习: What are Diffusion Models?
• ewrfcas 的知乎, 公式推导补充了更多的细节: 由浅入深了解Diffusion Model
• Lilian 的博客, 介绍变分自动编码器 VAE: From Autoencoder to Beta-VAE, Diffusion Model 需要从分布中随机采样样本, 该过程无法求导, 需要使用到 VAE 中介绍的重参数技巧.
• Denoising Diffusion Probabilistic Models 论文,
  • 其 TF 源码位于: https://github.com/hojonathanho/diffusion, 源码介绍以该版本为主
  • PyTorch 的开源实现: https://github.com/lucidrains/denoising-diffusion-pytorch, 核心逻辑和上面 Tensorflow 版本是一致的, Stable Diffusion 参考的是 pytorch 版本的代码.

扩散模型介绍

基本原理

Diffusion Model (扩散模型) 是一类生成模型, 和 VAE (Variational Autoencoder, 变分自动编码器), GAN (Generative Adversarial Network, 生成对抗网络) 等生成网络不同的是, 扩散模型在前向阶段对图像逐步施加噪声, 直至图像被破坏变成完全的高斯噪声, 然后在逆向阶段学习从高斯噪声还原为原始图像的过程.

具体来说, 前向阶段在原始图像 ${\mathbf{x}}_0$ 上逐步增加噪声, 每一步得到的图像 ${\mathbf{x}}_t$ 只和上一步的结果 ${\mathbf{x}}_{t-1}$ 相关, 直至第 $T$ 步的图像 ${\mathbf{x}}_T$ 变为纯高斯噪声. 前向阶段图示如下:

而逆向阶段则是不断去除噪声的过程, 首先给定高斯噪声 ${\mathbf{x}}_T$, 通过逐步去噪, 直至最终将原图像 ${\mathbf{x}}_0$ 给恢复出来, 逆向阶段图示如下:

模型训练完成后, 只要给定高斯随机噪声, 就可以生成一张从未见过的图像. 下面分别介绍前向阶段和逆向阶段, 只列出重要公式,

前向阶段

由于前向过程中图像 ${\mathbf{x}}_t$ 只和上一时刻的 ${\mathbf{x}}_{t-1}$ 有关, 该过程可以视为马尔科夫过程, 满足:

q ( x 1 : T ∣ x 0 ) = ∏ t = 1 T q ( x t ∣ x t − 1 ) q ( x t ∣ x t − 1 ) = N ( x t ; 1 − β t x t − 1 , β t I ) ,

$$\begin{align} q\left(x_{1: T} \mid x_0\right) &=\prod_{t=1}^T q\left(x_t \mid x_{t-1}\right) \\ q\left(x_t \mid x_{t-1}\right) &=\mathcal{N}\left(x_t ; \sqrt{1-\beta_t} x_{t-1}, \beta_t \mathbf{I}\right), \end{align}$$ q(x1:T​∣x0​)q(xt​∣xt−1​)​=t=1∏T​q(xt​∣xt−1​)=N(xt​;1−βt​ ​xt−1​,βt​I),​​

其中 ${\beta }_t\in (0,1)$ 为高斯分布的方差超参, 并满足 ${\beta }_1<{\beta }_2<\dots <{\beta }_T$. 另外公式 (2) 中为何均值 $x_{t-1}$ 前乘上系数 $\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_{t-1}$ 的原因将在后面的推导介绍. 上述过程的一个美妙性质是我们可以在任意 time step 下通过 重参数技巧 采样得到 $x_t$.

重参数技巧 (reparameterization trick) 是为了解决随机采样样本这一过程无法求导的问题. 比如要从高斯分布 $z\sim \mathcal{N}(z;\mu ,{\sigma }^2\mathbf{I})$ 中采样样本 $z$, 可以通过引入随机变量 $ϵ\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$, 使得 $z=\mu +\sigma \odot ϵ$, 此时 $z$ 依旧具有随机性, 且服从高斯分布 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2\mathbf{I})$, 同时 $\mu$ 与 $\sigma$ (通常由网络生成) 可导.

简要了解了重参数技巧后, 再回到上面通过公式 (2) 采样 $x_t$ 的方法, 即生成随机变量 ${ϵ}_t\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$,
然后令 ${\alpha }_t=1-{\beta }_t$, 以及 $\overline{{\alpha }_t}={\prod }_{i=1}^T{\alpha }_t$, 从而可以得到:

x t = 1 − β t x t − 1 + β t ϵ 1  where     ϵ 1 , ϵ 2 , … ∼ N ( 0 , I ) ,    reparameter trick ; = a t x t − 1 + 1 − α t ϵ 1 = a t ( a t − 1 x t − 2 + 1 − α t − 1 ϵ 2 ) + 1 − α t ϵ 1 = a t a t − 1 x t − 2 + ( a t ( 1 − α t − 1 ) ϵ 2 + 1 − α t ϵ 1 ) = a t a t − 1 x t − 2 + 1 − α t α t − 1 ϵ ˉ 2  where  ϵ ˉ 2 ∼ N ( 0 , I ) ; = … = α ˉ t x 0 + 1 − α ˉ t ϵ ˉ t .

