IEEE 754 浮点数标准介绍_ieee754

本文将对IEEE 754 二进制表示十进制浮点数的标准进行介绍。单精度浮点和双精度浮点特性总结如下

IEEE754详解（最详细简单有趣味的介绍）
IEEE 754浮点数十六进制相互转换(32位,四字节,单精度)
IEEE754浮点数标准

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1. 协议

1.1. 协议内容

首先介绍协议内容，float和double的二进制表示如下

● 符号 1bit： 0为正数、1为负数

● 阶码 float为8bit、double为11bit： 用于表示以2为底的指数，公式如下

if(阶码==0):				# 非规格数，非常靠近0的数
	指数 = 1 - 偏移量
elif(阶码有1有0):			# 规格数
	指数 = 阶码 - 偏移量
elif(阶码全为1):				# 表示无穷大 或 无效数
	指数 = infinity or NaN
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定义无穷大和无效数好理解，那为什么还要将阶码全0和不全0分开呢？这是为了将取值范围包含0，下文介绍

例如float偏移量为127、那么float类型可表示的指数为[1,254]-127 = [-126,127]、

double偏移量为1023，double类型可表示的指数为[1,2046]-1023 = [-1022,1023]

例如float类型，指数为$2^{56}$对应的阶码为56+127=183=8'b1011_0111，$2^{-47}$对应阶码为-47+127=80=8'b0101_0000

● 尾数 float为23bit、double为52bit： 表示二进制下的小数部分，公式如下

if(阶码==0):				# 非规格数，非常靠近0的数
	有效数 = {'b0.尾数} = {1'b0, 尾数} × 2^{-23}
elif(阶码有1有0):			# 规格数
	有效数 = {'b1.尾数} = {1'b1, 尾数} × 2^{-23}
elif(阶码全为1):				# 表示无穷大 或 无效数
	if(尾数全为0):
		有效数 = infinity
	else:
		有效数 = NaN
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即一般数尾数表示小数部分，整数部分是1。阶码为0时，尾数也表示小数部分，但是整数部分是0。

那么一个任意浮点数就可以用IEEE 754标准来表示。例如float 20.5就为{1'b0,8'd131,23'b0100_1000_0000_0000_000} = 32'b0_10000011_0100100000000000000。

1.2. 浮点数 与 定点数转换

高级语言中，编译器会自动将用户输入的十进制浮点小数转化成IEEE 754标准下的二进制浮点数。

之后硬件电路所有计算均是以IEEE 754为标准进行的，思路是将阶码和尾数分开来看，而不是将IEEE754再转化为定点数。

最终计算完毕后要输出给CPU时，编译器再将IEEE 754二进制浮点数转化为十进制浮点小数。

例如要计算20.5 + 20.25，SoC中流程是这样的

软件编译器： 20.5→{1'b0,8'd131,23'b0100_1000_0000_0000_000};
			20.25→{1'b0,8'd131,23'b0100_0100_0000_0000_000};
CPU：加法指令→硬件RTL
硬件RTL：{1'b0,8'd131,23'b0100_1000_0000_0000_000} + {1'b0,8'd131,23'b0100_0100_0000_0000_000} = 
		{1'b0,8'd132,23'b0100_1100_0000_0000_000} → CPU → 软件编译器
软件编译器：{1'b0,8'd132,23'b0100_1100_0000_0000_000}→40.75
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那么编译器是如何实现十进制小数与IEEE 754小数转换的呢？

2. 取值范围

2.1. 规格数值域 (阶码有1有0)

