AI学习——自动微分算法_自动微分算法光束整形

前情回顾

在上一次的博文中，学习了感知机和BPNN算法，我们可以做一个简单的知识点总结：

1. 激活函数非线性
2. 深层网络比浅层网络拥有更强的表达能力
3. 三层神经网络可以表达任意函数（足够多的隐藏单元）
4. 神经网络与图灵机（现代计算机）等价
5. 计算性能的发展带动神经网络的发展
6. 深层神经网络可以充分利用计算机的性能
7. 多层感知机就是神经网络

激活函数

• sigmoid函数

s i g m o i d ( x ) = 1 1 + e − x 函 数 的 取 值 范 围 : ( 0 , 1 ) 导 数 = s i g m o i d ( x ) ( 1 − s i g m o i d ( x ) ) 导 数 的 取 值 范 围 ( 0 , 1 4 )

$$\begin{aligned} &sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} \\ &函数的取值范围:(0,1) \\ &导数=sigmoid(x)(1-sigmoid(x)) \\ &导数的取值范围(0,\frac{1}{4}) \end{aligned}$$ ​sigmoid(x)=1+e−x1​函数的取值范围:(0,1)导数=sigmoid(x)(1−sigmoid(x))导数的取值范围(0,41​)​

特性：

1. 由于该函数的取值范围为(0,1),所以我们可以很轻易地将其与概率对应起来
2. 事实上，该函数常用于解决或反映二分类问题
3. 该函数在反向传播的计算中会比较简单，因为其导数为
   $f^{\prime }(x)=f(x)(1-f(x))$
4. 但是该函数会存在梯度消失现象

• tanh函数
  
  $$\begin{array}{rl}& tanh(x)=\frac{e^{(x)}-e^{(-x)}}{e^{(x)}+e^{(-x)}}\\ & 函数的取值范围:(-1,1)\\ & 导数=1-tan{h}^2(x)\\ & 导数的取值范围:(0,1)\end{array}$$

特性：

1. 跟sigmoid函数非常像，可以看成sigmoid函数在竖直方向拉伸了两倍
2. 解决了sigmoid函数收敛较慢的问题，提高了收敛速度
3. 由于其导数的取值范围为(0,1)，所以不用担心梯度爆炸的问题

• ReLu函数
  (PS：画不出来，随便搜了一个)
  
  $$\begin{array}{rl}& ReLu(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{if x > 0}\\ 0& \text{if x≤0}\end{array}\\ & x>0时，导数为1\end{array}$$

特性：

1. 虽然该函数的构造非常简单，但是在梯度下降里，该算法可以说是一个里程碑式的算法，对于深度学习性能的提升非常巨大
2. 由于它的有效导数是1，所以ReLu函数可以完美避免梯度爆炸和梯度消失的问题
3. 同时它的计算也非常的简单，只需要使用简单的判断就可以了，导数几乎不用计算
4. ReLu函数的收敛速度相较于sigmoid函数和tanh函数要快很多
5. 缺点是x<0的部分导数为0，这会导致一些节点失效，为计算带来影响

实验问题：自动微分算法的应用

• 计算图：简单来理解，就是将计算通过图的形式表现出来。
• 自动微分：是一种数值计算的方式，用来计算因变量对某个自变量的导数。

模型构建：

• 计算图：
  先计算出整体的局部微分，再将局部的微分根据我们的需要整合起来得到我们想要的结果。
  

① ∂ u ∂ w 1 = 1 ② ∂ u ∂ w 2 = 1 ③ ∂ L ∂ u = w 3 = 1 ④ L = u ∗ w 3 = ( w 1 + w 2 ) ∗ w 3

$$\begin{aligned} &①\frac{\partial u}{\partial w_1}=1 \\ &②\frac{\partial u}{\partial w2}=1 \\ &③\frac{\partial L}{\partial u} =w3=1 \\ &④L=u*w3=(w_1+w_2)*w_3 \end{aligned}$$ ​①∂w1​∂u​=1②∂w2∂u​=1③∂u∂L​=w3=1④L=u∗w3=(w1​+w2​)∗w3​​