$$\begin{align} x_t &= \sqrt{1 - \beta_t} x_{t-1}+\beta_t \epsilon_1 \quad \text { where } \; \epsilon_1, \epsilon_2, \ldots \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I}), \; \text{reparameter trick} ; \nonumber \\ &=\sqrt{a_t} x_{t-1}+\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1\nonumber \\ &=\sqrt{a_t}\left(\sqrt{a_{t-1}} x_{t-2}+\sqrt{1-\alpha_{t-1}} \epsilon_2\right)+\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1 \nonumber \\ &=\sqrt{a_t a_{t-1}} x_{t-2}+\left(\sqrt{a_t\left(1-\alpha_{t-1}\right)} \epsilon_2+\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1\right) \tag{3-1} \\ &=\sqrt{a_t a_{t-1}} x_{t-2}+\sqrt{1-\alpha_t \alpha_{t-1}} \bar{\epsilon}_2 \quad \text { where } \quad \bar{\epsilon}_2 \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I}) ; \tag{3-2} \\ &=\ldots \nonumber \\ &=\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \bar{\epsilon}_t. \end{align}$$ xt​​=1−βt​ ​xt−1​+βt​ϵ1​ where ϵ1​,ϵ2​,…∼N(0,I),reparameter trick;=at​ ​xt−1​+1−αt​ ​ϵ1​=at​ ​(at−1​ ​xt−2​+1−αt−1​ ​ϵ2​)+1−αt​ ​ϵ1​=at​at−1​ ​xt−2​+(at​(1−αt−1​) ​ϵ2​+1−αt​ ​ϵ1​)=at​at−1​ ​xt−2​+1−αt​αt−1​ ​ϵˉ2​ where ϵˉ2​∼N(0,I);=…=αˉt​ ​x0​+1−αˉt​ ​ϵˉt​.​(3-1)(3-2)​

其中公式 (3-1) 到公式 (3-2) 的推导是由于独立高斯分布的可见性, 有 $\mathcal{N}\left(0,{\sigma }_1^2\mathbf{I}\right)+\mathcal{N}\left(0,{\sigma }_2^2\mathbf{I}\right)\sim \mathcal{N}\left(0,\left({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2\right)\mathbf{I}\right)$, 因此:

a t ( 1 − α t − 1 ) ϵ 2 ∼ N ( 0 , a t ( 1 − α t − 1 ) I ) 1 − α t ϵ 1 ∼ N ( 0 , ( 1 − α t ) I ) a t ( 1 − α t − 1 ) ϵ 2 + 1 − α t ϵ 1 ∼ N ( 0 , [ α t ( 1 − α t − 1 ) + ( 1 − α t ) ] I ) = N ( 0 , ( 1 − α t α t − 1 ) I ) .

$$\begin{aligned} &\sqrt{a_t\left(1-\alpha_{t-1}\right)} \epsilon_2 \sim \mathcal{N}\left(0, a_t\left(1-\alpha_{t-1}\right) \mathbf{I}\right) \\ &\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1 \sim \mathcal{N}\left(0,\left(1-\alpha_t\right) \mathbf{I}\right) \\ &\sqrt{a_t\left(1-\alpha_{t-1}\right)} \epsilon_2+\sqrt{1-\alpha_t} \epsilon_1 \sim \mathcal{N}\left(0,\left[\alpha_t\left(1-\alpha_{t-1}\right)+\left(1-\alpha_t\right)\right] \mathbf{I}\right) \\ &=\mathcal{N}\left(0,\left(1-\alpha_t \alpha_{t-1}\right) \mathbf{I}\right) . \end{aligned}$$ ​at​(1−αt−1​) ​ϵ2​∼N(0,at​(1−αt−1​)I)1−αt​ ​ϵ1​∼N(0,(1−αt​)I)at​(1−αt−1​) ​ϵ2​+1−αt​ ​ϵ1​∼N(0,[αt​(1−αt−1​)+(1−αt​)]I)=N(0,(1−αt​αt−1​)I).​

注意公式 (3-2) 中 ${\overline{ϵ}}_2\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$, 因此还需乘上 $\sqrt{1-{\alpha }_t{\alpha }_{t-1}}$. 从公式 (3) 可以看出

q ( x t ∣ x 0 ) = N ( x t ; a ˉ t x 0 , ( 1 − a ˉ t ) I )

$$\begin{align} q\left(x_t \mid x_0\right)=\mathcal{N}\left(x_t ; \sqrt{\bar{a}_t} x_0,\left(1-\bar{a}_t\right) \mathbf{I}\right) \end{align}$$ q(xt​∣x0​)=N(xt​;aˉt​ ​x0​,(1−aˉt​)I)​​

注意由于 ${\beta }_t\in (0,1)$ 且 ${\beta }_1<\dots <{\beta }_T$, 而 ${\alpha }_t=1-{\beta }_t$, 因此 ${\alpha }_t\in (0,1)$ 并且有 ${\alpha }_1>\dots >{\alpha }_T$, 另外由于 ${\bar{\alpha }}_t={\prod }_{i=1}^T{\alpha }_t$, 因此当 $T\to \infty$ 时, ${\bar{\alpha }}_t\to 0$ 以及 $(1-{\bar{a}}_t)\to 1$, 此时 $x_T\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$. 从这里的推导来看, 在公式 (2) 中的均值 $x_{t-1}$ 前乘上系数 $\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_{t-1}$ 会使得 $x_T$ 最后收敛到标准高斯分布.

