MATLAB Jacobi迭代法 求解线性方程组_jacobi迭代法matlab

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前言

                                       雅克比（Jacobi）迭代法求解线性方程组

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一、Jacobi迭代法是什么？ 

简单的讲其实就是我们平时求解的方法（最常用的方法）

以下是Jacobi的迭代过程：

 

 

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二、对应的编程思想以及公式推导

1.Jacobi迭代法 公式推导

线性方程组为：                         

将A分裂：                                   

从而得到迭代公式为：     

由于D为对角元素，从而有：          

即编程语言可以写为：       

推到过程为：

                                            

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2.Jacobi迭代法求解线性方程组 例子

 

 

 

3.Jacobi迭代法 编程实现

完整程序代码为：

function [x,error,iter]=GJJacobi_solve(A,b,epsilon,max_iter)
% x , error , iter 为输出变量     A ，b epsilon,max_iter为输入变量
n=length(b);
x=zeros(n,1);
% 首先编写第一步代码目的  x =-(L+U)*x/D+b/D
%第二部明确符号的意义 D表示对角线的元素 L表示下三角的元素 U表示上三角的元素 b表示列向量的长度
%确定误差error = norm(x-y)
 
%输入矩阵A 以及 列向量b
 
 
%表示L  U  D
L=tril(A); %tril（A）表示取矩阵A的下三角元素,  包含了对角线元素
U=triu(A); %triu(A) 表示取矩阵A的上三角元素，  包含了对角线元素
D=diag(diag(A)); %表示取矩阵A的主对角元素
 
 
 
%想办法使得L，U对角线元素都为0
                             % L(logical(eye(size(L))))=0; %由于维度不对，从而只是等号右边为零不对
                             %  U(logical(eye(size(U))))=0;
%改正
                              %B =  zeros(1,n);              %[0,0,0]
L(logical(eye(size(L))))=0;   %[8;11;12]
U(logical(eye(size(U))))=0;
 
                             
 
%需要看看是否输出的是对角线元素为0
disp(L)
disp(U)
 
 
 
 
 
 
 
% 先写一个循环(发现运用一个变量时需要先初始化error=1)
% 设置最小误差为10e-6
error = 1 ;%初始化误差变量
iter = 0;  %初始化迭代步数变量
while error>epsilon && iter<max_iter % 给出循环条件，以及函数输入变量epsilon,max_iter
    for i =1:max_iter
        y=x;%迭代前的矩阵，用来计算迭代误差
        x=-D\(L+U)*x+D\b ;  %从这里知道需要把L,U,D,b表示出来 x=-(L+U)*x/D+b/D 这个维度错误
        error=norm(x-y);  %知道迭代前的数据y，以及迭代后的数据x，设定误差为（x-y)的范数
        
        if error>epsilon %给出判断误差是否减小
            iter =iter+1;
            break
        end     %if 需要 end 结束
    end         %for 需要 end 结束
end             %while 需要 end 结束

测试代码为：

 A=[8 -3 2
    4 11 -1
    6 3 12];
b=[20;33;36];
epsilon=10e-6;
max_iter=15;
[x,error,iter]=GJJacobi_solve(A,b,epsilon,max_iter);
disp('程序计算的精确解为：');
disp(x);
disp('最大迭代次数下的误差：');
disp(error);
disp('最小迭代次数：');
disp(iter+1);

运行结果为：

     0     0     0
     4     0     0
     6     3     0
 
     0    -3     2
     0     0    -1
     0     0     0
 
程序计算的精确解为：
    3.0000
    2.0000
    1.0000
 
最大迭代次数下的误差：
   4.1060e-12
 
最小迭代次数：
    14

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总结

以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了雅克比迭代求解线性方程组