• 链式法则：

∂ c ∂ a = ∂ c ∂ b ∗ ∂ b ∂ a ∂ a n ∂ a 1 = ∂ a n ∂ a n − 1 ∗ … … ∗ ∂ a 3 ∂ a 2 ∗ ∂ a 2 ∂ a 1

$$\begin{aligned} &\frac{\partial c}{\partial a}=\frac{\partial c}{\partial b}*\frac{\partial b}{\partial a} \\ & \frac{\partial a_n}{\partial a_1}=\frac{\partial a_n}{\partial a_{n-1}}*……*\frac{\partial a_3}{\partial a_{2}}*\frac{\partial a_2}{\partial a_{1}} \end{aligned}$$ ​∂a∂c​=∂b∂c​∗∂a∂b​∂a1​∂an​​=∂an−1​∂an​​∗……∗∂a2​∂a3​​∗∂a1​∂a2​​​

• 自动微分：

设 f ( x , w , b ) = 1 e x p ( − ( w x + b ) ) + 1 相 当 于 一 个 s i g m o i d 函 数 当 ( x , w , b ) = ( 1 , 0 , 0 ) 时 ， f ( 1 , 0 , 0 ) = 1 2

$$\begin{aligned} &设f(x,w,b)=\frac{1}{exp(-(wx+b))+1} \\ &相当于一个sigmoid函数 \\ &当(x,w,b)=(1,0,0)时，f(1,0,0)=\frac{1}{2} \end{aligned}$$ ​设f(x,w,b)=exp(−(wx+b))+11​相当于一个sigmoid函数当(x,w,b)=(1,0,0)时，f(1,0,0)=21​​

h 1 = w x = 0 h 2 = h 1 + b = 0 h 3 = − 1 ∗ h 2 = 0 h 4 = e x p ( h 3 ) = 1 h 5 = h 4 + 1 = 2 h 6 = 1 / h 5 = 1 2 ① ∂ h 1 ∂ x = w = 0 ② ∂ h 1 ∂ w = x = 1 ③ ∂ h 2 ∂ h 1 = 1 ④ ∂ h 2 ∂ b = 1 ⑤ ∂ h 3 ∂ h 2 = − 1 ⑥ ∂ h 4 ∂ h 3 = 1 ⑦ ∂ h 5 ∂ h 4 = 1 ⑧ ∂ h 6 ∂ h 5 = − 1 h 5 2 = − 1 4

$$\begin{aligned} &h_1=wx=0 \\ &h_2=h_1+b=0 \\ &h_3=-1*h_2=0 \\ &h_4=exp(h_3)=1 \\ &h_5=h_4+1=2 \\ &h_6=1/h_5=\frac{1}{2} \\ &①\frac{\partial h_1}{\partial x}=w=0 \\ &②\frac{\partial h_1}{\partial w}=x=1 \\ &③\frac{\partial h_2}{\partial h_1}=1 \\ &④\frac{\partial h_2}{\partial b}=1 \\ &⑤\frac{\partial h_3}{\partial h_2}=-1 \\ &⑥\frac{\partial h_4}{\partial h_3}=1 \\ &⑦\frac{\partial h_5}{\partial h_4}=1 \\ &⑧\frac{\partial h_6}{\partial h_5}=-\frac{1}{h_5^2}=-\frac{1}{4} \\ \end{aligned}$$ ​h1​=wx=0h2​=h1​+b=0h3​=−1∗h2​=0h4​=exp(h3​)=1h5​=h4​+1=2h6​=1/h5​=21​①∂x∂h1​​=w=0②∂w∂h1​​=x=1③∂h1​∂h2​​=1④∂b∂h2​​=1⑤∂h2​∂h3​​=−1⑥∂h3​∂h4​​=1⑦∂h4​∂h5​​=1⑧∂h5​∂h6​​=−h52​1​=−41​​

