数量关系：高频考点常用解题方法（二）_2名去a部门,b、c两个部门中选1个部门去2名

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数量关系 7.高频考点常用解题方法-排列组合问题

排列组合之基础概念

什么是排列组合？

排列组合实际上是组合学的最基础概念；

其中心问题是：研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数；

即，排列组合归根到底是在计数；

计什么数？计满足各种附加条件的有限个对象的总数。

举个例子：

班级有50个同学中；

条件1：任选5个人按顺序排成一列，问有多少种情况？条件2：任选5个人参加某个活动，问有多少种情况？

两个条件的区别是什么？

条件1有一定的顺序，要排列；

条件2没有顺序，只需要选出来即可，是一种组合。

那这两个条件的情况书分别要怎么算呢？

排列数：

组合数：

怎么计算呢？

从概念出发来分析：

不难看出，组合和排列的联系和区别是：

组合只选，排列要选出来再排，或者边排边选；

故所有的排列都可以看作先组合，再做全排列；

所有的组合，补充一个排序的阶段，就可以转化为排列问题。

所以容易推出：

总结整理一下：

排列：与顺序有关，每个人做不同的事；

组合：与顺序无关，每个人做一样的事。

在区分排列和组合的基础上，当存在一系列的排列组合时，应该如何计算呢？

通常来说，计算可以被分为分类计算和分步计算，我们分别来看；

分类计算，顾名思义，分成几种类别，每一类为一种选择；

通俗的来说，就是完成一件事情，可以根据某个条件分为几种情况，每种情况都可以独立完成该事情，则将多种情况的结果相加，所得和即为完成事情的种类数；

故亦被叫做加法原理。

分步计算，顾名思义，分为几个步骤，每一步都为一个必要环节；

通俗的来说，就是完成一件事情，需要分为多个步骤依次完成，每个步骤为独立，但只有完成每一步才能完成该事情，则将每一步的结果相乘，所得积即为完成事情的种类数；

故亦被叫做乘法原理。

总结以上，即有面对排列组合的题目的解题思路为：

先看是否有顺序，来确定用A还是C；

再看分类还是分步，分类即将各种情况相加，分步即将各种情况相乘。

最终得到符合情况的总数。

我们来看例题，代入各种情况来试着排列组合分类分步。

例1：某单位组织职工参加周末培训，其中英语培训和财务培训均在周六，公文写作培训和法律培训均在周日。同一天举办的两场培训每人只能报名参加一场，但不在同一天的培训可以都参加。

则职工小刘有多少种不同的报名方式？

A．4 B．8 C．9 D．16

解析：根据题意，给定条件，问小刘不同的报名方式；

根据“同一天只能报一场，不同天的可以都参加”可知小刘可以报名参加的培训场次为1次或2次；

即：

只选周六1场或只选周日1场；

或周六周日各选一场；

分情况看：

只报名1场：可选为2+2=4种；

报名2场：即周六2选1，周日2选1，即2x2=4；

只报名1场或报名2场都可以独立的完成此次培训任务，则利用加法原理；

小刘报名方式共4+4=8种。

例2：甲、乙、丙三所学校的学生被安排在周一至周五参观某革命纪念馆。纪念馆每天最多只能安排一所学校，其中甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么共有多少种安排方法？（）。

A．12 B．24 C．36 D.60

解析：

根据题干条件“甲学校连续参观两天”，先分析甲的情况：

连续两天的可能性为：周一周二、周二周三、周三周四、周四周五，即4种可能；

则其余两个学校为从剩余3天种选择2天，情况数为：

则安排方法共：4x6=24种；

答案选B。

例3：某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满 300 元者可获得一个礼盒，其中装有 6 种干货中的随机 3 种各 1 小袋，以及 1 袋小米或红豆。问内容不完全相同的礼盒共有多少种可能？

A.50 B.45 C.40 D.30

解析：

看设问，问内容不完全相同的可能，看内容有哪些组合：

（6种中随机选3种）x（小米、红豆2选1）；

即可能性为：

例4：某农科院准备挑选2男2女4名科技人员分别去市郊的甲乙丙丁4个乡参加科技支农工作，在报名的人员中有3男4女符合要求，在4名女性中有1位是农科院的副院长，考虑到工作的具体需要，这名副院长不去甲乡，且去丁乡的是女性。符合条件的选法有________种。

A. 198 B. 216 C. 378 D. 432

解析：

题干给定了选择和安排的要求，可以正向求得符合条件的情况数，也可以逆向求解，即求出总数再减去不符合的情况；

两种求法我们分别来看：

●正向求解：

分3种情况：

副院长被选中且去了丁乡、

副院长被选中没去丁乡、

副院长没被选中；

1.副院长被选中且去了丁乡：

在其余3名女性中再选1名，3名男性中选2名，3人全排列，则有：

2.副院长被选中没去丁乡：

在其余3名女性中选1名去丁乡，3名男性中选2名，2名中选1名去甲乡，副院长和另一名男士全排列，则有：

3.副院长没被选中，则有：

在3名男性中选2名，3名女性中选2名，2名中选1名去丁乡，其余3人全排列，则有：

故总情况数为54+36+108=198种；答案选A。

●逆向求解：

先求出3男4女中选择2男2女，其中1女去丁乡的总情况数：

即有：

其中包含了副院长去甲乡的情况，所以可知符合题意的情况数应小于216，看选项，只能选A。

再多说一句：

如果正面求出副院长去甲乡的情况数怎么求呢？

首先副院长被选中且去了甲乡，则其余3名女性中选1名，且去了丁乡；

再从3名男性中选2名，2位全排列即可，即有：

通过例4，提醒小伙伴们，遇到正面思考较复杂的情况，可以采用逆向思维，用全部情况减去不符合题意的情况，会来的简单快捷一些。

以上就是排列组合中的基础概念公式和解法；

要从基础概念出发多理解，多思考，分清排列组合，理清分类分步，简单计算求得答案。

排列组合之相邻与不相邻

首先明确什么样的问题是在考查相邻或不相邻？

题型特征：

出现“...与...连在一起／不能分开”、“...与...必须分开／不能连在一起”即为考查相邻、不相邻问题；

面对此类问题，如何求解呢？

●先来看相邻问题：

假设要求n个元素中有2个元素必须连在一起，不能分开，那我们该2个元素视为一个整体；

接下来就将这个整体与余下n-2个元素一起排列，即参与排列的元素个数变成了n-1个；

再考虑2个元素内部是否有顺序；

这种方法叫做“捆绑法”。

总结一下：

相邻问题中，将必须相邻的元素做捆绑，与其他元素一起排列，再考虑被捆绑元素内部顺序。

●再来看不相邻问题：

假设要求n个元素中有2个元素必须分开，不能连在一起；

这下犯难了，连在一起好办，捆起来好了，不连在一起咋办？

不急，我们来分析：

不连在一起意味着二者中间隔着别人，可能隔着1个，也可能隔着2个，也可能隔着3个....

