信息学奥赛一本通 1297：公共子序列 | OpenJudge NOI 2.6 1808:公共子序列_1297:公共子序列

【题目链接】

ybt 1297：公共子序列
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【题目考点】

1. 动态规划：线性动规

• 最长公共子序列

【解题思路】

1. 状态定义

集合：X、Y两序列的公共子序列
限制：子序列在X，Y中存在的区间（前多少个元素）
属性：长度
条件：最大
统计量：长度
状态定义：dp[i][j]表示X序列的前i个元素与Y序列的前j个元素的最长公共子序列的长度。
初始状态：
X序列前i个元素与Y序列前0个元素的最长公共子序列的长度为0：dp[i][0]=0
X序列前0个元素与Y序列前j个元素的最长公共子序列的长度为0：dp[0][j]=0

2. 状态转移方程

记$X_i$表示X序列的前i个元素构成的子序列。$Y_j$表示Y序列的前j个元素构成的子序列。x[i]为X序列的第i个元素，y[j]为Y序列的第j个元素
分割集合：$X_i$与$Y_j$两序列的公共子序列

• 如果x[i]等于y[j]，那么x[i]（或y[j])一定是$X_i$与$Y_j$的最长公共子序列的最后一个元素。该最长公共子序列是由$X_{i-1}$与$Y_{j-1}$两序列的最长公共子序列后面添加x[i]得到的，长度为：dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1
• 如果x[i]不等于y[j]
  • 如果x[i]不作为 $X_i$与$Y_j$的最长公共子序列的最后一个元素，那么$X_i$与$Y_j$的最长公共子序列就是$X_{i-1}$与$Y_j$的最长公共子序列，长度为dp[i][j] = dp[i-1][j]
  • 如果y[j]不作为 $X_i$与$Y_j$的最长公共子序列的最后一个元素，那么$X_i$与$Y_j$的最长公共子序列就是$X_i$与$Y_{j-1}$的最长公共子序列，长度为`dp[i][j] = dp[i][j-1]
  • 以上两种情况取最大值。

注意多组数据处理

【题解代码】

写法1：线性动规

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 205
int dp[N][N];
int main()
{
    string x, y;
    while(cin >> x >> y)
    {
        int lx = x.length(), ly = y.length();
        for(int i = 1; i <= lx; ++i)
            for(int j = 1; j <= ly; ++j)
            {
                if(x[i-1] == y[j-1])//i,j下标从1开始 转为 x，y下标从0开始 
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        cout << dp[lx][ly] << endl;
    }    
    return 0;
}
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