∂ f ( x ; w , b ) ∂ w = ∂ f ( x ; w , b ) ∂ h 6 ∗ ∂ h 6 ∂ h 5 ∗ ∂ h 5 ∂ h 4 ∗ ∂ h 4 ∂ h 3 ∗ ∂ h 3 ∂ h 2 ∗ ∂ h 2 ∂ h 1 ∗ ∂ h 1 ∂ w = 0.25

$$\begin{aligned} \frac{\partial f(x;w,b)}{\partial w}=\frac{\partial f(x;w,b)}{\partial h_6}*\frac{\partial h_6}{\partial h_5}*\frac{\partial h_5}{\partial h_4}*\frac{\partial h_4}{\partial h_3}*\frac{\partial h_3}{\partial h_2}*\frac{\partial h_2}{\partial h_1}*\frac{\partial h_1}{\partial w} \\ =0.25 \end{aligned}$$ ∂w∂f(x;w,b)​=∂h6​∂f(x;w,b)​∗∂h5​∂h6​​∗∂h4​∂h5​​∗∂h3​∂h4​​∗∂h2​∂h3​​∗∂h1​∂h2​​∗∂w∂h1​​=0.25​

由此可知，反向传播算法只是自动微分的一种特殊形式
优点： 计算复用，提高计算效率

• 梯度消失：梯度消失是传统的神经网络训练中非常致命的一个问题，其本质是由于链式法则的乘法特性导致的。

例如一个只有三层的隐藏层的神经网络，当梯度消失发生时，靠近输出层的隐藏层的权值更新相对而言比较正常，但对于靠近输入层的隐藏层而言，其权值几乎不变或者变得很慢，仍十分接近初始化的权值，这就导致了靠近输入层的部分隐藏层其实只是一个映射层，只是对所有的输入起到了映射的作用。

实验过程

本次实验是为了更好地研究自动微分，我们做了不同的实验：

1. 利用计算图和自动微分解决简单的逻辑问题，如异或问题
2. 利用自动微分观察sigmoid函数存在的梯度消失问题
3. 用ReLu函数代替sigmoid函数，看看是否能解决梯度消失的问题

• 利用计算图和自动微分解决简单的异或问题
  在做第一个实验之前，我们需要研究异或问题的计算图
  关于感知机的一些理解可以参考我之前的文章：
  AI学习——感知机和BPNN算法
  
  计算图的计算思路是：同路径的梯度作乘法，不同路径的梯度作加法
  分析如下：
  $\begin{array}{rl}& h_3=h_1\ast 1+h_2\ast 1-1.5\\ & h_2=x\ast (-1)+y\ast (-1)+1.5\\ & h_1=x\ast 1+y\ast 1-0.5\\ & \frac{\partial h_3}{\partial x}=\frac{\partial h_3}{\partial h_1}\ast \frac{\partial h_1}{\partial x}+\frac{\partial h_3}{\partial h_2}\ast \frac{\partial h_2}{\partial x}\\ & \frac{\partial h_3}{\partial y}=\frac{\partial h_3}{\partial h_1}\ast \frac{\partial h_1}{\partial y}+\frac{\partial h_3}{\partial h_2}\ast \frac{\partial h_2}{\partial y}\end{array}$

从计算图和分析的结果可知，除了输入x,Y和我们最终所需要的预测值y，我们至少还需要$w_1\dots \dots w_6和h_1、h_2、h_3$共计9个参数。

那么，实验开始

1. 利用自动微分的框架，我们首先需要定义一个激活函数，这里我们选用的是sigmoid函数。 因为我们前面提到过，sigmoid函数在解决二分类问题非常有效，且计算简单
   

2. 接下来我们开始定义输入的值，以及我们预测的值和另外9个参数，其中预测值需要根据我们之前分析的结果，代入9个参数进行迭代。 由于当时的能力不足，在最初做实验的时候我只能将值一个一个的输入，无法像之前的实验那样一次输入一个数组进行判断，这样的计算效率无疑是非常低的
   

3. 调用梯度下降函数，放入循环，不断地训练、迭代，并计算出其中的损失函数，直到预测值不断地接近我们想要的结果
   
   

• 自动微分解决异或问题的优化
  在上面的实验中，我们提到过缺点，就是一次只能输入一个值进行计算，效率低下且笨拙，这次在老师的指导下，成功改良，能够输入一个数组了(其实就是抄的老师的方法)
  