这么多种可能性，着实不确定怎么隔；

那我们先不考虑这2位，先看没有要求的那n-2个；

如果我们将这n-2个先排好，那这n-2个元素会创造出n-1个空隙，那我们选2个空隙给那2位安插进去，是不是一定就被隔开了？

这种方法叫“插空法”。

举个简单的例子：

现在有7个小球，5个一样的黑球，2个一样的白球，要求排列的时候2个白色球不能挨在一起；

怎么办？

不挨就不挨，先看黑球；

由于5个黑球是一样的，所以就只有一种情况，排着就行，如图：

则5个黑球创造出了1-6，共6个空隙，2个白球任选6个空隙中的2个空隙安置，必然不会连在一起，即6选2，即可完成要求的排列。

排列情况数为：

总结一下：

不相邻问题中，先将不相邻的元素剔除，对剩余元素进行排列，再将被剔除的元素召回，将其插入空隙或两端。

相邻的捆绑，不相邻的插空，理解了么？

一起来看例题。

例1：两对夫妇各带一个小孩乘坐有6 个座位的游览车，游览车每排只有1 个座位。为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸；两个小孩一定要排在一起。那么，这 6 人的排座方法有（ ）。

A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种

解析：

例2：为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3 个部门分别派出3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？

A.小于1000 B.1000-5000 C.5001-20000 D.大于 20000

解析：

根据题干条件，需要将每个部分的参赛选手捆绑，捆绑后即出现3个整体，为3个整体排序；

同时考虑各整体内部的顺序，即有：

例3：单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由3名男职工和3名女职工组成。假设比赛时要求3名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有几种不同的站位方式？

A.432 B.504 C.576 D.720

解析：

根据题干条件“3名男职工不能全连在一起”，读起来有点拗口；

从正向分析，需要分为2名男员工站在一起，和3名都不站在一起2种情况；

逆向切入，实际上就是全部情况减去3名男职工站在一起的情况数；

哪种好算呢？

正面较复杂的时候，一定是逆向更好算；

先求全部情况数：

即没有任何要求，对3男3女全排列，为：

再算3名男职工站在一起的情况；

即将3个男职工捆绑在一起，视为一个整体，将该整体与3名女职工全排列，且考虑3名男职工内部的排列顺序，即有：

则总数-逆向即为：720-144=576，答案选C。

例4：某地组织9 名政协委员负责调研农民工子弟小学教学情况。调研结束合影前有 3 名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排 3 名小学生代表与委员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员，一共有多少种不同的方式：

A.7200 B.29600 C.43200 D.362880

解析：

根据题干条件“小学生两边都坐政协委员”，即意味着小学生不相邻，且小学生不能在两端（否则在两端的话，一边没有政协委员）；

故先对6名政协委员全排列，为：

6名政协委员创造出7个空位，但要去除两端的2个空格；

即在5个空位中选出3个，对3个小学生全排列，为：

故排列总数为：720x60=43200，答案选C。

以上就是排列组合中的相邻问题和不相邻问题；

依然要多理解，多思考，读懂题意，分清捆绑和插空，简单计算求得答案。

排列组合之相同元素分配、平均分组

●先来看相同元素分配：

题型特征：从名称出发，不难看出是对“相同的元素”进行分配，或者元素是否完全相同，分配它的人及被分配的人并不关心；

例如：

将5个苹果分给3个小朋友：

此处的苹果就是苹果，没有大小红绿酸甜之分，定位为“相同元素”；

将10个优秀指标分配到3个部门：

此处的指标就是指标，没有先后等级性别之分，定位为“相同元素”；

.....