逆向阶段

前向阶段是加噪声的过程, 而逆向阶段则是将噪声去除, 如果能得到逆向过程的分布 $q\left(x_{t-1}\mid x_t\right)$, 那么通过输入高斯噪声 $x_T\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$, 我们将生成一个真实的样本. 注意到当 ${\beta }_t$ 足够小时, $q\left(x_{t-1}\mid x_t\right)$ 也是高斯分布, 具体的证明在 ewrfcas 的知乎文章: 由浅入深了解Diffusion Model 推荐的论文中: On the theory of stochastic processes, with particular reference to applications. 我大致看了一下, 哈哈, 没太看明白, 不过想到这个不是我关注的重点, 因此 pass. 由于我们无法直接推断 $q\left(x_{t-1}\mid x_t\right)$, 因此我们将使用深度学习模型 $p_{\theta }$ 去拟合分布 $q\left(x_{t-1}\mid x_t\right)$, 模型参数为 $\theta$:

p θ ( x 0 : T ) = p ( x T ) ∏ t = 1 T p θ ( x t − 1 ∣ x t ) p θ ( x t − 1 ∣ x t ) = N ( x t − 1 ; μ θ ( x t , t ) , Σ θ ( x t , t ) )

$$\begin{align} p_\theta\left(x_{0: T}\right) &=p\left(x_T\right) \prod_{t=1}^T p_\theta\left(x_{t-1} \mid x_t\right) \\ p_\theta\left(x_{t-1} \mid x_t\right) &=\mathcal{N}\left(x_{t-1} ; \mu_\theta\left(x_t, t\right), \Sigma_\theta\left(x_t, t\right)\right) \end{align}$$ pθ​(x0:T​)pθ​(xt−1​∣xt​)​=p(xT​)t=1∏T​pθ​(xt−1​∣xt​)=N(xt−1​;μθ​(xt​,t),Σθ​(xt​,t))​​

注意到, 虽然我们无法直接求得 $q\left(x_{t-1}\mid x_t\right)$ (注意这里是 $q$ 而不是模型 $p_{\theta }$), 但在知道 $x_0$ 的情况下, 可以通过贝叶斯公式得到 $q\left(x_{t-1}\mid x_t,x_0\right)$ 为:

q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) = N ( x t − 1 ; μ ~ ( x t , x 0 ) , β ~ t I )

$$\begin{align} q\left(x_{t-1} \mid x_t, x_0\right) &= \mathcal{N}\left(x_{t-1} ; {\color{blue}{\tilde{\mu}}(x_t, x_0)}, {\color{red}{\tilde{\beta}_t} \mathbf{I}}\right) \end{align}$$ q(xt−1​∣xt​,x0​)​=N(xt−1​;μ~​(xt​,x0​),β~​t​I)​​

推导过程如下:

q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) = q ( x t ∣ x t − 1 , x 0 ) q ( x t − 1 ∣ x 0 ) q ( x t ∣ x 0 ) ∝ exp ⁡ ( − 1 2 ( ( x t − α t x t − 1 ) 2 β t + ( x t − 1 − α ˉ t − 1 x 0 ) 2 1 − α ˉ t − 1 − ( x t − α ˉ t x 0 ) 2 1 − α ˉ t ) ) = exp ⁡ ( − 1 2 ( x t 2 − 2 α t x t x t − 1 + α t x t − 1 2 β t + x t − 1 2 − 2 α ˉ t − 1 x 0 x t − 1 + α ˉ t − 1 x 0 2 1 − α ˉ t − 1 − ( x t − α ˉ t x 0 ) 2 1 − α ˉ t ) ) = exp ⁡ ( − 1 2 ( ( α t β t + 1 1 − α ˉ t − 1 ) x t − 1 2 ⏟ x t − 1  方差  − ( 2 α t β t x t + 2 α ˉ t − 1 1 − α ˉ t − 1 x 0 ) x t − 1 ⏟ x t − 1  均值  + C ( x t , x 0 ) ⏟ 与  x t − 1  无关  ) )

$$\begin{aligned} q(x_{t-1} \vert x_t, x_0) &= q(x_t \vert x_{t-1}, x_0) \frac{ q(x_{t-1} \vert x_0) }{ q(x_t \vert x_0) } \\ &\propto \exp \Big(-\frac{1}{2} \big(\frac{(x_t - \sqrt{\alpha_t} x_{t-1})^2}{\beta_t} + \frac{(x_{t-1} - \sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} x_0)^2}{1-\bar{\alpha}_{t-1}} - \frac{(x_t - \sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0)^2}{1-\bar{\alpha}_t} \big) \Big) \\ &= \exp \Big(-\frac{1}{2} \big(\frac{x_t^2 - 2\sqrt{\alpha_t} x_t \color{blue}{x_{t-1}} \color{black}{+ \alpha_t} \color{red}{x_{t-1}^2} }{\beta_t} + \frac{ \color{red}{x_{t-1}^2} \color{black}{- 2 \sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}} x_0} \color{blue}{x_{t-1}} \color{black}{+ \bar{\alpha}_{t-1} x_0^2} }{1-\bar{\alpha}_{t-1}} - \frac{(x_t - \sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0)^2}{1-\bar{\alpha}_t} \big) \Big) \\ &= \exp\Big( -\frac{1}{2} \big( \underbrace{\color{red}{(\frac{\alpha_t}{\beta_t} + \frac{1}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}})} x_{t-1}^2}_{x_{t-1} \text { 方差 }} - \underbrace{\color{blue}{(\frac{2\sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} x_t + \frac{2\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}} x_0)} x_{t-1}}_{x_{t-1} \text { 均值 }} + \underbrace{ {\color{black}{ C(x_t, x_0)}}}_{\text {与 } x_{t-1} \text { 无关 }} \big) \Big) \end{aligned}$$ q(xt−1​∣xt​,x0​)​=q(xt​∣xt−1​,x0​)q(xt​∣x0​)q(xt−1​∣x0​)​∝exp(−21​(βt​(xt​−αt​ ​xt−1​)2​+1−αˉt−1​(xt−1​−αˉt−1​ ​x0​)2​−1−αˉt​(xt​−αˉt​ ​x0​)2​))=exp(−21​(βt​xt2​−2αt​ ​xt​xt−1​+αt​xt−12​​+1−αˉt−1​xt−12​−2αˉt−1​ ​x0​xt−1​+αˉt−1​x02​​−1−αˉt​(xt​−αˉt​ ​x0​)2​))=exp(−21​(xt−1​ 方差  (βt​αt​​+1−αˉt−1​1​)xt−12​​​−xt−1​ 均值  (βt​2αt​ ​​xt​+1−αˉt−1​2αˉt−1​ ​​x0​)xt−1​​​+与 xt−1​ 无关  C(xt​,x0​)​​))​