  

核心思想依然没有改变，但是老师的代码看起来明显更加简单、清爽

• 利用自动微分观察sigmoid函数存在的梯度消失问题
  为了更好地研究梯度消失，我们同样需要设计一个简单的神经网络，下面这个神经网络总共有四个隐藏层，但是每一层隐藏层都只含有一个单元节点，这就导致了这个神经网络尽管有较多的隐藏层，但依旧十分简单

y = w 5 h 4 = w 5 f ( w 4 h 3 ) = w 5 f ( w 4 f ( w 3 h 2 ) ) = w 5 f ( w 4 f ( w 3 f ( w 2 h 1 ) ) ) = w 5 f ( w 4 f ( w 3 f ( w 2 f ( w 1 x ) ) ) ) ∂ c ∂ w 1 = ∂ 1 2 ( y − 3 ) 2 ∂ w 1 = ( y − 3 ) w 5 ∂ h 4 ∂ w 1 = ( y − 3 ) w 5 w 4 w 3 w 2 f ′ ( h 4 ) f ′ ( h 3 ) f ′ ( h 2 ) f ′ ( h 1 )

$$\begin{aligned} y&=w_5h_4=w_5f(w_4h_3)=w_5f(w_4f(w_3h_2)) \\ &=w_5f(w_4f(w_3f(w_2h_1)))=w_5f(w_4f(w_3f(w_2f(w_1x)))) \\ \frac{\partial c}{\partial w_1}&=\frac{\partial \frac{1}{2}(y-3)^2}{\partial w_1}=(y-3)w_5\frac{\partial h_4}{\partial w_1} \\ &=(y-3)w_5w_4w_3w_2f'(h_4)f'(h_3)f'(h_2)f'(h_1) \end{aligned}$$ y∂w1​∂c​​=w5​h4​=w5​f(w4​h3​)=w5​f(w4​f(w3​h2​))=w5​f(w4​f(w3​f(w2​h1​)))=w5​f(w4​f(w3​f(w2​f(w1​x))))=∂w1​∂21​(y−3)2​=(y−3)w5​∂w1​∂h4​​=(y−3)w5​w4​w3​w2​f′(h4​)f′(h3​)f′(h2​)f′(h1​)​

根据梯度的值我们可以做一个简单的判断，判断其结果的取值范围，将其结果分为三个部分：

1. $(y-3)$，由于不断的迭代，最后的预测值y一定会无限接近于3，所以这个值应该是无限接近于0
2. $w_5{w}_4{w}_3{w}_2$，这部分的权值是我们给定的，一般来说不会太大，通常情况下都为1
3. $f^{\prime }(h_4)f^{\prime }(h_3)f^{\prime }(h_2)f^{\prime }(h_1)$，由于我们使用的激活函数是sigmoid函数，我们知道其导数的取值范围是$(0,\frac{1}{4})$，所以该部分的取值范围应该是$(0,\frac{1}{4^4})$

综上可知，其求导的结果的取值应该是小于0的，而我们的神经网络自动微分，是通过每一层的梯度自动运算，来求解其他的参数或权值，由于每一层的梯度太小，通过链式法则求到的值自然也是非常小的，这种细微的变化可以忽略不计，这就是我们之前提到的梯度消失，神经网络最靠近输入层的那部分隐藏层也就成了映射层

为了更好地观察到梯度消失的现象，在实验过程中我将神经网络设置了10层隐藏层

• 移花接木，ReLu函数登场！
  之前我们就提到，ReLu函数可以完美地解决梯度爆炸和梯度消失的问题。
  
  这种感觉，好似满腔热情扑了空。
  为什么带入了ReLu函数之后结果反而没有了。

经过反复的研究观察，我得出了结论：
由于我这次设计的神经网络过于简单，每层都只有一个节点，而ReLu函数的值在遇到<0的输入时，其导数是0，这也就意味之，只要其中一个节点的导数值为0，在链式法则求解出后续值的过程中，结果都为0。

