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XGBoost之二分类算法_xgboost二分类

作者：凡人多烦事01 | 2024-04-23 09:38:29

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xgboost二分类

1 XGBoost二分类算法简介

XGBoost(Extreme Gradient Boosting)算法是陈天奇博士于2016年发表的论文《 XGBoost：A Scalable Tree Boosting System》中正式提出的。XGBoost在GBDT算法的基础上作出了一系列的优化，如在损失函数的计算中增加了二阶导数，增加了正则项，一定程度上的并行计算等。

XGBoost算法支持回归算法与分类算法。其中的回归算法在《XGBoost回归算法原理与应用》中有着比较详细的讲解。本文讲解分类算法中的二分类算法。XGBoost二分类算法与回归算法的主要区别在于损失函数的构造。

为保证文章结构的完整性，本文沿袭了前一篇文章的相关内容。

2 关于目标函数

2.1 损失函数

以 $f_{t}(x)$ 表示第 $t$ 轮预测值， $w_{t}(x)$ 表示第 $t$ 棵树在样本 $x$ 处的取值（权重）， $L(y,f_{t}(x))$ 表示第 $t$ 轮的损失函数，损失函数 $L(y,f_{t}(x))$ 二阶可导。

将 $L(y,f_{t}(x))$ 二阶泰勒展开：

$L(y,f_{t}(x))=L(y,f_{t-1}(x)+w_{t}(x))=L(y,f_{t-1}(x))+\frac{\partial L(y,f(x))}{\partial f(x)}|_{f(x)=f_{t-1}(x)}w_{t}(x)+\frac{\partial^2 L(y,f(x))}{2\partial f^2(x)}|_{f(x)=f_{t-1}(x)}w_{t}^{2}(x)+constant$

记 $g_{t}=\frac{\partial L(y,f(x))}{\partial f(x)}|_{f(x)=f_{t-1}(x)}$ ， $h_{t}=\frac{\partial^2 L(y,f(x))}{\partial f^2(x)}|_{f(x)=f_{t-1}(x)}$

在XGBoost二分类算法中，一般可选择指数损失函数和经改造的对数损失函数。这里使用经改造的对数损失函数。

$L(y,f(x))=-y\ln p-(1-y)\ln(1-p)$ ，其中 $p=\frac{1}{1+e^{-f(x)}}$ ，可见 $0<p<1$ ，对比逻辑回归函数可以发现， $p$ 为正样本事件发生的概率。

对损失函数进行变化：

$L(y,f(x))=-y\ln p-(1-y)\ln(1-p)=-y\ln \frac{1}{1+e^{-f(x)}}-(1-y)\ln(1-\frac{1}{ 1+e^{-f(x)}})$

$=-yf(x)+ln(1+e^{f(x)})$

具体推导过程见前一篇文章。

损失函数关于 $f(x)$ 的一阶、二阶导数分别为：

${L}'=-y+\frac{1}{1+e^{-f(x)}}=-y+p$

${L}''=-(1+e^{-f(x)})^{-2}*e^{-f(x)}*(-1)=\frac{e^{-f(x)}}{(1+e^{-f(x)})^{2}}=(\frac{1}{p}-1)p^{2}=p(1-p)$ ，由于 $0<p<1$ ，故 ${L}''>0$

故当 ${L}'=0$ 时，损失函数取得极小值。

则 $g_{t,i}=-y_{i}+p_{i}$ ， $h_{t,i}=p_{i}(1-p_{i})$

其中 $p_{i}=-y_{i}+\frac{1}{1+e^{-f_{t-1}(x_{i})}}$

2.2 目标函数

针对样本构造目标函数，在第 $t$ 轮时，

$Obj=\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f_{t}(x_{i}))$

$=\sum_{i=1}^{N}(L(y_{i},f_{t-1}(x_{i}))+\frac{\partial L(y_{i},f(x))}{\partial f(x)}|_{f(x)=f_{t-1}(x_{i})}w_{t}(x_{i})+\frac{\partial^2 L(y_{i},f(x))}{2\partial f^2(x)}|_{f(x)=f_{t-1}(x_{i})}w_{t}^{2}(x_{i})+constant)$

$=\sum_{i=1}^{N}(L(y_{i},f_{t-1}(x_{i}))+\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial L(y_{i},f(x))}{\partial f(x)}|_{f(x)=f_{t-1}(x_{i})}w_{t}(x_{i})+\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial^2 L(y_{i},f(x))}{\partial f^2(x)}|_{f(x)=f_{t-1}(x_{i})}w_{t}^{2}(x_{i})+constant$