对于正常的规格数，取值范围可以计算

$float:\pm 尾数\times 2^{指数}=\pm (1.尾数)\times 2^{(阶码-127)}$
= [ { 1 ′ b 1 , 8 ′ h F E , 2 3 ′ h 7 F _ F F F F } , { 1 ′ b 1 , 8 ′ h 1 , 2 3 ′ h 0 } ] ∪ [ { 1 ′ b 0 , 8 ′ h 1 , 2 3 ′ h 0 } , { 1 ′ b 0 , 8 ′ h F E , 2 3 ′ h 7 F _ F F F F } ] =[\{1'b1,8'hFE,23'h7F\_FFFF\},\{1'b1,8'h1,23'h0\}]∪[\{1'b0,8'h1,23'h0\},\{1'b0,8'hFE,23'h7F\_FFFF\}] =[{1′b1,8′hFE,23′h7F_FFFF},{1′b1,8′h1,23′h0}]∪[{1′b0,8′h1,23′h0},{1′b0,8′hFE,23′h7F_FFFF}]
$\in \pm [1,2)\times 2^{[-126，127]}$
$=(-2\times 2^{127},-1\times 2^{-126}]\cup [1\times 2^{-126},2\times 2^{127})$
$\approx (-3.4\times 10^{38},-1.18\times 10^{-38}]\cup [1.18\times 10^{-38},3.4\times 10^{38})$

$double:\pm 尾数\times 2^{指数}=\pm (1.尾数)\times 2^{(阶码-1023)}$
= [ { 1 ′ b 1 , 1 1 ′ h 7 F E , 5 2 ′ h F _ F F F F _ F F F F _ F F F F } , { 1 ′ b 1 , 1 1 ′ h 1 , 5 2 ′ h 0 } ] ∪ [ { 1 ′ b 0 , 1 1 ′ h 1 , 5 2 ′ h 0 } , { 1 ′ b 0 , 1 1 ′ h 7 F E , 5 2 ′ h F _ F F F F _ F F F F _ F F F F } ] =[\{1'b1,11'h7FE,52'hF\_FFFF\_FFFF\_FFFF\},\{1'b1,11'h1,52'h0\}]∪[\{1'b0,11'h1,52'h0\},\{1'b0,11'h7FE,52'hF\_FFFF\_FFFF\_FFFF\}] =[{1′b1,11′h7FE,52′hF_FFFF_FFFF_FFFF},{1′b1,11′h1,52′h0}]∪[{1′b0,11′h1,52′h0},{1′b0,11′h7FE,52′hF_FFFF_FFFF_FFFF}]
$\in \pm [1,2)\times 2^{[-1022，1023]}$
$=(-2\times 2^{1023},-1\times 2^{-1022}]\cup [1\times 2^{-1022},2\times 2^{1023})$
$\approx (-2.23\times 10^{308},-1.80\times 10^{-308}]\cup [1.80\times 10^{-308},2.23\times 10^{308})$

2.2. 非规格数值域 (阶码全0)

根据非规格数的算法，非规格数的值域为

$float:\pm 尾数\times 2^{指数}=\pm (0.尾数)\times 2^{(1-127)}$
= [ { 1 ′ b 1 , 8 ′ h 0 , 2 3 ′ h 7 F _ F F F F } , { 1 ′ b 1 , 8 ′ h 0 , 2 3 ′ h 0 } ] ∪ [ { 1 ′ b 0 , 8 ′ h 0 , 2 3 ′ h 0 } , { 1 ′ b 0 , 8 ′ h 0 , 2 3 ′ h 7 F _ F F F F } ] =[\{1'b1,8'h0,23'h7F\_FFFF\},\{1'b1,8'h0,23'h0\}]∪[\{1'b0,8'h0,23'h0\},\{1'b0,8'h0,23'h7F\_FFFF\}] =[{1′b1,8′h0,23′h7F_FFFF},{1′b1,8′h0,23′h0}]∪[{1′b0,8′h0,23′h0},{1′b0,8′h0,23′h7F_FFFF}]
$\in \pm [0,1)\times 2^{-126}$
$=(-1\times 2^{-126},1\times 2^{-126})$
$\approx (-1.18\times 10^{-38},1.18\times 10^{-38})$