解决办法：

1. 将神经网络复杂化，每一层隐藏层多设置几个神经单元
2. ReLu函数的改造，给<0的部分的函数同样设置一个系数，让其不等于0

• 卷土重来，进化吧！ReLu函数！

1. 这次我们将ReLu函数稍作修改，将其进化成leaky ReLu函数，x<0时，给其带上一个系数0.01
   
2. 接着按照之前的分析，我们让我们的神经网络复杂化，这里由于能力问题，我只能手动写了一个两层隐藏层，三个节点的神经网络

这个时候我们会发现，我们得到了一个杂乱无章的梯度

是的，虽然还会有个别的零值出现，但是同样是因为神经网络不够负复杂，训练次数不够多产生的个别影响，起码我们已经能够成功解决梯度消失的问题了

实验结果

• 利用计算图和自动微分解决简单的异或问题
  
• 自动微分解决异或问题的优化
  
• 利用自动微分观察sigmoid函数存在的梯度消失问题
  
• 进化的ReLu函数（leaky ReLu）解决梯度消失问题
  

小结

在本次对自动微分算法的学习过程中，我们学到了以下几个知识：

1. 神经网络的本质——一个又一个的计算表达式
2. 计算图和自动微分的原理
3. Python编程能力的提升
4. 逐渐学会使用计算机的思维来思考问题

作为一个AI小白，通过这次学习我能够感觉到自己的学识有了很大的提升，但是AI领域深似海，一望无际，我在其中飘荡，好似一叶扁舟，越是往深处走，越是发觉自己的无知，越要谦虚谨慎，我的代码仍有许多不足，我的理解也会有很多欠缺的、没有考虑到地方。

有新的想法，欢迎交流和指正！

代码

# 自动微分框架源码
from collections import defaultdict
import numpy as np


class Variable:
    def __init__(self, value, local_gradients=[]):
        self.value = value
        self.local_gradients = local_gradients

    def __add__(self, other):
        return add(self, other)

    def __mul__(self, other):
        return mul(self, other)

    def __sub__(self, other):
        return add(self, neg(other))

    def __neg__(self):
        return neg(self)

    def __truediv__(self, other):
        return mul(self, inv(other))

def add(a, b):
    value = a.value + b.value
    local_gradients = ((a, 1), (b, 1))
    return Variable(value, local_gradients)

def mul(a, b):
    value = a.value * b.value
    local_gradients = ((a, b.value), (b, a.value))
    return Variable(value, local_gradients)

def neg(a):
    value = -1 * a.value
    local_gradients = ((a, -1),)
    return Variable(value, local_gradients)

def inv(a):
    value = 1. / a.value
    local_gradients = ((a, -1 / a.value ** 2),)
    return Variable(value, local_gradients)

def exp(a):
    value = np.exp(a.value)
    local_gradients = ((a, value),)
    return Variable(value, local_gradients)


def get_gradients(variable):
    gradients = defaultdict(lambda: 0)  # 可以根据Variable变量地址索引对应的梯度
    def compute_gradients(variable, path_value):
        for child_variable, local_gradient in variable.local_gradients:  # 两条路径循环2次
            value_of_path_to_child = path_value * local_gradient  # 从后往前，乘以每条边的梯度
            gradients[child_variable] += value_of_path_to_child  # 不同路径的梯度相加，算的是局部偏微分
            compute_gradients(child_variable, value_of_path_to_child)  # 递归整个计算图

    compute_gradients(variable, path_value=1)  # path_value=1，输出对自己的偏微分为1
    return gradients



def sigmoid(z):
    ONE = Variable(1)
    return ONE / (ONE + exp(-z))

x = Variable(1)
w = Variable(0)
b = Variable(0)
Y = Variable(1)
y = sigmoid(w * x + b)
gradients = get_gradients(y)
print('dy/dw=%f, dy/db=%f' % (gradients[w], gradients[b]))
for i in range(1000):
    y = sigmoid(w * x + b)
    C = (y - Y) * (y - Y)
    print('Cost=%f,y=%f' % (C.value, y.value))
    gradients = get_gradients(C)
    w.value = w.value - 0.1 * gradients[w]
    b.value = b.value - 0.1 * gradients[b]