识别出题型是第一步，接下来就看看如何解决此类问题；

依然从例子出发：

假设要将5个苹果分给2个小朋友，每人至少1个，有多少种分法？

我们来分析：

每个人分几个？只要大于1个都行，那1+4，2+3，，...，4+1都可以，这怎么算呢？

我们把5个苹果摆摆好，如下：

5个苹果创造出了4个空隙（不是6个哦，两端不能算，因为题干要求啦：每人至少分到1个）；

那我们可以从4个空隙中选1个空隙，画上一条线或插上一块板子；

这样就分成了两部分，一边是你的，一边是我的，即有：

那又假设要将8个苹果分给3个小朋友，每人至少一个，怎么分呢？

简单了不是，8个苹果摆摆好，创造出7个空隙，7个空隙中选2个位置，插上板子，就分出了3部分，则有：

那再假设要将10个苹果分给3个小朋友，每人至少2个，怎么分？

来咯，10个苹果摆摆好，创造出9个空隙，9个空隙选？咦，不对啊，怎么每个人至少2个啊，咋整？

要不这么着，我们从10个苹果中先给每个人分1个，苹果不是一样的么，就不需要考虑所谓的选择和顺序了，拿了就是拿了；

拿走了几个？3个；

还剩下几个？7个；

现在再分，每个人至少分1个，那加上之前的1个，是不是就每个人至少有2个了？

对了吧，好的，那继续：

7个苹果摆摆好，创造出6个空隙，6个空隙选2个，插上板子，就分出了3部分，则有：

那又假设要将n个苹果分给m个小朋友，每人至少一个，怎么分呢？

熟练了吧？n个苹果摆摆好，创造出n-1个空隙，n-1个空隙中选出m-1个位置，插上板子，就分出了n个部分，则有：

这种方法叫“插板法”。

总结一下：

将n个元素分给m个人，每人至少一个，则从n-1个空隙中选m-1个即可；

将n个元素分给m个人，每人至少分a+1个，则先从n个中每人分a个，还剩n-am个，则从n-am-1个空隙中选m-1个即可。

●再来看平均分组问题：

题型特征：从名称出发，依然容易看出“将n个元素平均分成m组”；

重要的是怎么求解呢？

举个简单的例子：

现在有赵钱孙李4名同学，要将4名同学平均分成两个组，有多少种分法呢？

那我们来选咯，先从4个人中选2个，再从2个人中选2个，即：

但是问题来了～

原本呢，我选完2个人，那剩下的2个人已经自动成为一组了，比如我选了赵钱为一组，那孙李就自动是另一组了；

但！我从4个人中选2个的时候，又包含了一次选出孙李，使赵钱成为一组的情况，也就是我把赵钱为一组、孙李为一组的情况算了2次；

其余组合亦是如此，是不是？

如果还没有理解，那我们来列举一下：

看出来了么？

我们分为了两组，题干并没有要求贴上组1和组2的标签，所以4、5、6分别与1、2、3重复；

也就是说我们上面分出来的2组中，人为的对这2组强加了一个排序，但实际上并不需要排序，所以对于上面求出的情况数，还需要再处理一下，即除掉对该2组排序的情况；

那对2组排序，情况数为多少？

那再假设，将8个元素平均分为4组，怎么分？

这次清楚了，应该是8个选2个，然后6个选2个，然后4个选2个，然后再除掉对4个组进行的排序，即有：

那再假设下，如果要求将12个元素分为2，2，2，3，3的5组，怎么分？

这还算平均么？也算呐，同样为2个元素的有3组，这3组是一个平均，同样有3个元素的有2组，这2组是一个平均；

那我们从12个中选2个，再从10个中选2个，然后8个选2个，这是3组咯，除掉对3组进行的排序；

再继续，从6个中选3个，从3个中选3个，然后再除掉对这2组的排序，即有：

总结一下：

将n个元素平均分为m组，则每次取每组的个数，再除掉对组数的全排列（即组数的阶乘）。

理解了么？

一起来看例题。

例1：某领导要把20项任务分给三个下属，每个下属至少分得三项任务，则共有多少种不同的分配方式：

A. 28 B. 36 C .54 D. 78

解析：

根据题意，属于“相同元素分配问题”，每个下属至少分3项，则先给每人分2项，即分出去3x2=6项，还余14项，每人至少分一项；

即将题干问题转化为：

14项任务分给3个人，每个人至少一项：

即从13个空隙中选2个插板，有：

例2：某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有 36 种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？

A.7 B.8 C.9 D.10

解析：

根据题意，10个名额分到科室，每个科室至少一个名额，即“相同元素分配问题”，

假设有m+1个科室，则问题为：

10个名额，分给m+1个科室，每个科室至少一个名额，即有：

例3：将10名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？

A.120 B.126 C.240 D.252

解析：

根据题意，考查平均分组问题，将10名分为两组，则有：

例4：某公司销售部拟派3名销售主管和6名销售人员前往3座城市进行市场调研，每座城市派销售主管1名，销售人员2名。

那么，不同的人员派遣方案有：

A.540 种 B.1080 种 C.1620 种 D.3240 种

解析：

根据题意，将3名销售主管平均分为3组，6名销售人员平均分为3组，即有：

以上就是排列组合中的相同元素分配问题和平均分组问题；

继续强调：

一定要理解，要思考，要读懂题意；

更要分清空隙个数和组数，然后简单计算即可求得答案。

排列组合之定序与错位排序

●先来看定序问题：

题型特征：从名称出发，不难看出是给定的元素中存在“顺序一定或者一样的无顺序元素”；有点抽象？

举个简单的例子：

例如：

对a、b、c进行排序，不考虑b和c之间的顺序，则一共有多少种排法？

“对a、b、c进行排序”很容易理解，不就是3个元素全排列么？

那“不考虑b和c之间的顺序”指什么？

不就是说b可以在c之前，也可以在c之后，两个元素之间的顺序无所谓；

到这里有同学疑惑了，那这和b与c相邻有什么区别？难道这和相邻问题是一样的？

非也非也！

我们将本题的情形列举一下：

先列出a、b、c的全排列，共6种，如下：

又因“不考虑b和c的顺序”，即b在c之前的情形和b在c之后的情形在题干看来是一样的，不需要分开；

那么，由于在对a、b、c全排列时，b和c也参与了全排列，那我们就需要将b和c之间的全排列除掉！

即情况数应为：

再比如，对a、b、c、d进行排序，要求c要在排在b前面，则一共有多少种排法？

此时跟上面的例子有什么区别呢？

题干条件不同：

“不考虑b和c的顺序”“要求c排在b前面”，看起来说法不同，但实际上结果是一样的，都是除掉了b和c之间的全排列，只留下或只考虑一种情况；

即依然是要除掉2个元素的全排列，那此时的情况数应为：

那再假设，要求对a、b、c、d、e进行排序，不考虑b、c、d之间的顺序，则一共有多少种排法？

首先依然是对a、b、c、d、e全排列，然后要除掉谁呢？

除掉b、c、d三者之间的顺序，只保留1种情况，即要除掉b、c、d之间的全排列，则情况数应为：

再假设要对n个元素排序，不考虑其中m个元素的顺序或其中m个元素顺序一定，则情况数为n个元素的全排列除掉m个元素的全排列；

❗这种方法叫“缩倍法”，即对全排列的倍数进行缩小；

注意：务必区分定序问题与相邻或不相邻问题哟！

总结一下：

定序问题中：

顺序一定=没有顺序=不考虑顺序；

先全部参与全排列，再除掉定序元素的全排列。

●再来看错位排序问题：

什么是错位排序呢？

指排列好的n个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原来的位置上，即为这n个元素的错排；

举个简单的例子，a、b、c、d有自己固定的位置，再一次排序变成了b、a、d、c，即为错位排列。

错位排序是由著名数学家欧拉提出的，最典型的错位排序问题是装错信封问题，即：

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法由多少种？

这怎么算哦？

如果是a、b两个元素错个位，还好弄，情况数也就是个1；

再如果是a、b、c三个元素错个位，也还算好弄，大不了列举一下：

列举完得出情况数也就是个2；

那再如果是a、b、c、d四个元素错位呢？也列举？

过于复杂繁琐啦～

那怎么办呢？

我们明确在数量关系中考查错位排序时，并不会考的太复杂太深，我们只需要记住几个结论，就可以对付数量中的错位排序题，什么结论呢？

当对1个元素错位排序时，情况数为0；

当对2个元素错位排序时，情况数为1；

当对3个元素错位排序时，情况数为2；

当对4个元素错位排序时，情况数为9；

当对5个元素错位排序时，情况数为44；

当对6个元素错位排序时，情况数为265；

到这里就足够足够了！

在此基础上，我们一起来看例题了。

例1：一张节目表上原有3 个节目，如果保持这 3 个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法：