$=\sum_{i=1}^{N}(L(y_{i},f_{t-1}(x_{i}))+\sum_{i=1}^{N}g_{t,i}w_{t}(x_{i})+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}h_{t,i}w_{t}^{2}(x_{i})+constant$
在第 $t$ 轮迭代时， $f_{t-1}(x_{i})$ 已知， $constant$ 为常数，要使得目标函数最小，仅需要上式中第2、3项的和最小即可。因此，可将目标函数改造成：

$Obj=\sum_{i=1}^{N}[g_{t,i}w_{t}(x_{i})+\frac{1}{2}h_{t,i}w_{t}^{2}(x_{i})]$

2.3 添加正则项

在第 $t$ 棵树中，第 $j$ 个叶子节点对应的样本序号的集合 $I_{j}=\left \{ i|q(x_{i})=j \right \}$ ，在 $i\in I_{j}$ 时， $w_{t}(x_{i})=w_{j}$ 。

利用树的复杂度定义正则项，在第 $t$ 轮迭代时，

$\Omega =\gamma J_{t}+\frac{1}{2}\lambda \sum_{j=1}^{J_{t}}w_{j}^{2}$ ，其中 $J_{t}$ 表示第 $t$ 棵树叶子节点的个数， $w_{j}$ 表示第 $t$ 棵树第 $j$ 个叶子节点的取值（权重）； $\gamma,\lambda$ 为设定的参数，且均大于0。

考虑到模型的泛化能力，在目标函数中增加正则项 $\Omega$ ，则

$Obj=\sum_{i=1}^{N}[g_{t,i}w_{t}(x_{i})+\frac{1}{2}h_{t,i}w_{t}^{2}(x_{i})]+\Omega$

将正则项代入目标函数：

$Obj=\sum_{i=1}^{N}[g_{t,i}w_{t}(x_{i})+\frac{1}{2}h_{t,i}w_{t}^{2}(x_{i})]+(\gamma J_{t}+\frac{1}{2}\lambda \sum_{j=1}^{J_{t}}w_{j}^{2})$

则

$Obj=\sum_{j=1}^{J_{t}}[\sum_{i\in I_{j}}^{}(g_{t,i}w_{t}(x_{i})+\frac{1}{2}h_{t,i}w_{t}^{2}(x_{i}))]+(\gamma J_{t}+\frac{1}{2}\lambda \sum_{j=1}^{J_{t}}w_{j}^{2})$

$=\sum_{j=1}^{J_{t}}\left [ (\sum_{i\in I_{j}}^{}g_{t,i})w_{j}+\frac{1}{2}(\sum_{i\in I_{j}}^{}h_{t,i})w_{j}^{2}\right ]+\gamma J_{t}+\frac{1}{2}\lambda \sum_{j=1}^{J_{t}}w_{j}^{2}$

$=\sum_{j=1}^{J_{t}}\left [ (\sum_{i\in I_{j}}^{}g_{t,i})w_{j}+\frac{1}{2}(\sum_{i\in I_{j}}^{}h_{t,i}+\lambda )w_{j}^{2}\right ]+\gamma J_{t}$

记 $G_{j}=\sum_{i\in I_{j}}^{}g_{t,i},H_{j}=\sum_{i\in I_{j}}^{}h_{t,i}$ ，则

$Obj=\sum_{j=1}^{J_{t}}\left [ G_{j}w_{j}+\frac{1}{2}(H_{j}+\lambda )w_{j}^{2}\right ]+\gamma J_{t}$

2.4 目标函数最优解

从目标函数的表达式可以看出，在第 $j$ 个叶子节点时的表达式是关于 $w_{j}$ 的一元二次函数，在 $w_{j}=w_{j}^{*}=-\frac{G_{j}}{2*\frac{1}{2}(H_{j}+\lambda )}=-\frac{G_{j}}{H_{j}+\lambda }$ 时目标函数取得极值。

此时， $Obj=-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{J_{t}}\frac{G_{j}^{2}}{H_{j}+\lambda }+\gamma J_{t}$

3 树的生成

XGBoost树的节点分裂，支持贪心算法和近似算法，这里介绍贪心算法。

3.1 节点分裂

假设叶子节点继续分裂分成左右（ $L,R$ ）两个叶子节点。分裂前叶子节点的个数 $J_{t}$ 为1，分裂后变为2。在第 $t$ 棵树中，分裂后的 $G_{j}$ 分别记为 $G_{L},G_{R}$ ，分裂后的 $H_{j}$ 分别记为 $H_{L},H_{R}$ 。