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# 感知机初始代码，但是由于Variable类型，最开始只能一次输入一个值进行运算
from collections import defaultdict
import numpy as np


class Variable:
    def __init__(self, value, local_gradients=[]):
        self.value = value
        self.local_gradients = local_gradients

    def __add__(self, other):
        return add(self, other)

    def __mul__(self, other):
        return mul(self, other)

    def __sub__(self, other):
        return add(self, neg(other))

    def __neg__(self):
        return neg(self)

    def __truediv__(self, other):
        return mul(self, inv(other))

def add(a, b):
    value = a.value + b.value
    local_gradients = ((a, 1), (b, 1))
    return Variable(value, local_gradients)

def mul(a, b):
    value = a.value * b.value
    local_gradients = ((a, b.value), (b, a.value))
    return Variable(value, local_gradients)

def neg(a):
    value = -1 * a.value
    local_gradients = ((a, -1),)
    return Variable(value, local_gradients)

def inv(a):
    value = 1. / a.value
    local_gradients = ((a, -1 / a.value ** 2),)
    return Variable(value, local_gradients)

def exp(a):
    value = np.exp(a.value)
    local_gradients = ((a, value),)
    return Variable(value, local_gradients)


def get_gradients(variable):
    gradients = defaultdict(lambda: 0)  # 可以根据Variable变量地址索引对应的梯度
    def compute_gradients(variable, path_value):
        for child_variable, local_gradient in variable.local_gradients:  # 两条路径循环2次
            value_of_path_to_child = path_value * local_gradient  # 从后往前，乘以每条边的梯度
            gradients[child_variable] += value_of_path_to_child  # 不同路径的梯度相加，算的是局部偏微分
            compute_gradients(child_variable, value_of_path_to_child)  # 递归整个计算图

    compute_gradients(variable, path_value=1)  # path_value=1，输出对自己的偏微分为1
    return gradients

def sigmoid(z):
    ONE = Variable(1)
    return ONE / (ONE + exp(-z))
    
x1=Variable(1)
x2=Variable(0)
Y=Variable(1)
w1=  Variable(0)
w2=  Variable(0)
w3=  Variable(0)
w4=  Variable(0)
w5=  Variable(0)
w6=  Variable(0)
b1=  Variable(0)
b2=  Variable(0)
b3=  Variable(0)
y = sigmoid(w5*sigmoid(x1*w1+x2*w2+b1)+w6*sigmoid(x1*w3+x2*w4+b2)+b3)
gradients = get_gradients(y)
#print('dy/dw1=%f, dy/dw2=%f,dy/dw3=%f,dy/dw3=%f,dy/dw3=%f' % (gradients[w1], gradients[w2],gradients[w3]))
for i in range(1000):
    y = sigmoid(w5*sigmoid(x1*w1+x2*w2+b1)+w6*sigmoid(x1*w3+x2*w4+b2)+b3)
    C = (y - Y) * (y - Y)
    print('Cost=%f,Y=%f,y=%f' % (C.value,Y.value, y.value))
    gradients = get_gradients(C)
    w1.value = w1.value - 0.1 * gradients[w1]
    w2.value = w2.value - 0.1 * gradients[w2]
    w3.value = w3.value - 0.1 * gradients[w3]
    w4.value = w4.value - 0.1 * gradients[w4]
    w5.value = w5.value - 0.1 * gradients[w5]
    w6.value = w6.value - 0.1 * gradients[w6]
    b1.value = b1.value - 0.1 * gradients[b1]
    b2.value = b2.value - 0.1 * gradients[b2]
    b3.value = b3.value - 0.1 * gradients[b3]

print('x1=%f,x2=%f,w1=%f.w2=%f,w3=%f,w4=%f,w5=%f,w6=%f,b1=%f,b2=%f,b3=%f,y=%f' % (x1.value,x2.value,w1.value,w4.value,w3.value,w4.value,w5.value,w6.value,b1.value,b2.value,b3.value,y.value))