A.20 B.12 C.6 D.4

解析：

根据题意，属于“定序问题”，共5个节目，其中3个节目定序；

则先对5个节目进行全排列，再除掉3个定序的全排列，即有：

例2：扶贫干部某日需要走访村内6个贫困户甲、乙、丙、丁、戊和己。已知甲和乙的走访次序要相邻，丙要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在第一个或最后一个走访。

问走访顺序有多少种不同的安排方式？

A.24 B.16 C.48 D.32

解析：

根据题意，走访顺序要求甲乙相邻、丙在丁前、戊在丙前，己在首或尾；

即甲乙相邻，戊、丙、丁三户顺序一定，己首或尾；

则先将甲乙捆绑，视为一个整体，与戊、丙、丁进行全排列，再除掉戊、丙、丁的全排列；

同时考虑甲乙之间的顺序，即有：

例3：将相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？

A.9 B.12 C.14 D.16

解析：

根据题意，考查4个元素的错位排序，调取记忆中的数据，答案选A。

例4：某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每 个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？

A.120 B.78 C.44 D.24

解析：

根据题意，考查5个元素的错位排序，调取记忆中的数据，答案选C。

以上就是排列组合中的定序问题和错位排序问题；

又来强调咯：

一定要理解，要思考，要读懂题意，分清相邻、不相邻和定序，记住相应的结论，简单计算即可求得答案。

排列组合之环形和可重复

●先来看环形排列：

题型特征：又要从名称出发了，看出来了么？

排成了环，首尾相连了！

那连就连了，对排列有什么影响么？

我们来分析：

n个元素排列，有多少种情况？

我们都很熟悉了，不就是n！么？

那现在条件变了，n个元素要首尾相连的排，咋整？

举个简单的例子：

假如我们对3个元素a、b、c进行排列，全排列的情形有3！种，即6种，列举一下即为：

abc、bca、cab、acb、cba、bac；

没问题吧？

那现在如果要求这三位围成一个圆来排列，会出现什么情况？

我们把上面6种排列都给它首尾相连起来，则有：

有没有发现当围成一个圆时，会有3种直线排列围出一样的环形排列：

就像排头到了排尾，排尾到了排头一样，围起来的时候没有了排头排尾之分，也没有了谁先谁后之分，3个元素只剩下了2种环形排列；

同理，4个元素也是一样，5个元素亦然...

得出结论：

n个元素做环形排列时，要在全排列的基础上除掉n个元素你先我后的n种情况，即有：

●再来看可重复排列：

首先要明确什么叫可重复排列？

可重复排列不同于其他所有的排列组合，其他排列组合种每个元素只出现一次，但是在可重复排列中，会有可以重复出现的元素；

举个简单的例子：

甲乙玩猜号码游戏，甲给乙出的题目是猜出纸条上的数字3xxx的后3位，请问乙最多要猜多少次可以猜出答案（每次答案不重复）？

这怎么猜呢？

可以确定的是xxx都是数字，可选择的范围是0-9，即每一位上都有10中选择；

也就是每个x都可以选0-9中的数字，即：0-9中的每个数字都可以被重复选择3次；

这就是可重复排列；

怎么选呢？

很简单呐，每个x都有10种选择，那3个x就有：

10x10x10=1000种组合...

不重复的猜，倒霉的乙也许要猜到第1000才能猜对哟！

那如果甲给的是3xxxx，乙要猜多少次呢？

每个x依然是有10种选择，0-9种每个数字可以被重复选择4次，此处@所有人，提醒咯：

谁当底数？谁当指数？

务必要搞清楚，搞反了可就错大发了！

可重复排列，谁可以重复，那谁的数量是底数！

可以重复多少次？次数则为指数！

就以上的例子来说：

0-9的数字可以被重复，数字的数量为10，则10为底数；

可以被重复选多少次？

3个x，则可以被重复选3次，3为指数；

4个x，则可以被重复选4次，4为指数。

此处感谢乙，让我们来总结一下：

到这里，可算是把我们特殊情形介绍完咯，来看例题吧！

例1：6个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一起，问有多少种安排方法?()

A.360 B.240 C.120 D.48

解析：

根据题意，属于“环形排列且相邻问题”；

先用捆绑法将小华和小明捆在一起，与其他4个小朋友进行环形全排列，即对5“个”小朋友进行环形全排列，同时再考虑小华和小明内部的顺序，即有：

例2：某小学组织6个年级的学生外出参观包括A科技馆在内的6个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择A科技馆的方案有：

A.1800 种 B.18750 种 C.3800 种 D.9375 种

解析：

根据题意，出现“任选”，即有科技馆可以被重复选择；

又“有且只有两个年级选A”，则从6个年级中选出2个去参观A，

其余4个年级任选5个科技馆中的一个，即有：

例3：有4个不同的信箱，有5封不同的信件欲投其中，则不同的投法有：

A.5 种 B.1024 种 C.40 种 D.625种

解析：

根据题意，5封信被投入4个信箱，即：

有4个信箱可以被选择，每个信箱可以被选择5次；

以上就是排列组合中的环形排列和可重复排列问题；

到这里，我们的排列组合就全部介绍完了；

喜大普奔呐～～～

回过头来梳理一下：

排列组合我们介绍了基础概念和公式、相邻与不相邻问题、相同元素分配和平均分组问题、定序问题和错位排序问题、环形排列和可重复排列问题；

复杂么？

说实话，有一点；

但是，这是一个过程，只要梳理清楚了这个过程，这就不算问题；

该理解的理解，该记住的记住，该刷题的刷题；

老话说的一定没问题：你走过的每一步，都！算！数！

数量关系 8.高频考点常用解题方法-概率问题

概率

概率是什么？

概率即某种情况发生的可能性，一般以0～1之间的实数来表示；

越靠近1，则该情况发生的可能性越大；

越靠近0，则该情况发生的可能性越小。

其公式为：

从公式出发提示我们：

遇到正向情况较复杂的，可以逆向来计算；

从公式出发也不难看出：

为什么我们前面说排列组合是概率的基础，概率的公式中分子分母都在求情况数，都是在一定条件下的排列组合；

既然如此，那概率中一定会涉及到排列还是组合，分步还是分类；

即务必要分清：

是否有顺序，是独立的完成还是其中的一步！

当然，除排列组合外，还有一种情况数无穷多或这无法计数，则可以通过区域面积或者长度来计算概率，即涉及到了几何图形的概率，虽然考查较少，但我们也要了解一下；

例如：

为了完成毕业课题，小王需要完成一块田的种植，该田的形状和面积给定，其中有部分是营养土，有部分是普通土壤，有部分是...土，假设种子都被均匀的洒在田中且发芽率一致，则种子被洒在营养土中概率为？

