蚁群算法（解决TSP问题）_蚁群算法解决tsp问题

一、概述    

        蚂蚁在寻找食物源时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其它蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表征到食物源路径的远近，信息素浓度越高，表示对应的路径距离越短。通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放一定量的信息素，以增强该条路径上的信息素浓度，这样会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，即最短距离。值得一提的是，生物学家同时发现，路径上的信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰减。

        举一个例子来进行说明：

        蚂蚁从A点出发，速度相同，食物在D点，可能随机选择路线ABD或ACD。假设初始时每条分配路线一只蚂蚁，每个时间单位行走一步，本图为经过9个时间单位时的情形：走ABD的蚂蚁到达终点，而走ACD的蚂蚁刚好走到C点，为一半路程。

        经过18个时间单位时的情形：走ABD的蚂蚁到达终点后得到食物又返回了起点A，而走ACD的蚂蚁刚好走到D点。

        假设蚂蚁每经过一处所留下的信息素为一个单位，则经过36个时间单位后，所有开始一起出发的蚂蚁都经过不同路径从D点取得了食物，此时ABD的路线往返了2趟，每一处的信息素为4个单位，而ACD的路线往返了一趟，每一处的信息素为2个单位，其比值为2：1
        寻找食物的过程继续进行，则按信息素的指导，蚁群在ABD路线上增派一只蚂蚁（共2只），而ACD路线上仍然为一只蚂蚁。再经过36个时间单位后，两条线路上的信息素单位积累为12和4，比值为3：1。
        若按以上规则继续，蚁群在ABD路线上再增派一只蚂蚁（共3只），而ACD路线上仍然为一只蚂蚁。再经过36个时间单位后，两条线路上的信息素单位积累为24和6，比值为4：1。
若继续进行，则按信息素的指导，最终所有的蚂蚁会放弃ACD路线，而都选择ABD路线。这也就是前面所提到的正反馈效应。

        20世纪90年代初，意大利学者M.Dorigo等人提出了模拟自然界蚂蚁群体觅食行为的蚁群算法。其基本思想是：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上积累的信息素浓度逐渐增高，选择该路径上的蚂蚁个数也越来越多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

蚁群算法的基本原理:

1、蚂蚁在路径上释放信息素。

2、碰到还没走过的路口，就随机挑选一条路走。同时，释放与路径长度有关的信息素。

3、信息素浓度与路径长度成反比。后来的蚂蚁再次碰到该路口时，就选择信息素浓度较高路径。

4、最优路径上的信息素浓度越来越大。

5、最终蚁群找到最优寻食路径。

二、最基本的蚁群算法解决TSP问题

1、初始化(各个参数): 在计算之初需要对相关的参数进行初始化，如蚂蚁数量m、信息素因子α、启发函数因子β、信息素挥发因子ρ、信息素常数Q、最大迭代次数t等等。

2、构建解空间： 将各个蚂蚁随机地放置于不同的出发点，对每个蚂蚁k（k=1，2，……，m），根据信息素等因素计算其下一个待访问的城市，直到每个蚂蚁访问完所有的城市。

3、更新信息素： 计算各个蚂蚁经过的路径长度L，记录当前迭代次数中的最优解（最短路径）。同时，对各个城市连接路径上的信息素浓度进行更新。

4、判断是否终止： 若迭代次数小于最大迭代次数则迭代次数加一，清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回步骤二；否则终止计算，输出最优解。

三、步骤详解

1. 初始化参数

        设整个蚂蚁群体中蚂蚁的数量为m ，城市的数量为n，城市与城市之间的距离为，t时刻城市i 与城市j 连接路径上的信息素浓度为。初始时刻，各个城市间连接路径上的信息素浓度相同，不妨设 = 。

注：在初始化之前需要根据城市位置坐标，计算两两城市间的相互距离，从而得到对称的距离矩阵。由于启发函数为，为了保证分母不为零，需要将距离矩阵对角线上的元素零，修正为一个非常小的正数（如等）。

各个参数具有的基本含义：

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 很明显算法的关键步骤是：

      第二步中的怎么根据信息素等因素计算其下一个待访问的城市

      第三步中的怎么更新信息素

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2. 路径构建：怎么根据信息素等因素计算其下一个待访问的城市

        每个蚂蚁都随机选择一个城市作为其出发城市，并维护一个路径记忆向量，用来存放该蚂蚁依次经过的城市。 蚂蚁在构建路径的每一步中，按照轮盘赌规则（也可以选择其他的）选择下一个要到达的城市。

轮盘赌：

某个概率 = 某个因子 除以 所有因子之和。
比如一等奖的因子是10，所有因子之和是 100，则一等奖的概率是 10%。
学会了轮盘赌算法，让我们回到蚁群算法。
        那么现在我们的目标是计算出蚂蚁去下个目的地的因子。因为蚂蚁走过的路上会留下信息素，信息素越高，选择这条路的概率越高，所以假定 因子 = 信息素。在这里，信息素就是一种变量，会在后续的反向传播环节中进行校准。
        但是这样会带来一个问题，当第一次迭代完成后，走过的路上留下了信息素，没走过的路上没有信息素，导致之后的蚂蚁会更偏向于之前已经走过的路，而之前已经走过的路不一定是最优路线。因此我们需要给因子再加一个参数，因为我们的问题是求最短路径，所以我们把两点之间的距离引入进来。从贪心的角度来说，两点之间距离越短，则选择这条路线的概率越大，所以我们乘上距离的倒数。
        现在，因子 = 信息素 * （距离的倒数）
        因子在受到多个参数影响后，我们希望能够调整各个参数的权重，在之前的人工神经网络中，我们是通过乘法的形式把权重和参数结合。
        但是在这里我们已经使用了乘法，所以在处理权重时，我们可以使用指数，即：
        这边使用 alpha 和 beta 分别代表 信息素 和 距离 的权重，这两个值属于常量，调参时可以灵活调整。
        在求得每段路程的因子之后，每只蚂蚁使用轮盘赌算法去选择它要去的下个节点，遍历的时候顺便计算走过的路程，毕竟我们要求的就是最短路径。

        蚂蚁根据各个城市间连接路径上的信息素浓度决定下一个访问城市，设表示时刻蚂蚁k 从城市i 转移到城市j 的转移概率，其公式为：

选择下一个城市：

        蚂蚁选择城市的概率主要由