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#感知机改良算法，成功的输入了数组，让计算更加简单便捷
from collections import defaultdict
import numpy as np


class Variable:
    def __init__(self, value, local_gradients=[]):
        self.value = value
        self.local_gradients = local_gradients

    def __add__(self, other):
        return add(self, other)

    def __mul__(self, other):
        return mul(self, other)

    def __sub__(self, other):
        return add(self, neg(other))

    def __neg__(self):
        return neg(self)

    def __truediv__(self, other):
        return mul(self, inv(other))

def add(a, b):
    value = a.value + b.value
    local_gradients = ((a, 1), (b, 1))
    return Variable(value, local_gradients)

def mul(a, b):
    value = a.value * b.value
    local_gradients = ((a, b.value), (b, a.value))
    return Variable(value, local_gradients)

def neg(a):
    value = -1 * a.value
    local_gradients = ((a, -1),)
    return Variable(value, local_gradients)

def inv(a):
    value = 1. / a.value
    local_gradients = ((a, -1 / a.value ** 2),)
    return Variable(value, local_gradients)

def exp(a):
    value = np.exp(a.value)
    local_gradients = ((a, value),)
    return Variable(value, local_gradients)


def get_gradients(variable):
    gradients = defaultdict(lambda: 0)  # 可以根据Variable变量地址索引对应的梯度
    def compute_gradients(variable, path_value):
        for child_variable, local_gradient in variable.local_gradients:  # 两条路径循环2次
            value_of_path_to_child = path_value * local_gradient  # 从后往前，乘以每条边的梯度
            gradients[child_variable] += value_of_path_to_child  # 不同路径的梯度相加，算的是局部偏微分
            compute_gradients(child_variable, value_of_path_to_child)  # 递归整个计算图

    compute_gradients(variable, path_value=1)  # path_value=1，输出对自己的偏微分为1
    return gradients



def sigmoid(z):
    ONE = Variable(1)
    return ONE / (ONE + exp(-z))



#自动微分实现异或
w = [Variable(np.random.randn()) for i in range(9)]
def f(x1,x2):
    x1 = Variable(x1)
    x2 = Variable(x2)
    h1 = sigmoid(x1*w[0]+x2*w[1]+w[2])
    h2 = sigmoid(x1*w[3]+x2*w[4]+w[5])
    ho = sigmoid(w[6]*h1+w[7]*h2+w[8])
    return ho

for i in range(30000):
    C = (f(0,0) - Variable(0)) * (f(0,0) - Variable(0))
    C = (f(0,1) - Variable(1)) * (f(0,1) - Variable(1)) + C
    C = (f(1,0) - Variable(1)) * (f(1,0) - Variable(1)) + C
    C = (f(1,1) - Variable(0)) * (f(1,1) - Variable(0)) + C
    print('Epoch %d, Cost=%f' % (i,C.value))
    gradients = get_gradients(C)
    for j in range(len(w)):
        w[j].value = w[j].value - 0.1 *gradients[w[j]]
        
print("f(0,0)=%f" % f(0,0).value)
print("f(0,1)=%f" % f(0,1).value)
print("f(1,0)=%f" % f(1,0).value)
print("f(1,1)=%f" % f(1,1).value)

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# 研究我们之前提到的sigmoid函数存在的梯度消失现象
from collections import defaultdict
import numpy as np


class Variable:
    def __init__(self, value, local_gradients=[]):
        self.value = value
        self.local_gradients = local_gradients

    def __add__(self, other):
        return add(self, other)

    def __mul__(self, other):
        return mul(self, other)

    def __sub__(self, other):
        return add(self, neg(other))

    def __neg__(self):
        return neg(self)

    def __truediv__(self, other):
        return mul(self, inv(other))

def add(a, b):
    value = a.value + b.value
    local_gradients = ((a, 1), (b, 1))
    return Variable(value, local_gradients)

def mul(a, b):
    value = a.value * b.value
    local_gradients = ((a, b.value), (b, a.value))
    return Variable(value, local_gradients)

def neg(a):
    value = -1 * a.value
    local_gradients = ((a, -1),)
    return Variable(value, local_gradients)

def inv(a):
    value = 1. / a.value
    local_gradients = ((a, -1 / a.value ** 2),)
    return Variable(value, local_gradients)