这里就不涉及情况数了，怎么计算？

算营养土面积占总面积的比例，求出的即为设问的概率。

理解了吧？

我们一起来看例题。

例1：某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手？

A.0.768 B.0.800 C.0.896 D.0.92420

解析：

根据“三局两胜制”可知，甲赢得乙有几种情况，需要分情况讨论，且每种情况都可以独立的赢得乙；

即为分类，求出每种情况的概率之后，相加得总概率：

情况1：

甲第一局和第二局胜，则直接胜出，概率为：80%x80%；

情况2：

甲第一局胜，第二局败，第三局胜，则概率为：80%x20%x80%；

情况3：

甲第一局败，第二局和第三局胜，则概率为：80%x20%x80%；

相加即为：

80%x80%+80%x20%x80%+80%x20%x80%

=0.8x0.8+0.8x0.8x0.2x2

=0.64+0.64x0.4

=0.64x1.4

末尾为6，答案选C。

例2：某宵节时某单位工会组织猜灯谜活动，需要在标号1、2、3、4 四个灯笼上 贴上四道不同难度的谜语，1号灯笼对应难度最低的灯谜，2、3、4 号灯笼对应灯谜的难度依次递增。工作人员安排了一位志愿者帮忙贴灯谜，但由于匆忙忘记告诉志愿者灯谜的难度，那么灯谜位置全部贴错的概率是：

解析：

根据“全部贴错”可知，考查错位排序问题；

则思路为：

分母为总的情况数，分子为错位排序情况数；

对4个元素错位排列，调取记忆中的数据，情况数为9；

总情况数为：4个元素的全排列，即4！

例3：某单位工会组织桥牌比赛，共有8 人报名，随机组成 4 队，每队 2人。那么，小王和小李恰好被分在同一队的概率是（ ）。

解析：

根据“每队2人”，可知考查平均分组问题；

思路为：

分母为平均分组的总情况数，分子为除小王和小李外的其余6人的平均分组情况数；

根据平均分组结论，即有：

例4：有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少：

A.在 1‰到 5‰之间 B.在 5‰到 1%之间 C.超过 1% D.不超过 1‰

解析：

根据题意可知，考查环形排列和相邻问题；

因“5对夫妇相邻而座”可知，需要将5对夫妇各自捆绑，变为5个组参与环形排列，且考虑内部顺序，即有：

思路为：

分母为10人环形排列总情况数，分子为带内部顺序的5组的环形排列；

根据环形排列结论：

例5：小波通过往圆圈里投掷米粒（米粒本身长度不计，视为一个点）的方式决定自己的周末活动经过试验，他将米粒投进圆圈内的成功率达到100%，但投掷在圆内的位置随机如果米粒到圆心的距离大于圆半径的一半，那么他周末去看电影；若米粒到圆心的距离小于半径的 1/4，他会去打篮球；否则，他将在家看书据此可知小波周末不在家看书的概率为（ ）。

解析：

根据题意，出现圆圈、圆的半径等，考虑该概率与几何图形有关，辅助画图：

以上就是排列组合基础上的概率问题；

通过例题的展示，相信大家也看出来了，排列组合有多重要，概率其实仅仅是求出两种情况数后附加的一个步骤；

数量关系9.高频考点常用解题方法-容斥问题

什么是容斥问题呢？

容斥问题同排列组合和概率一样，都是数量关系中常考查的有关计数的问题；

容和斥，容即容纳、包容，斥即排斥、排除；

即容斥问题中一定会存在包含和排除的关系；

如此抽象呢？

其实说白了，也就是集合问题，而集合与集合之间又很容易存在交叉，那么在计数的时候，如果直接两个集合数相加，很容易出现重复被加的元素，那么重复的部分就需要被排除掉；这就是容斥问题。

容斥问题常考查的题型如下：

两集合问题、三集合问题和多集合问题；

其中多集合问题常考查最值，我们将其放在最值的篇幅里介绍；

本篇我们先来看两集合问题和三集合问题；

●首先来看两集合问题：

从例子入手来分析；

例：某乡有32户果农，其中有26户种了柚子树，有24户种了橘子树，还有5户既没有种柚子树也没有种橘子树，那么该乡同时种植柚子树和橘子树的果农有( )

A.23户 B.22户 C.21户 D.24户

本题中，给定了一个总数、两个不同的集合柚子A、橘子B，我们用文氏图表示如下：

由题意可知，数值与图示的对应关系应为：

方框为32、红色部分为26，绿色部分为24，都不满足为5；

其中红色部分和绿色部分有重叠，重叠部分即为设问所求“同时种植柚子树和橘子树的果农”

从图示不难发现，当我们计算A+B时，红色和绿色的重叠部分被加了两次，重复的需要排除掉，所以需要减去重复部分，即表示为：

那么例题就迎刃而解了：

代入数据：

32-5=26+24-都种的；

求得都种的为：50-27=23，答案选A。

●再来看三集合问题；

依然从例子入手：

例：某小学开展特色课外兴趣班，有篮球、绘画、舞蹈3种课程，其中报名篮球的有13位，报名绘画的有21位，报名舞蹈的有18位，既报名舞蹈又报名绘画的有8位，既报名篮球又报名绘画的有5位，既报名篮球又报名舞蹈的有6位，三种课程都报名的有2位；

问：报名兴趣班的一共有多少同学？

有了两集合的思路，对于三集合我们直接来看文氏图：

其中篮球为A，绘画为B，舞蹈为C；

那么根据题意，数值与图示的对应关系应为：

绿色为13，红色为21，蓝色为18；

绿色与红色重叠的部分为5，红色与蓝色重叠的部分为8，蓝色与绿色重叠的部分为6；

三色都重叠的部分为2；都不满足为0，求方框；

在两集合中我们知道要除掉重叠的部分，在三集合中亦然；

怎么除呢？

从颜色出发，我们把目标定为：无论什么颜色，有色部分只能留下一种颜色；

即两色重叠的部分去掉一色，三色重叠的部分去掉两色；

到这里，我们来验证下颜色：

红绿去掉一色、红蓝去掉一色、蓝绿去掉一色，但是！这个过程中，三色重叠的部分被去掉了三次，去掉3次意味着没有颜色了，但我们要求保留一色，所以在以上公式的基础上，我们需要再加回一次三色，即：