上面推导过程中, 通过贝叶斯公式巧妙的将逆向过程转换为前向过程, 且最终得到的概率密度函数和高斯概率密度函数的指数部分 $\exp \left(-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}\right)=\exp \left(-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\sigma }^2}{x}^2-\frac{2\mu }{{\sigma }^2}x+\frac{{\mu }^2}{{\sigma }^2}\right)\right)$ 能对应, 即有:

β ~ t = 1 / ( α t β t + 1 1 − α ˉ t − 1 ) = 1 / ( α t − α ˉ t + β t β t ( 1 − α ˉ t − 1 ) ) = 1 − α ˉ t − 1 1 − α ˉ t ⋅ β t μ ~ t ( x t , x 0 ) = ( α t β t x t + α ˉ t − 1 1 − α ˉ t − 1 x 0 ) / ( α t β t + 1 1 − α ˉ t − 1 ) = ( α t β t x t + α ˉ t − 1 1 − α ˉ t − 1 x 0 ) 1 − α ˉ t − 1 1 − α ˉ t ⋅ β t = α t ( 1 − α ˉ t − 1 ) 1 − α ˉ t x t + α ˉ t − 1 β t 1 − α ˉ t x 0

$$\begin{align} \tilde{\beta}_t &= 1/(\frac{\alpha_t}{\beta_t} + \frac{1}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}}) = 1/(\frac{\alpha_t - \bar{\alpha}_t + \beta_t}{\beta_t(1 - \bar{\alpha}_{t-1})}) = \color{green}{\frac{1 - \bar{\alpha}_{t-1}}{1 - \bar{\alpha}_t} \cdot \beta_t} \\ \tilde{\mu}_t (x_t, x_0) &= (\frac{\sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1} }}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}} x_0)/(\frac{\alpha_t}{\beta_t} + \frac{1}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}}) \nonumber\\ &= (\frac{\sqrt{\alpha_t}}{\beta_t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1} }}{1 - \bar{\alpha}_{t-1}} x_0) \color{green}{\frac{1 - \bar{\alpha}_{t-1}}{1 - \bar{\alpha}_t} \cdot \beta_t}\nonumber \\ &= \frac{\sqrt{\alpha_t}(1 - \bar{\alpha}_{t-1})}{1 - \bar{\alpha}_t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}\beta_t}{1 - \bar{\alpha}_t} x_0\\ \end{align}$$ β~​t​μ~​t​(xt​,x0​)​=1/(βt​αt​​+1−αˉt−1​1​)=1/(βt​(1−αˉt−1​)αt​−αˉt​+βt​​)=1−αˉt​1−αˉt−1​​⋅βt​=(βt​αt​ ​​xt​+1−αˉt−1​αˉt−1​ ​​x0​)/(βt​αt​​+1−αˉt−1​1​)=(βt​αt​ ​​xt​+1−αˉt−1​αˉt−1​ ​​x0​)1−αˉt​1−αˉt−1​​⋅βt​=1−αˉt​αt​ ​(1−αˉt−1​)​xt​+1−αˉt​αˉt−1​ ​βt​​x0​​​

通过公式 (8) 和公式 (9), 我们能得到 $q\left(x_{t-1}\mid x_t,x_0\right)$ (见公式 (7)) 的分布. 此外由于公式 (3) 揭示的 $x_t$ 和 $x_0$ 之间的关系: $x_t=\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{\overline{ϵ}}_t$, 可以得到

x 0 = 1 α ˉ t ( x t − 1 − α ˉ t ϵ t )

$$\begin{align} x_0 = \frac{1}{\sqrt{\bar{\alpha}_t}}(x_t - \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon_t) \end{align}$$ x0​=αˉt​ ​1​(xt​−1−αˉt​ ​ϵt​)​​

代入公式 (9) 中得到:

μ ~ t = α t ( 1 − α ˉ t − 1 ) 1 − α ˉ t x t + α ˉ t − 1 β t 1 − α ˉ t 1 α ˉ t ( x t − 1 − α ˉ t ϵ t ) = 1 α t ( x t − 1 − α t 1 − α ˉ t ϵ t )

$$\begin{align} \tilde{\mu}_t &= \frac{\sqrt{\alpha_t}(1 - \bar{\alpha}_{t-1})}{1 - \bar{\alpha}_t} x_t + \frac{\sqrt{\bar{\alpha}_{t-1}}\beta_t}{1 - \bar{\alpha}_t} \frac{1}{\sqrt{\bar{\alpha}_t}}(x_t - \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon_t)\nonumber \\ &= \color{cyan}{\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_t \Big)} \end{align}$$ μ~​t​​=1−αˉt​αt​ ​(1−αˉt−1​)​xt​+1−αˉt​αˉt−1​ ​βt​​αˉt​ ​1​(xt​−1−αˉt​ ​ϵt​)=αt​ ​1​(xt​−1−αˉt​ ​1−αt​​ϵt​)​​