def exp(a):
    value = np.exp(a.value)
    local_gradients = ((a, value),)
    return Variable(value, local_gradients)


def get_gradients(variable):
    gradients = defaultdict(lambda: 0)  # 可以根据Variable变量地址索引对应的梯度
    def compute_gradients(variable, path_value):
        for child_variable, local_gradient in variable.local_gradients:  # 两条路径循环2次
            value_of_path_to_child = path_value * local_gradient  # 从后往前，乘以每条边的梯度
            gradients[child_variable] += value_of_path_to_child  # 不同路径的梯度相加，算的是局部偏微分
            compute_gradients(child_variable, value_of_path_to_child)  # 递归整个计算图

    compute_gradients(variable, path_value=1)  # path_value=1，输出对自己的偏微分为1
    return gradients



def sigmoid(z):
    ONE = Variable(1)
    return ONE / (ONE + exp(-z))

#自动微分，sigmoid函数的梯度消失现象

w = [Variable(np.random.randn()) for i in range(10)]
x = Variable(1)
Y = Variable(3)
y = sigmoid(w[1]*x)
for i in range(10):
    y = sigmoid(w[i]*y)
    
C = (Y-y)*(Y-y)
gradients = get_gradients(C)

for i in range(10):
    print('dC/dw%d=%f' % (i,gradients[w[i]]))

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# 使用leaky ReLu函数避免梯度下降
from collections import defaultdict
import numpy as np


class Variable:
    def __init__(self, value, local_gradients=[]):
        self.value = value
        self.local_gradients = local_gradients

    def __add__(self, other):
        return add(self, other)

    def __mul__(self, other):
        return mul(self, other)

    def __sub__(self, other):
        return add(self, neg(other))

    def __neg__(self):
        return neg(self)

    def __truediv__(self, other):
        return mul(self, inv(other))

def add(a, b):
    value = a.value + b.value
    local_gradients = ((a, 1), (b, 1))
    return Variable(value, local_gradients)

def mul(a, b):
    value = a.value * b.value
    local_gradients = ((a, b.value), (b, a.value))
    return Variable(value, local_gradients)

def neg(a):
    value = -1 * a.value
    local_gradients = ((a, -1),)
    return Variable(value, local_gradients)

def inv(a):
    value = 1. / a.value
    local_gradients = ((a, -1 / a.value ** 2),)
    return Variable(value, local_gradients)

def exp(a):
    value = np.exp(a.value)
    local_gradients = ((a, value),)
    return Variable(value, local_gradients)


def get_gradients(variable):
    gradients = defaultdict(lambda: 0)  # 可以根据Variable变量地址索引对应的梯度
    def compute_gradients(variable, path_value):
        for child_variable, local_gradient in variable.local_gradients:  # 两条路径循环2次
            value_of_path_to_child = path_value * local_gradient  # 从后往前，乘以每条边的梯度
            gradients[child_variable] += value_of_path_to_child  # 不同路径的梯度相加，算的是局部偏微分
            compute_gradients(child_variable, value_of_path_to_child)  # 递归整个计算图

    compute_gradients(variable, path_value=1)  # path_value=1，输出对自己的偏微分为1
    return gradients

def LReLu(x):
    if x.value > 0:
        return x
    else:
        x.value=0.01*x.value
        return x

k=10
print("leaky ReLu函数")
w = [Variable(np.random.randn()) for i in range(k)]
x = Variable(1)
Y = Variable(3)
y = LReLu(w[7]*LReLu(w[4]*LReLu(w[1]*x))+w[6]*ReLu(w[8]*LReLu(w[2]*x))+w[9]*ReLu(w[6]*LReLu(w[3]*x)))

for i in range(k):
    #print("y=%f" % y.value)
    y = LReLu(w[7]*LReLu(w[4]*LReLu(w[1]*y))+w[6]*ReLu(w[8]*LReLu(w[2]*y))+w[9]*ReLu(w[6]*LReLu(w[3]*y)))

C = (Y - y) * (Y - y)
gradients = get_gradients(C)

for i in range(k):
    print('dC/dw%d=%f' % (i, gradients[w[i]]))
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