那么例题求解如下：

代入数据即有：

总数-都不满足的（为0）=13+21+18-5-8-6+2=35，即总人数为35。

此为三集合标准型，那什么是不标准型呢？

●三集合非标准型；

给定的数据不同，如图所示：

标准型给定的是两两和三者之间的数据，而非标准型给定的是如图所示的：1、2、3、4的数据；

用文字描述即为：只满足两者的数据，即从满足两者的数值中除去了满足三者的数值；

那这个时候如果用公式应该如何表示呢？

我们依然从颜色出发，将目标定为：

无论什么颜色，有色部分只能保留一种颜色；

如果此时计算A+B+C，则应该怎么去掉重复呢？

从图示出发即有：

以上就是两集合和三集合容斥问题；

理解清楚题意，可以辅助画图理清集合之间的关系，在此基础上来看例题；

例1：学校有300 个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣小组或者两个小组同时 参加，如果 80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。

问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少：

A.240 B.150 C.90 D.60

解析：

题干出现2个小组人数问题，考查两集合容斥；

两集合人数分别为：

地理300x80%=240人，生物300x50%=150人；

根据公式可知：

总数-都不满足=240+150-都参加

其中都不满足为0，即有：

都参加=240+150-300=90，答案选C。

例2：工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为 2：1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的？（ ）

A．20% B．30% C．40% D．50%

解析：

题干出现周六周日两个集合，考查两集合容斥；

条件出现各类比例关系：

周六=2周日，周六且周日=50%只周日；

假设周六且周日的人数为x，通过画文氏图辅助理清集合关系：

重叠部分为x，则只周日=2x，周日=3x，周六=6x，只周六=6x-x=5x

则周末参加活动的总人数为：6x+3x-x=8x；

总人数为8x／80%=10x，即未报名活动的人数为2x；

则设问所求为：

未报名／只周六=2x/5x=40%，答案选C。

例3：为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中，参加合唱活动的有189 人，参加象棋活动的有 152人，参加羽毛球活动的有 135 人，参加两种活动的有 130 人，参加三种活动的有69 人，不参加任何一种活动的有 44 人。

该单位的职工人数为（ ）人。

A．233 B．252 C．321 D．520

解析：

题干出现合唱、象棋和羽毛球三集合，考查三集合容斥；

再看条件，判断是标准型还是非标准型；

根据“参加两种活动的人”可知，考查非标准型；

根据非标准型公式，代入数值即有：

总数-都不满足=总数-44

=189+152+135-130-2x69

即总数=189+152+135-130-2x69+44

可以计算的结果，也可以看尾数：

9+2+5，尾数为6；

6-0-8+4，尾数为2，答案选B。

例4：对某单位的100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有（ ）

A. 22 人 B. 28 人 C. 30 人 D. 36 人

解析：

题干出现球赛、电影和戏剧三集合，考查三集合容斥；

再看条件，根据3个“既...又..”可知为考查标准型；

根据标准型公式，代入数值即有：

总数-都不满足

=58+38+52-18-16-球赛且电影+12=100

求得：

球赛且电影=26人；

那设问的“只喜欢看电影的人”怎么求呢？

如果一时想不到，别忘了画图来辅助理清：

只喜欢电影的人应为绿色不重叠部分，即：

只电影

=电影-电影且戏剧-电影且球赛+三种都喜欢

=52-16-26+12，尾数为2，答案选A。

以上就是容斥问题中的两集合和三集合问题；

数量关系10. 高频考点常用解题方法-最值问题

什么类型的题目是最值问题呢？

出现“最多、最少／至少、最大、最小...”即为最值问题；

在数量关系中最值关系的考查，常出现的有如下3种描述：

“至少....才能保证...”

“最多的人/最少的城市/排第..名的.....至少/最多......”

“全部/都/共同...至少...”

3种描述分别对应3种题型，每种题型对应最佳的解题方法，我们分2篇来一一介绍。

本篇先看前两种：

●先来看“至少+保证”

怎么理解呢？

举个例子：

甲有一个苹果和一车共666个梨，乙对甲说，我想要一个苹果；但甲觉得梨更好，一直给乙梨，直到给了乙666个梨之后，不情不愿的把唯一的苹果给了乙；

乙简直无语至极，甚至快被气死了，但好在拿到了苹果，虽然是第667次才拿到.....

此时，我们用“至少+保证”来描述一下：

即至少经过667次，才能保证乙一定会拿到苹果。

这一类最值的解法叫做“最不利构造”：

即要什么不给什么，穷尽所有不要的之后，再给那个要的，就是答案；

整理总结一下即为：

“至少+保证”类题型，找到最不利的情况数，那么再经过一次，就可以完成“保证”，即答案为：最不利+1。

●再来看两最、排名+最多／最少问题，即：

“最多+至少、最少+最多、排第...+最多／最少”

这又怎么理解？

依然举个例子：

甲的一车现在有666个梨，要分给ABCDE5个人，每个人得到的数量互不相同，那么如果最终A得到的梨的数量排在第四，那么A最多能得到多少个梨？

这这...搞半天5个人的数量都是未知馁？

我们尝试来分析一下：

总和是一个定值，想让A尽可能的多，那么就需要其余四个人尽可能少且各不相同；

那假设A的数量为x，排名第四；

那第三名尽可能少的话，那就比A多一个好了，即为x+1；

第二名呢？要比第三名多一个，即为x+2；

第一名呢？比第二名多一个，即为x+3；

第五名呢？要最少，那给1个好了。

这样一来，5个人按照顺序排成了一个数列，且满足5个人之和为666，

即有：

(x+3)+(x+2)+(x+1)+x+1=4x+7=666

求得x=164.75

也就是说，x最多为164.75个，取整取多少？

最多为164.75，那只能取164了！

那如果问最少呢？那就需要取165了。

整理总结一下：

“和定且两最或排名+最”问题，采用数列构造的方式求解；

解法步骤为：

先根据题意为所有的元素排序；

再求谁设谁为x；

然后根据题意，构造出其他元素的值；

最后列方程求和，解出x的值。

注意咯！

此时如果x为整数，那么直接选择；

如果x为小数呢？问最多和最少的取值是不同的：

问最多，舍小数；

问最少，小数进位，即无论小数为几，皆取小数为1加上去。

好！趁热打铁来看例题～

例1：某高校举办一次读书会共有37位同学报名参加，其中中文、历史、哲学专业各有10 位同学报名参加此次读书会，另外还有4位化学专业学生和3位物理专业学生也报名参加此次读书会，那么一次至少选出多少位学生，能保证选出的学生中至少有5位学生是同一专业的。