$double:\pm 尾数\times 2^{指数}=\pm (0.尾数)\times 2^{(1-1023)}$
= [ { 1 ′ b 1 , 1 1 ′ h 0 , 5 2 ′ h F _ F F F F _ F F F F _ F F F F } , { 1 ′ b 1 , 1 1 ′ h 0 , 5 2 ′ h 0 } ] ∪ [ { 1 ′ b 0 , 1 1 ′ h 0 , 5 2 ′ h 0 } , { 1 ′ b 0 , 1 1 ′ h 0 , 5 2 ′ h F _ F F F F _ F F F F _ F F F F } ] =[\{1'b1,11'h0,52'hF\_FFFF\_FFFF\_FFFF\},\{1'b1,11'h0,52'h0\}]∪[\{1'b0,11'h0,52'h0\},\{1'b0,11'h0,52'hF\_FFFF\_FFFF\_FFFF\}] =[{1′b1,11′h0,52′hF_FFFF_FFFF_FFFF},{1′b1,11′h0,52′h0}]∪[{1′b0,11′h0,52′h0},{1′b0,11′h0,52′hF_FFFF_FFFF_FFFF}]
$\in \pm [0,1)\times 2^{-1022}$
$=(-1\times 2^{-1022},1\times 2^{-1022})$
$\approx (-1.80\times 10^{-308},1.80\times 10^{-308})$

这样一来，非规格数就填补了一部分规格数中间不含零的部分。这是因为，以float为例，非规格数尾数部分是取不到$\pm 1\times 2^{-126}$的，所以非规格数和规格数值域的并集其实没有完全覆盖$=(-2\times 2^{127},2\times 2^{127})$。但这一部分数很小，

如果阶码为0时，依然按照规格数的算法计算的话，取值范围含不了零。
以float型为例，
$float:\pm 尾数\times 2^{指数}=\pm (1.尾数)\times 2^{(0-127)}$
= [ { 1 ′ b 1 , 8 ′ h 0 , 2 3 ′ h 7 F _ F F F F } , { 1 ′ b 1 , 8 ′ h 0 , 2 3 ′ h 0 } ] ∪ [ { 1 ′ b 0 , 8 ′ h 0 , 2 3 ′ h 0 } , { 1 ′ b 0 , 8 ′ h 0 , 2 3 ′ h 7 F _ F F F F } ] =[\{1'b1,8'h0,23'h7F\_FFFF\},\{1'b1,8'h0,23'h0\}]∪[\{1'b0,8'h0,23'h0\},\{1'b0,8'h0,23'h7F\_FFFF\}] =[{1′b1,8′h0,23′h7F_FFFF},{1′b1,8′h0,23′h0}]∪[{1′b0,8′h0,23′h0},{1′b0,8′h0,23′h7F_FFFF}]
$\in \pm [1,2)\times 2^{-127}$
$=(-2\times 2^{-127},-1\times 2^{-127}]\cup [1\times 2^{-127},2\times 2^{-127})$

2.3. ±inf与NaN (阶码全1)

根据算法，当阶码全为1且尾数全为0是±inf，阶码全为1且尾数不全为0则是NaN

f l o a t : { 1 ′ b 0 , 8 ′ h F F , 2 3 ′ h 0 } = + i n f float: \{1'b0,8'hFF,23'h0\} = +inf float:{1′b0,8′hFF,23′h0}=+inf
{ 1 ′ b 1 , 8 ′ h F F , 2 3 ′ h 0 } = − i n f \{1'b1,8'hFF,23'h0\} = -inf {1′b1,8′hFF,23′h0}=−inf
{ 1 ′ b x , 8 ′ h F F , 2 3 ′ h . . . 1...0... } = N a N \{1'bx,8'hFF,23'h...1...0...\} = NaN {1′bx,8′hFF,23′h...1...0...}=NaN

d o u b l e : { 1 ′ b 0 , 1 1 ′ h 7 F F , 5 2 ′ h 0 } = + i n f double: \{1'b0,11'h7FF,52'h0\} = +inf double:{1′b0,11′h7FF,52′h0}=+inf
{ 1 ′ b 1 , 1 1 ′ h 7 F F , 5 2 ′ h 0 } = − i n f \{1'b1,11'h7FF,52'h0\} = -inf {1′b1,11′h7FF,52′h0}=−inf
{ 1 ′ b x , 1 1 ′ h 7 F F , 5 2 ′ h . . . 1...0... } = N a N \{1'bx,11'h7FF,52'h...1...0...\} = NaN {1′bx,11′h7FF,52′h...1...0...}=NaN