补充一下公式 (11) 的详细推导过程:

前面说到, 我们将使用深度学习模型 $p_{\theta }$ 去拟合逆向过程的分布 $q\left(x_{t-1}\mid x_t\right)$, 由公式 (6) 知 $p_{\theta }\left(x_{t-1}\mid x_t\right)=\mathcal{N}\left(x_{t-1};{\mu }_{\theta }\left(x_t,t\right),{\Sigma }_{\theta }\left(x_t,t\right)\right)$, 我们希望训练模型 ${\mu }_{\theta }\left(x_t,t\right)$ 以预估 ${\tilde{\mu }}_t=\frac{1}{\sqrt{{\alpha }_t}}(x_t-\frac{1-{\alpha }_t}{\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}}{ϵ}_t)$. 由于 $x_t$ 在训练阶段会作为输入, 因此它是已知的, 我们可以转而让模型去预估噪声 ${ϵ}_t$, 即令:

μ θ ( x t , t ) = 1 α t ( x t − 1 − α t 1 − α ˉ t ϵ θ ( x t , t ) ) Thus  x t − 1 = N ( x t − 1 ; 1 α t ( x t − 1 − α t 1 − α ˉ t ϵ θ ( x t , t ) ) , Σ θ ( x t , t ) )

$$\begin{align} \mu_\theta(x_t, t) &= \color{cyan}{\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_\theta(x_t, t) \Big)} \\ \text{Thus }x_{t-1} &= \mathcal{N}(x_{t-1}; \frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_\theta(x_t, t) \Big), \boldsymbol{\Sigma}_\theta(x_t, t)) \end{align}$$ μθ​(xt​,t)Thus xt−1​​=αt​ ​1​(xt​−1−αˉt​ ​1−αt​​ϵθ​(xt​,t))=N(xt−1​;αt​ ​1​(xt​−1−αˉt​ ​1−αt​​ϵθ​(xt​,t)),Σθ​(xt​,t))​​

模型训练

前面谈到, 逆向阶段让模型去预估噪声 ${ϵ}_{\theta }(x_t,t)$, 那么应该如何设计 Loss 函数 ? 我们的目标是在真实数据分布下, 最大化模型预测分布的对数似然, 即优化在 $x_0\sim q(x_0)$ 下的 $p_{\theta }(x_0)$ 交叉熵:

L = E q ( x 0 ) [ − log ⁡ p θ ( x 0 ) ]

$$\begin{align} \mathcal{L} = \mathbb{E}_{q(x_0)}\left[-\log{p_\theta(x_0)}\right] \end{align}$$ L=Eq(x0​)​[−logpθ​(x0​)]​​

和 变分自动编码器 VAE 类似, 使用 Variational Lower Bound 来优化: $-\log p_{\theta }(x_0)$ :

− log ⁡ p θ ( x 0 ) ≤ − log ⁡ p θ ( x 0 ) + D K L ( q ( x 1 : T ∣ x 0 ) ∥ p θ ( x 1 : T ∣ x 0 ) ) ; 注: 注意KL散度非负 = − log ⁡ p θ ( x 0 ) + E q ( x 1 : T ∣ x 0 ) [ log ⁡ q ( x 1 : T ∣ x 0 ) p θ ( x 0 : T ) / p θ ( x 0 ) ] ;     where     p θ ( x 1 : T ∣ x 0 ) = p θ ( x 0 : T ) p θ ( x 0 ) = − log ⁡ p θ ( x 0 ) + E q ( x 1 : T ∣ x 0 ) [ log ⁡ q ( x 1 : T ∣ x 0 ) p θ ( x 0 : T ) + log ⁡ p θ ( x 0 ) ⏟ 与q无关  ] = E q ( x 1 : T ∣ x 0 ) [ log ⁡ q ( x 1 : T ∣ x 0 ) p θ ( x 0 : T ) ] .

$$\begin{align} -\log p_\theta\left(x_0\right) &\leq-\log p_\theta\left(x_0\right)+D_{K L}\left(q\left(x_{1: T} \mid x_0\right) \| p_\theta\left(x_{1: T} \mid x_0\right)\right); \quad \text{注: 注意KL散度非负}\nonumber\\ &=-\log p_\theta\left(x_0\right)+\mathbb{E}_{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}\left[\log \frac{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}{p_\theta\left(x_{0: T}\right) / p_\theta\left(x_0\right)}\right] ; \; \text { where } \; p_\theta\left(x_{1: T} \mid x_0\right)=\frac{p_\theta\left(x_{0: T}\right)}{p_\theta\left(x_0\right)}\nonumber\\ &=-\log p_\theta\left(x_0\right)+\mathbb{E}_{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}[\log \frac{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}{p_\theta\left(x_{0: T}\right)}+\underbrace{\log p_\theta\left(x_0\right)}_{\text {与q无关 }}]\nonumber\\ &=\mathbb{E}_{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}\left[\log \frac{q\left(x_{1: T} \mid x_0\right)}{p_\theta\left(x_{0: T}\right)}\right] . \end{align}$$ −logpθ​(x0​)​≤−logpθ​(x0​)+DKL​(q(x1:T​∣x0​)∥pθ​(x1:T​∣x0​));注: 注意KL散度非负=−logpθ​(x0​)+Eq(x1:T​∣x0​)​[logpθ​(x0:T​)/pθ​(x0​)q(x1:T​∣x0​)​]; where pθ​(x1:T​∣x0​)=pθ​(x0​)pθ​(x0:T​)​=−logpθ​(x0​)+Eq(x1:T​∣x0​)​[logpθ​(x0:T​)q(x1:T​∣x0​)​+与q无关  logpθ​(x0​)​​]=Eq(x1:T​∣x0​)​[logpθ​(x0:T​)q(x1:T​∣x0​)​].​​