A.17 B.20 C.19 D.39

解析：

题干设问“至少...+保证”，可知需要构造最不利；

分析要满足“至少5为学生是同一专业的”，怎么办？

要什么不给什么！

要5个？不给，最多给你4个！

看专业：

中文、历史、哲学各10位同学、化学4位、物理3位；

怎么给？

4位化学的都给！3位物理的都给！

中文、历史、哲学的各给4位！

最后再不情不愿的随机给1位，这一位的专业一定是中文、历史、哲学中的某个；

至此，最不利+1就构造好了；

答案应为：（4+3+4+4+4）+1=20，答案选B。

例2：某演唱会主办方为观众准备了白红橙黄绿蓝紫7种颜色的荧光棒各若干只，每名观众可在入口处任意选取 2 只，若每种颜色的荧光棒都足够多，那么至少（）名观众中，一定有两人选取的荧光棒颜色完全相同。

A.14 B.22 C.28 D.29

解析：

题干设问“至少...一定”，即“至少+保证”类题型，需要构造最不利；

要满足“有两人选取的荧光棒颜色完全相同”，怎么办？

要什么不给什么！

每个来的人选的就恰好和前面的不同；

那荧光棒的不同组合会有多少种？

来看题干，7种颜色的荧光棒足够多，每人任选2只；

有2种情况：

例3：某街道服务中心的80名职工通过相互投票选出6名年度优秀职工，每人都只投一票，最终 A、B、C、D、E、F 这 6 人当选。已知A票数最多，共获得20张选票；B、 C 两人的票数相同，并列第2；D、E 两人票数也相同，并列第3；F 获得10张选票，排在第4。

那么B、C 获得的选票最多为（）张。

A.11 B.12 C.13 D.14

解析：

根据题意，考查“排名+最”问题，可知需构造数列；

看题干：6人为有顺序的序列，

排序为：

设问要求“B、C”最多，那就需要让D、E尽可能少；

那只要让D、E稍微比F强一点就行，得票11张；

即有：20+2x+22+10=52+2x=80

解得：x=14，答案选D。

例4：某通信信道可以传输的信号由1、2、3、4 四个数字组成，每组信号包含4个数字（可重复），且前两个数字必须为奇数。某次传输过程中共传输了250组信号，其中传输次数最多的信号传输了x次。

问 x 的最小值为:

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：

根据题意，考查“两最”问题，可知需构造数列；

看题干，信号的传输次数之间没有明确的排序，即所有的信号都可以传输同样多次；

那一共有多少组不同的信号呢？

看条件：

每组4个数字可重复，且前两位是奇数；

那第一位和第二位均有1、3两种可能；第三位和第四位均有1、2、3、4四种可能；

情况数为：2x2x4x4=64种；

则若每组信号均传输最多，并列第一，传输次数为x次，即有：

64x=250，解得x=3.9...，问最小，取小数为1，加上去，得：x=4。

答案选C。

例5：某新能源汽车企业计划在A、B、C、D 四个城市建设72个充电站，其中在B市建设的充电站数量占总数的 1/3，在C市建设的充电站数量比A市多6个，在D市建设的充电站数量少于其他任一城市。

问至少要在C 市建设多少个充电站？

A．20 B．18 C．22 D．21

解析：

根据题意，考查“排名+最”问题，可知需构造数列；

A、B、C、D为有顺序的序列，其中B市充电站数量为：72/3=24个；

如何排序呢？

其他三个城市中，可以确定的是C市最多，但设问又想让它尽量少，那么我们就让他小于24，则四者的排序为：

要求“C最少”，则其他要尽量多，那就让D仅次于A，为x-7，即有：

x+x-6+x-7=48;

解得x=20.3333.....，问最少，小数部分取1加上去，即x=21，

答案选D。

以上就是最值问题种的最不利和数列构造；

牢牢记住题型特征，稳稳对应解题方法，简单迅速求得结果！

继续看最值问题中的最后一种常考题型，也就是我们在容斥问题中提到过的多集合题：

最值

题干特征：“全部／都／共同...至少...”

这样看，有点抽象，我们看个例题：

例：某社团共有46 人，其中 35 人爱好戏剧，30 人爱好体育，38 人爱好写作，40 人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢：

A、5 B、6 C、7 D、8

直观一看，很熟悉呐，这就是集合呗；

是的，集合我们一定不陌生了，但是我们前面介绍的是两集合和三集合的求值问题，这里出现了4个集合，而且设问也与前面不同，问“至少...都喜欢...”？

“至少”这是最值的描述，问最少，属于多集合的最值问题，如何求解呢？

上一篇我们接触的两种最值问题，求解的时候都是根据题干条件构造了一种情形，沿着这个思路来看，多集合中我们也需要构造个什么情形，怎么构造呢？

我们尝试来分析一下：

通过文氏图可知：

A、B、C、D分别为喜欢四项活动的，其中：

两色重叠部分为喜欢两项的；

三色重叠部分为喜欢三项的；

四色重叠部分为喜欢四色的；

如果按照集合的思路，我们需要知道二重和三重部分的数据、都不满足的数据，才能一步一步推出来四色，但是太复杂了这，万一再出个5个集合、6个集合呢？

关键再回看题干，题干也没给这个数据呐，想复杂着推也推不了，咋整？

我们说正面情形较复杂时，可以逆向切入：

四项都喜欢人数=总人数-不都喜欢的人数

四项都喜欢的人最少？那就需要不都喜欢的人最多。

那不都喜欢的人数哪里来呢？

这时回看题干，我们不难发现：

46人中：

①有35人爱好戏剧，那么就有46-35=11人不喜欢戏剧；

②有30人爱好体育，那么就有46-30=16人不喜欢体育；

③有38人爱好写作，那么就有46-38=8人不喜欢写作；

④有40人爱好收藏，那么就有46-40=6人不喜欢收藏。

...