3. 精度

首先明确一下精度的概念，无论二进制还是十进制，精度是数字集合的最小间隔

例如8'd1200、8'd1300、8'd1400、...每个数之间最小间隔是100所以精度就是8'd100，8'b1000、8'b1100、8'b0000精度就是8'b100=8'd4

所以如果有超过精度的数字，就需要将小于精度的数四舍五入截去

例如无符号数8'b1100.1101精度为8'b1，即保留4bit有效数字，那么就是8'b1100 + 8'b1 = 8'b1101。如果精度是8'b0.1，即保留5bit有效数字，那么就是8'b1100.1 + 8'b0.1 = 8'b1101.0
四舍五入方法详见RTL Arithmetic - 整数数制

也就是说数字集合中的数字按照一定间隔离散分布的，例如[1,2]间隔为0.1，那么数字集合就是{1, 1.1, 1.2, 1.3,..., 1.9, 2.0}。那么对于1.15就会四舍五入将小数第1位之后的位全部舍去，变为1.2

3.1. 浮点数的二进制精度

那么对于IEEE 754而言浮点数的二进制精度是多少呢？看间隔

对于规格数而言，间隔是

f l o a t : { { 1 ′ b 0. } , { 2 2 ′ b 0 } , 1 ′ b 1 } × 2 ( 阶码 − 127 ) float: \{\{1'b0.\},\{22'b0\},1'b1\}×2^{(阶码-127)} float:{{1′b0.},{22′b0},1′b1}×2(阶码−127)

d o u b l e : { { 1 ′ b 0. } , { 5 1 ′ b 0 } , 1 ′ b 1 } × 2 ( 阶码 − 1023 ) double: \{\{1'b0.\},\{51'b0\},1'b1\}×2^{(阶码-1023)} double:{{1′b0.},{51′b0},1′b1}×2(阶码−1023)

可见数字间隔不是均匀分布的，随着阶码变化而变化，浮点数精度是变化的，即阶码确定时，数字间隔不变。阶码越大、数字间隔越大、精度越小。

这个精度变化是怎样的呢？WIKI给出了表格，完全版见IEEE754 WIKI

float规格数正数部分表见下

从表中可知，用户在高级语言中写的小数在Minimum~Maximum的哪个区间就对应着怎么样Gap，比Gap更加精确的数无法表示。即只能表示$Minimum+d\times Gap,d\in [0,2^{23}-1]$

例如Exp为150时，Gap为1，那么浮点数可以表示8388608和8488609，但无法表示8388608.5，编译器会四舍五入至8488609，而8388608.1就会四舍五入至8388608。

再如Exp为126，Gap为5.96046e-8，浮点数0.50000006, 会被舍入为0.5000000596046

增加尾数位宽→增加精度

那么如何增加浮点数精度呢？

由于间隔决定精度，所以减少数字集合中的每个离散值之间的间隔即可。如何减少间隔？间隔定义如下

f l o a t : { { 1 ′ b 0. } , { 2 2 ′ b 0 } , 1 ′ b 1 } × 2 ( 阶码 − 127 ) float: \{\{1'b0.\},\{22'b0\},1'b1\}×2^{(阶码-127)} float:{{1′b0.},{22′b0},1′b1}×2(阶码−127)

d o u b l e : { { 1 ′ b 0. } , { 5 1 ′ b 0 } , 1 ′ b 1 } × 2 ( 阶码 − 1023 ) double: \{\{1'b0.\},\{51'b0\},1'b1\}×2^{(阶码-1023)} double:{{1′b0.},{51′b0},1′b1}×2(阶码−1023)

显然尾数位宽越大，间隔也就越小，精度也就越高。

3.2. 浮点数的十进制精度

float十进制精度约为7位有效数，double十进制精度约为16位有效数，有待验证