主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种多元统计分析方法。又称主分量分析。在实际课题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。主成分分析首先是由K.皮尔森对非随机变量引入的，尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。对于遥感图像来说，每个变量就是一个波段。主成分分析是在遥感图像处理中非常常用的一个分析方法，尤其是对于高光谱数据，用于提取有效信息非常有用。
主成分分析主要是把原来的多个指标化为少数的几个综合指标的统计方法。 也就是用尽可能少的指标个数来尽可能多的反应原来较多的指标，而且这些少的指标之间又 是独立的。
如果有p个指标，x1,x2,...,xp，将他们综合成m(<p)个指标，z1,z2,...,zm。 通过主成分变换的几何意义就是，找出p维空间中椭球体的主轴问题，从数学上可以容易得知 他们是x1,x2,...,xp的相关矩阵中m个较大特征值所对应的特征向量。
主成分变换的一般步骤如下：
1：对原始数据归一化（标准化），归一化之后的数据具有均值为0，方差为1(我个人认为对于 遥感数据，所有的波段的量纲都是一样的，所有不进行归一化也是可以的，可以跳过第一步)
归一化方程为: xn(a,j) = (x(a,j) - xjm)/σj 其中：xn(a,j)为归一化后的数据，x(a,j)为原始数据，xjm为原始数据均值，σj为原始数据标准差 xjm = SUM(x(a,j)) / N σj*σj = SUM((x(a,j) - xjm)*(x(a,j) - xjm)) / N
2：计算相关系数矩阵R
相关系数计算方程为: r(i,j) = SUM((x(a,i) - xim)*(x(a,j) - xjm)) / (σi*σj*N) 其中：r(i,j)为相关系数矩阵数据,r(i,j) = cov(i,j)/(σi*σj)
3：计算特征值和特征向量
根据特征方程|R-λI| = 0计算特征值即解: rn*λp + rn-1*λp-1 + ... + r1*λ + r0 =0 的特征多项式，求λp，λp-1，...，λ，并使λi按大小排列，即 λ>λ1>...>λp>0 列出关于特征值λk的特征向量lk=[lk1,lk2,...,lkp]T Rlk = λlk 变量较多时，使用雅克比法来计算特征值和特征向量
4：计算贡献率λk / SUM(λi)和累计贡献率SUM(λk / SUM(λi))，一般取累计 贡献率达到85%~95的特征值λ1, λ2,...,λm(<p)对应的成分即可
5：计算主成分载荷 P(Zk,xi) = sqrt(λk)*lki (i=1,2,...,p;k=1,2,...,m)
6：根据下面的式子计算主成分得分，得到主成分矩阵
Z1 = l11*xn1 + l12*xn2 + ... + l1p*xnp Z2 = l21*xn1 + l22*xn2 + ... + l2p*xnp ... ... ... ... ... Zm = lm1*xn1 + lm2*xn2 + ... + lmp*xnp
关于矩阵求解特征值和特征向量参考上一篇文章，地址为：http://blog.csdn.net/liminlu0314/article/details/8957155
下面就是GDAL进行PCA处理的主要代码，还是之前说的，我的代码你直接抄过去不一定能编译的过去，如果你自己看过，肯定能自己调试通过。关于主成分的逆变换与正变换类似，只不过正变换的矩阵是通过数据计算出来的，而逆变换的矩阵是使用正变换的矩阵求逆得到的。两者就这么点区别，其他的都是一模一样的。代码是好几年前写的，应该没有什么bug吧，首先是头文件：
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- * Time: 2010-05-14
- * Project: 遥感算法
- * Purpose: PCA变换
- * Author: 李民录
- * Copyright (c) 2010, liminlu0314@gmail.com
- * Describe:提供PCA变换算法
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