那不都喜欢和①②③④这4个不喜欢之间有什么关系呢？

不都喜欢可能是：

不喜欢其中1个，不喜欢其中2个，不喜欢其中3个，甚至一个都不喜欢；

此时我们用文氏图来表示，即有：

方框为总数，4个集合分别为不喜欢其中之一的，可知：

两色重叠部分即为不喜欢其中之二的；

三色重叠部分即为不喜欢其中之三的；

四色重叠部分即为不喜欢4者的；

都不满足的即为都喜欢的；

那我们求不都喜欢的人数时，即求：

如果想要不都喜欢最大，那就是重叠部分最少，这时就需要将4个集合分开，让他们不再有任何重叠，即变为下图的形式：

那么此时便构造出了“不都喜欢的人是最多的”情形；

则有“都喜欢的最少”=总数-“不都喜欢的最多”

再回到上面的例子，就可以迎刃而解了：

戏剧、体育、写作和收藏中，不都喜欢的人最多为：

11+16+8+6=41，

则可求得：

都喜欢的至少为：46-41=5人。

整理总结一下即为：

题干给定条件为：

多个集合，问“至少...都”的情形，则逆向思考，找出每个集合的反面，求和，再用总量做差，求得答案。

此种方法即为：多集合反向构造。

除此之外，多集合的考查，也会出现在“至少...都”的基础上加限制条件的问法；

例如：共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试？( )

A．30 B．55 C．70 D．74

依然是给定了多个集合，问“至少...能”，但是却加上了一个限制条件“答对3道和3道以上的人可以通过”

那这个时候怎么构造呢？

我们一起来分析：

能通过考试的人需满足：答对3或4或5道；

现在题干中已知了被答对的题目的总数，假设通过的人数为x，则有未通过的人数未100-x，且未通过的人答对题目为0或1或2：

我们有等量关系：

通过的人答对的题+未通过的人答对的题=答对的题总量

即有：

如果想让x尽量小，那就需要其他的三个数尽量大；

那通过的人答对的题最多为5，那就第一个框填5；

未通过的人答对的题最多为2，那就第一个框填2；

即得：

5x+2（100-x）=总数=80+92+86+78+74；

200+3x=410

3x=210

求得x=70，答案选C。

这是正面求解的，那可不可以反面求解呢？

当然可以；

先求得被答错的题量，从第一题到第五题，答错的人分别为：

20、8、14、22、26；

被答错的题目总量为20+8+14+22+26=90题；

现在问通过的人最少的情况，需要构造出未通过的人最多；

根据题意，通过的人答错的题为0或1或2 ，未通过的人答错的题为3或4或5；

依然有等量关系：

通过的人答错的题+未通过的人答错的题=答错的题总量

即有：

如果想要未通过的人最多，那其他三个数就要尽量小；

则有：

0x+3（100-x）=90

100-x=30

解得x=70，答案选C。

我们会发现本题中反向构造更简单些，所以推荐反向哈～

整理一下反向，即有：

问“通过的人最少”，则构造“未通过的人最多”的情形；

记住：构造最多，找其最少！

根据限制条件：

未通过的是答错的题多了，至少答错了3道；

求出“被答错”的总量，总量／至少量=至多人！

总人数-逆向至多人=正向至少人！

理解了么？

文字不够直观对吧？代入数据：

被答错的总量为90，未通过考试的人至少答错3题，则90/3=30为最多情形下未通过考试的人！

100-30=70，即为最少情形下通过考试的人。

整理总结一下即为：

题干给定条件为：

多个集合，问限制条件下的“至少...都”，反向构造最多情形，构造最多找其最少；

那如果问限制条件下的“最多...”，直接找其最少！

简单计算求得结果。

以上两类多集合最值题型，问最少反向构造最多，问最多直接求；

可以直接记结论，更推荐在理解清楚过程的基础上强化记忆，印象会更深刻。

接下来就看例题了。

例1：阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。

A．5 B．10 C．15 D．30

解析：

根据题意，给定3个集合，问“共同...最少”，可知考查多集合反向构造问题；

找每个集合的反向：

小赵借阅过75本，那没被小赵借阅过的为：

100-75=25本；

小王借阅过70本，那没被小赵借阅过的为：

100-70=30本；

小刘借阅过60本，那没被小赵借阅过的为：

100-60=40本；

找到每个集合的反向之后，对其求和，即有：

没被共同借阅过的书最多有：

25+30+40=95本；

再用总量做差：

则共同被借阅多的最少为100-95=5本；

答案选A。

例2：某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在接受调查的1000 人中，有 68%的人使用过甲软件，有 87%的人使用过乙软件，有 75%的人使用过丙软件，有 82%的人使用过丁软件。那么，在这 1000 人中，使用过全部四款手机软件的至少有（ ）人。

A．120 B．250 C．380 D．430

解析：

根据题意，给定4个集合，问“全部...至少”，可知考查多集合反向构造问题；

找每个集合的反向：

使用过甲软件的人有68%，那么没使用过甲软件的为：

（1-68%）x1000=320人；

使用过乙软件的人有87%，那么没使用过甲软件的为：

（1-87%）x1000=130人；

使用过丙软件的人有75%，那么没使用过甲软件的为：

（1-75%）x1000=250人；

使用过丁软件的人有82%，那么没使用过甲软件的为：

（1-82%）x1000=180人。

求和即得没全部使用过的人最多为：

320+130+250+180=880人，

再用总量做差：

则全部使用过的人最少为：1000-880=120人，

答案选A。

例3：有书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。

问本次投票的有效率最高可能为多少？（ ）

A．65% B．70% C．75% D．80%

解析：

根据题意，给定5个集合，求限制条件下的最值问题；

问“投票有效率最高”，即有效票张数最多，直接找其最少；

“有效票”有什么是最少？

根据限制条件：

“选择不超过2幅作品为有效”，也就是：

选择最多2幅作品，那对应的最少就是，最少3个未被选；

假设观众共100名，则未被勾选数共

500-（69+63+44+58+56）

=500-290=210；

未被勾选数总量为210，总量／最少=最多；

即有效最多=210/3-70，有效率即为70/100=70%，

答案选B。

以上就是最值问题、容斥问题中的多集合反向构造题型；

通过例题的展示，相信大家也看出来了，如果没有前面分析理解的过程，是没有办法快很准的找到方向的。