对公式 (15) 左右两边取期望 ${\mathbb{E}}_{q(x_0)}$, 利用到重积分中的 Fubini 定理 可得:

$${\mathcal{L}}_{VLB}=\underset{\text{Fubini定理 }}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{q\left(x_0\right)}\left({\mathbb{E}}_{q\left(x_{1:T}\mid x_0\right)}\left[\log \frac{q\left(x_{1:T}\mid x_0\right)}{p_{\theta }\left(x_{0:T}\right)}\right]\right)={\mathbb{E}}_{q\left(x_{0:T}\right)}\left[\log \frac{q\left(x_{1:T}\mid x_0\right)}{p_{\theta }\left(x_{0:T}\right)}\right]}}\ge {\mathbb{E}}_{q\left(x_0\right)}\left[-\log p_{\theta }\left(x_0\right)\right]$$

因此最小化 ${\mathcal{L}}_{VLB}$ 就可以优化公式 (14) 中的目标函数. 之后对 ${\mathcal{L}}_{VLB}$ 做进一步的推导, 这部分的详细推导见上面的参考文章, 最终的结论是:

L V L B = L T + L T − 1 + … + L 0 L T = D K L ( q ( x T ∣ x 0 ) ∣ ∣ p θ ( x T ) ) L t = D K L ( q ( x t ∣ x t + 1 , x 0 ) ∣ ∣ p θ ( x t ∣ x t + 1 ) ) ; 1 ≤ t ≤ T − 1 L 0 = − log ⁡ p θ ( x 0 ∣ x 1 )

$$\begin{align} \mathcal{L}_{V L B} &= L_T + L_{T - 1} + \ldots + L_0 \\ L_T &= D_{KL}\left(q(x_T|x_0)||p_{\theta}(x_T)\right) \\ L_t &= D_{KL}\left(q(x_t|x_{t + 1}, x_0)||p_{\theta}(x_t|x_{t+1})\right); \quad 1 \leq t \leq T - 1 \\ L_0 &= -\log{p_\theta\left(x_0|x_1\right)} \end{align}$$ LVLB​LT​Lt​L0​​=LT​+LT−1​+…+L0​=DKL​(q(xT​∣x0​)∣∣pθ​(xT​))=DKL​(q(xt​∣xt+1​,x0​)∣∣pθ​(xt​∣xt+1​));1≤t≤T−1=−logpθ​(x0​∣x1​)​​

最终是优化两个高斯分布 $q(x_t|x_{t-1},x_0)=\mathcal{N}\left(x_{t-1};\tilde{\mu }(x_t,x_0),{\tilde{\beta }}_t\mathbf{I}\right)$ (详见公式 (7)) 与 $p_{\theta }(x_t|x_{t+1})=\mathcal{N}\left(x_{t-1};{\mu }_{\theta }\left(x_t,t\right),{\Sigma }_{\theta }\right)$ (详见公式(6), 此为模型预估的分布)之间的 KL 散度. 由于多元高斯分布的 KL 散度存在闭式解, 详见: Multivariate_normal_distributions, 从而可以得到:

L t = E x 0 , ϵ [ 1 2 ∥ Σ θ ( x t , t ) ∥ 2 2 ∥ μ ~ t ( x t , x 0 ) − μ θ ( x t , t ) ∥ 2 ] = E x 0 , ϵ [ 1 2 ∥ Σ θ ∥ 2 2 ∥ 1 α t ( x t − 1 − α t 1 − α ˉ t ϵ t ) − 1 α t ( x t − 1 − α t 1 − α ˉ t ϵ θ ( x t , t ) ) ∥ 2 ] = E x 0 , ϵ [ ( 1 − α t ) 2 2 α t ( 1 − α ˉ t ) ∥ Σ θ ∥ 2 2 ∥ ϵ t − ϵ θ ( x t , t ) ∥ 2 ] ; 其中 ϵ t 为高斯噪声 , ϵ θ 为模型学习的噪声 = E x 0 , ϵ [ ( 1 − α t ) 2 2 α t ( 1 − α ˉ t ) ∥ Σ θ ∥ 2 2 ∥ ϵ t − ϵ θ ( α ˉ t x 0 + 1 − α ˉ t ϵ t , t ) ∥ 2 ]

