竞赛常考的知识点大总结(四)高级数据结构

并查集

并查集（Disjoint Set Union，DSU）是一种数据结构，用于管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：合并（Union）和查找（Find）。并查集可以高效地处理动态连通性问题，即判断两个元素是否属于同一个集合，以及合并两个集合。

特点：

1.动态连通性：并查集可以高效地处理动态连通性问题，即判断两个元素是否属于同一个集合。

2.合并操作：并查集支持合并操作，可以将两个集合合并为一个集合。

3.查找操作：并查集支持查找操作，可以快速判断两个元素是否属于同一个集合。

4.路径压缩：为了提高查找操作的效率，通常会使用路径压缩技术，将查找过程中访问过的所有节点直接连接到根节点。

常见用法：

1.网络连接检测：在计算机网络中，用于检测两个节点是否在同一个网络分段中。

2.社交网络分析：用于分析社交网络中的朋友关系，如判断两个人是否是朋友的朋友。

3.图的连通分量：用于找出图中的所有连通分量。

4.最小生成树：在Kruskal算法中，用于快速判断两个顶点是否已经连通。

经典C语言例题：

题目： 使用并查集解决动态连通性问题。

示例代码：

#include <stdio.h>
#include<malloc.h>
// 并查集结构体
typedef struct {
    int* parent;
    int* rank;
    int count;
} DisjointSet;
 
// 创建并查集
DisjointSet* createDisjointSet(int n) {
    DisjointSet* ds = (DisjointSet*)malloc(sizeof(DisjointSet));
    ds->parent = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    ds->rank = (int*)calloc(n, sizeof(int));
    ds->count = n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
         ds->parent[i] = i;
      }
     return ds;
}
 
// 查找操作
int find(DisjointSet* ds, int x) {
     if (ds->parent[x] != x) {
          ds->parent[x] = find(ds, ds->parent[x]); // 路径压缩
      }
     return ds->parent[x];
}
 
// 合并操作
void unionSets(DisjointSet* ds, int x, int y) {
     int xroot = find(ds, x);
     int yroot = find(ds, y);
     if (xroot != yroot) {
          if (ds->rank[xroot] < ds->rank[yroot]) {
               ds->parent[xroot] = yroot;
          } else if (ds->rank[xroot] > ds->rank[yroot]) {
               ds->parent[yroot] = xroot;
          } else {
               ds->parent[yroot] = xroot;
               ds->rank[xroot]++;
          }
          ds->count--;
      }
}
 
// 主函数
int main() {
     DisjointSet* ds = createDisjointSet(10);
     unionSets(ds, 4, 3);
     unionSets(ds, 3, 8);
     unionSets(ds, 6, 5);
     unionSets(ds, 9, 4);
     unionSets(ds, 2, 1);
     unionSets(ds, 8, 9);
     unionSets(ds, 5, 0);
     unionSets(ds, 7, 2);
     unionSets(ds, 6, 1);
     unionSets(ds, 7, 3);
     printf("Number of disjoint sets: %d\n", ds->count);
     return 0;
}

例题分析：

1.创建并查集：createDisjointSet函数创建一个并查集结构体，包括父数组、秩数组和集合数量。

2.查找操作：find函数用于查找元素的根节点，同时使用路径压缩技术，将查找过程中访问过的所有节点直接连接到根节点。

3.合并操作：unionSets函数用于合并两个集合，如果两个元素的根节点不同，则将它们合并为一个集合，并更新秩数组。

4.主函数：在main函数中，创建了一个并查集，并执行了一系列合并操作。最后，打印出并查集中集合的数量。

这个例题展示了如何在C语言中使用并查集解决动态连通性问题。通过这个例子，可以更好地理解并查集在动态连通性问题中的应用，以及如何使用并查集来高效地处理集合的合并和查找操作。并查集通过路径压缩和秩优化，使得查找和合并操作的时间复杂度接近于常数时间，是一种非常高效的动态连通性数据结构。