$$\begin{align} L_t &= \mathbb{E}_{x_0, \epsilon} \Big[\frac{1}{2 \| \boldsymbol{\Sigma}_\theta(x_t, t) \|^2_2} \| \color{blue}{\tilde{\mu}_t(x_t, x_0)} - \color{green}{\mu_\theta(x_t, t)} \|^2 \Big] \\ &= \mathbb{E}_{x_0, \epsilon} \Big[\frac{1}{2 \|\boldsymbol{\Sigma}_\theta \|^2_2} \| \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \epsilon_t \Big)} - \color{green}{\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}} \Big( x_t - \frac{1 - \alpha_t}{\sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}} \boldsymbol{\epsilon}_\theta(x_t, t) \Big)} \|^2 \Big] \\ &= \mathbb{E}_{x_0, \epsilon} \Big[\frac{ (1 - \alpha_t)^2 }{2 \alpha_t (1 - \bar{\alpha}_t) \| \boldsymbol{\Sigma}_\theta \|^2_2} \|\epsilon_t - \epsilon_\theta(x_t, t)\|^2 \Big]; \quad \text{其中} \epsilon_t \text{为高斯噪声}, \epsilon_{\theta} \text{为模型学习的噪声} \\ &= \mathbb{E}_{x_0, \epsilon} \Big[\frac{ (1 - \alpha_t)^2 }{2 \alpha_t (1 - \bar{\alpha}_t) \| \boldsymbol{\Sigma}_\theta \|^2_2} \|\epsilon_t - \epsilon_\theta(\sqrt{\bar{\alpha}_t}x_0 + \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t}\epsilon_t, t)\|^2 \Big] \end{align}$$ Lt​​=Ex0​,ϵ​[2∥Σθ​(xt​,t)∥22​1​∥μ~​t​(xt​,x0​)−μθ​(xt​,t)∥2]=Ex0​,ϵ​[2∥Σθ​∥22​1​∥αt​ ​1​(xt​−1−αˉt​ ​1−αt​​ϵt​)−αt​ ​1​(xt​−1−αˉt​ ​1−αt​​ϵθ​(xt​,t))∥2]=Ex0​,ϵ​[2αt​(1−αˉt​)∥Σθ​∥22​(1−αt​)2​∥ϵt​−ϵθ​(xt​,t)∥2];其中ϵt​为高斯噪声,ϵθ​为模型学习的噪声=Ex0​,ϵ​[2αt​(1−αˉt​)∥Σθ​∥22​(1−αt​)2​∥ϵt​−ϵθ​(αˉt​ ​x0​+1−αˉt​ ​ϵt​,t)∥2]​​

DDPM 将 Loss 简化为如下形式:

L t simple  = E x 0 , ϵ t [ ∥ ϵ t − ϵ θ ( α ˉ t x 0 + 1 − α ˉ t ϵ t , t ) ∥ 2 ]

$$\begin{align} L_t^{\text {simple }}=\mathbb{E}_{x_0, \epsilon_t}\left[\left\|\epsilon_t-\epsilon_\theta\left(\sqrt{\bar{\alpha}_t} x_0+\sqrt{1-\bar{\alpha}_t} \epsilon_t, t\right)\right\|^2\right] \end{align}$$ Ltsimple ​=Ex0​,ϵt​​[ ​ϵt​−ϵθ​(αˉt​ ​x0​+1−αˉt​ ​ϵt​,t) ​2]​​

因此 Diffusion 模型的目标函数即是学习高斯噪声 ${ϵ}_t$ 和 ${ϵ}_{\theta }$ (来自模型输出) 之间的 MSE loss.

最终算法

最终 DDPM 的算法流程如下:

训练阶段重复如下步骤:

• 从数据集中采样 $x_0$
• 随机选取 time step $t$
• 生成高斯噪声 ${ϵ}_t\in \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$
• 调用模型预估 ${ϵ}_{\theta }\left(\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{ϵ}_t,t\right)$
• 计算噪声之间的 MSE Loss: ${\Vert {ϵ}_t-{ϵ}_{\theta }\left(\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{ϵ}_t,t\right)\Vert }^2$, 并利用反向传播算法训练模型.

逆向阶段采用如下步骤进行采样:

• 从高斯分布采样 $x_T$
• 按照 $T,\dots ,1$ 的顺序进行迭代:
  • 如果 $t=1$, 令 $\mathbf{z}=0$; 如果 $t>1$, 从高斯分布中采样 $\mathbf{z}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$
  • 利用公式 (12) 学习出均值 ${\mu }_{\theta }(x_t,t)=\frac{1}{\sqrt{{\alpha }_t}}(x_t-\frac{1-{\alpha }_t}{\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}}{ϵ}_{\theta }(x_t,t))$, 并利用公式 (8) 计算均方差 ${\sigma }_t=\sqrt{{\tilde{\beta }}_t}=\sqrt{\frac{1-{\bar{\alpha }}_{t-1}}{1-{\bar{\alpha }}_t}\cdot {\beta }_t}$
  • 通过重参数技巧采样 $x_{t-1}={\mu }_{\theta }(x_t,t)+{\sigma }_t\mathbf{z}$
• 经过以上过程的迭代, 最终恢复 $x_0$.

源码分析

DDPM 文章以及代码的相关信息如下:

• Denoising Diffusion Probabilistic Models 论文,
  • 其 TF 源码位于: https://github.com/hojonathanho/diffusion, 源码介绍以该版本为主
  • PyTorch 的开源实现: https://github.com/lucidrains/denoising-diffusion-pytorch, 核心逻辑和上面 Tensorflow 版本是一致的, Stable Diffusion 参考的是 pytorch 版本的代码.

本文以分析 Tensorflow 源码为主, Pytorch 版本的代码和 Tensorflow 版本的实现逻辑大体不差的, 变量名字啥的都类似, 阅读起来不会有啥门槛. Tensorlow 源码对 Diffusion 模型的实现位于 diffusion_utils_2.py, 模型本身的分析以该文件为主.

训练阶段

以 CIFAR 数据集为例.

在 run_cifar.py 中进行前向传播计算 Loss:

• 第 6 行随机选出 t ∼ Uniform ( { 1 , … , T } ) t\sim\text{Uniform}(\{1, \ldots, T\}) t∼Uniform({1,…,T})
• 第 7 行 training_losses 定义在 GaussianDiffusion2 中, 计算噪声间的 MSE Loss.

进入 GaussianDiffusion2 中, 看到初始化函数中定义了诸多变量, 我在注释中使用公式的方式进行了说明:

下面进入到 training_losses 函数中:

• 第 19 行: self.model_mean_type 默认是 eps, 模型学习的是噪声, 因此 target 是第 6 行定义的 noise, 即 ${ϵ}_t$
• 第 9 行: 调用 self.q_sample 计算 $x_t$, 即公式 (3) $x_t=\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{ϵ}_t$
• 第 21 行: denoise_fn 是定义在 unet.py 中的 UNet 模型, 只需知道它的输入和输出大小相同; 结合第 9 行得到的 $x_t$, 得到模型预估的噪声: ${ϵ}_{\theta }\left(\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{ϵ}_t,t\right)$
• 第 23 行: 计算两个噪声之间的 MSE: ${\Vert {ϵ}_t-{ϵ}_{\theta }\left(\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{ϵ}_t,t\right)\Vert }^2$, 并利用反向传播算法训练模型

上面第 9 行定义的 self.q_sample 详情如下:

• 第 13 行的 q_sample 已经介绍过, 不多说.
• 第 2 行的 _extract 在代码中经常被使用到, 看到它只需知道它是用来提取系数的即可. 引入输入是一个 Batch, 里面的每个样本都会随机采样一个 time step $t$, 因此需要使用 tf.gather 来将 $\overline{{\alpha }_t}$ 之类选出来, 然后将系数 reshape 为 [B, 1, 1, ....] 的形式, 目的是为了利用 broadcasting 机制和 $x_t$ 这个 Tensor 相乘.

前向的训练阶段代码实现非常简单, 下面看逆向阶段

逆向阶段

逆向阶段代码定义在 GaussianDiffusion2 中:

• 第 5 行生成高斯噪声 $x_T$, 然后对其不断去噪直至恢复原始图像
• 第 11 行的 self.p_sample 就是公式 (6) $p_{\theta }\left(x_{t-1}\mid x_t\right)=\mathcal{N}\left(x_{t-1};{\mu }_{\theta }\left(x_t,t\right),{\Sigma }_{\theta }\left(x_t,t\right)\right)$ 的过程, 使用模型来预估 ${\mu }_{\theta }\left(x_t,t\right)$ 以及 ${\Sigma }_{\theta }\left(x_t,t\right)$
• 第 12 行的 denoise_fn 在前面说过, 是定义在 unet.py 中的 UNet 模型; img_ 表示 $x_t$.
• 第 13 行的 noise_fn 则默认是 tf.random_normal, 用于生成高斯噪声.

进入 p_sample 函数:

• 第 7 行调用 self.p_mean_variance 生成 ${\mu }_{\theta }\left(x_t,t\right)$ 以及 $\log \left({\Sigma }_{\theta }\left(x_t,t\right)\right)$, 其中 ${\Sigma }_{\theta }\left(x_t,t\right)$ 通过计算 ${\tilde{\beta }}_t$ 得到.
• 第 11 行从高斯分布中采样 $\mathbf{z}$
• 第 18 行通过重参数技巧采样 $x_{t-1}={\mu }_{\theta }(x_t,t)+{\sigma }_t\mathbf{z}$, 其中 ${\sigma }_t=\sqrt{{\tilde{\beta }}_t}$

进入 self.p_mean_variance 函数:

• 第 6 行调用模型 denoise_fn, 通过输入 $x_t$, 输出得到噪声 ${ϵ}_t$
• 第 19 行 self.model_var_type 默认为 fixedlarge, 但我当时看 fixedsmall 比较爽, 因此 model_variance 和 model_log_variance 分别为 ${\tilde{\beta }}_t=\frac{1-{\bar{\alpha }}_{t-1}}{1-{\bar{\alpha }}_t}\cdot {\beta }_t$ (见公式 8), 以及 $\log {\tilde{\beta }}_t$
• 第 29 行调用 self._predict_xstart_from_eps 函数, 利用公式 (10) 得到 $x_0=\frac{1}{\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}}(x_t-\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{ϵ}_t)$
• 第 30 行调用 self.q_posterior_mean_variance 通过公式 (9) 得到 ${\mu }_{\theta }(x_t,x_0)=\frac{\sqrt{{\alpha }_t}(1-{\bar{\alpha }}_{t-1})}{1-{\bar{\alpha }}_t}{x}_t+\frac{\sqrt{{\bar{\alpha }}_{t-1}}{\beta }_t}{1-{\bar{\alpha }}_t}{x}_0$

self._predict_xstart_from_eps 函数相亲如下:

• 该函数计算 $x_0=\frac{1}{\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}}(x_t-\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}{ϵ}_t)$

self.q_posterior_mean_variance 函数详情如下:

• 相关说明见注释, 另外发现对于 ${\mu }_{\theta }(x_t,x_0)$ 的计算使用的是公式 (9) ${\mu }_{\theta }(x_t,x_0)=\frac{\sqrt{{\alpha }_t}(1-{\bar{\alpha }}_{t-1})}{1-{\bar{\alpha }}_t}{x}_t+\frac{\sqrt{{\bar{\alpha }}_{t-1}}{\beta }_t}{1-{\bar{\alpha }}_t}{x}_0$ 而不是进一步推导后的公式 (11) ${\mu }_{\theta }(x_t,x_0)=\frac{1}{\sqrt{{\alpha }_t}}(x_t-\frac{1-{\alpha }_t}{\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}}{ϵ}_t)$.

总结

写文章真的挺累的, 好处是, 我发现写之前我以为理解了, 但写的过程中又发现有些地方理解的不对. 写完后才终于把逻辑理顺.