线段树

线段树（Segment Tree）是一种二叉树结构，用于高效地解决区间查询和区间更新问题。线段树将一个区间分成若干个线段，并将这些线段存储在树中，使得可以快速地查询和更新区间的信息。

特点：

1.区间查询：线段树可以快速查询任意区间的信息，如区间和、区间最大值、区间最小值等。

2.区间更新：线段树可以快速更新区间的信息，如将区间内的值全部增加某个数。

3.动态数据结构：线段树是一个动态数据结构，可以动态地插入和删除元素。

4.空间复杂度：线段树的空间复杂度为O(n)，其中n是区间内元素的数量。

常见用法：

1.区间求和：在线段树中存储区间内元素的和，可以快速求出任意区间的和。

2.区间最大值/最小值：在线段树中存储区间内元素的最大值或最小值，可以快速求出任意区间的最大值或最小值。

3.区间更新：在线段树中存储区间内元素的其他信息，可以快速更新区间的信息。

4.动态数据处理：在线段树中动态地插入和删除元素，可以处理动态数据。

经典C语言例题：

题目： 使用线段树解决区间求和问题。

示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
// 定义线段树节点结构体
typedef struct Node {
    int start, end;
    int sum;
    struct Node* left;
    struct Node* right;
} Node;
 
// 创建线段树节点
Node* createNode(int start, int end) {
    Node* newNode = (Node*)malloc(sizeof(Node));
    newNode->start = start;
    newNode->end = end;
    newNode->sum = 0;
    newNode->left = NULL;
    newNode->right = NULL;
    return newNode;
}
 
// 构建线段树
Node* buildTree(int arr[], int start, int end) {
    Node* node = createNode(start, end);
    if (start == end) {
         node->sum = arr[start];
          return node;
      }
      int mid = (start + end) / 2;
      node->left = buildTree(arr, start, mid);
      node->right = buildTree(arr, mid + 1, end);
      node->sum = node->left->sum + node->right->sum;
      return node;
}
 
// 查询区间和
int query(Node* node, int start, int end) {
    if (node->start == start && node->end == end) {
         return node->sum;
      }
      int mid = (node->start + node->end) / 2;
      if (end <= mid) {
         return query(node->left, start, end);
      } else if (start > mid) {
         return query(node->right, start, end);
      } else {
         return query(node->left, start, mid) + query(node->right, mid + 1, end);
      }
}
 
// 更新区间和
void update(Node* node, int start, int end, int value) {
    if (node->start == start && node->end == end) {
         node->sum = value;
          return;
      }
      int mid = (node->start + node->end) / 2;
      if (end <= mid) {
         update(node->left, start, end, value);
      } else if (start > mid) {
         update(node->right, start, end, value);
      } else {
         update(node->left, start, mid, value);
          update(node->right, mid + 1, end, value);
      }
      node->sum = node->left->sum + node->right->sum;
}
 
// 主函数
int main() {
    int arr[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    Node* root = buildTree(arr, 0, n - 1);
    printf("Sum of elements from index 1 to 3 is: %d\n", query(root, 1, 3));
    update(root, 1, 3, 10);
    printf("Sum of elements from index 1 to 3 after update is: %d\n", query(root, 1, 3));
    return 0;
}

}

例题分析：

1.创建线段树节点：createNode函数创建一个线段树节点，并初始化区间和子节点指针。

2.构建线段树：buildTree函数递归地构建线段树，将区间分为左右子区间，并计算区间和。

3.查询区间和：query函数递归地查询线段树中指定区间的和。

4.更新区间和：update函数递归地更新线段树中指定区间的和，并更新父节点的区间和。

5.主函数：在main函数中，定义了一个数组arr，构建了一个线段树，并查询和更新了指定区间的和。

这个例题展示了如何在C语言中使用线段树解决区间求和问题。通过这个例子，可以更好地理解线段树在区间查询和更新问题中的应用，以及如何使用线段树来高效地处理区间信息。线段树通过将区间分成若干个线段，并将这些线段存储在树中，使得可以快速地查询和更新区间的信息，是一种非常高效的区间数据结构。