则可计算分裂前后的目标函数增益：

$Gain=Obj_{L+R}-(Obj_{L}+Obj_{R})$

$=-\frac{1}{2}\frac{(G_{L}+G_{R})^{2}}{H_{L}+H_{R}+\lambda }+\gamma -(-\frac{1}{2}\frac{G_{L}^{2}}{H_{L}+\lambda }+\gamma -\frac{1}{2}\frac{G_{R}^{2}}{H_{R}+\lambda }+\gamma)$

$=\frac{1}{2}(\frac{G_{L}^{2}}{H_{L}+\lambda }+\frac{G_{R}^{2}}{H_{R}+\lambda }-\frac{(G_{L}+G_{R})^{2}}{H_{L}+H_{R}+\lambda })-\gamma$

对于所有可能的分裂，计算上述增益，以增益最大的分裂作为本次的节点分裂。

对于分裂后的叶子节点，继续按照上述贪心算法进行分裂，直至无法分裂或满足停止条件（如增益小于指定值、叶子节点的样本数量限制、树的深度达到指定值等），生成本轮决策树。

3.2 样本取值

在上述生成树的叶子节点中，在第 $j$ 个叶子节点的取值 $w_{j}=w_{j}^{*}=-\frac{G_{j}}{H_{j}+\lambda }$

4 XGBoost回归算法过程

4.1 输入输出

1）输入

训练样本集： $D=\left \{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{N},y_{N}) \right \}$ ，其中 $y_{i}\in \left \{ 0,1 \right \},i=1,2,...,N$

2）输出

最终决策树 $f(x)$ ，并可将其转化为正样本事件发生概率 $p(x)=\frac{1}{1+e^{-f(x)}}$ ，以及据此进行样本分类。

4.2 模型初始化

设定 $\lambda ,\gamma$ 。

假设初始化的弱学习器 $f_{0}(x_{i})=c$ ，代价函数 $cost(c)=\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},c)$ ，

则 $c=\underset{c}{arg\min }\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},c)$ 。

当损失函数是上述对数损失函数时， $c=ln\frac{\sum_{i=1}^{N}y_{i}}{\sum_{i=1}^{N}(1-y_{i})}$

其推导过程见《GBDT之二分类算法》。

模型的初始化会影响迭代效率。

4.3 进行迭代

对于 $t=1,2,...,T$ 轮迭代：

1）计算负梯度

在 $f(x)=f_{t-1}(x)$ 时，其负梯度为

$-\left [ \frac{\partial L(y,f(x))}{\partial f(x)}\right ]_{f(x)=f_{t-1}(x)}=-{L}'_{f(x)=f_{t-1}(x)}=y-\frac{1}{1+e^{-f_{t-1}(x)}}$

对于第 $i$ 个样本，其负梯度 $r_{t,i}=-\frac{\partial L(y_{i},f(x))}{\partial f(x)}|_{f(x)=f_{t-1}(x_{i})}$

$=y_{i}-\frac{1}{1+e^{-f_{t-1}(x_{i})}}=y_{i}-p_{i},i=1,2,...,N$

2）利用负梯度生成回归树

利用负梯度构建新的数据集 $D_{t}=\left \{ (x_{1},r_{t,1}),(x_{2},r_{t,2}),...,(x_{N},r_{t,N}) \right \}$ 。

计算 $g_{t,i},h_{t,i},i=1,2,...,N$ ，计算 $G_{j},H_{j}$ 。

按照前述“树的生成”中的方法，生成本轮决策树 $w_{t}(x)$ 。

叶子节点的区域为 $R_{t,j},j=1,2,...,J_{t}$ ，其取值 $w_{t,j}=-\frac{G_{j}}{H_{j}+\lambda }$ 。

3）更新强学习器

$f_{t}(x)=f_{t-1}(x)+w_{t}(x)=f_{t-1}(x)+\sum_{j=1}^{J_{t}}w_{t,j}I(x\in R_{t,j})$

在不满足停止条件时，继续迭代。

在模型实现过程中，一般会增加一个学习率。

4）得到最终学习器

在第 $T$ 轮迭代时：当目标函数小于指定值或满足其它设定的停止条件（如迭代次数、分类器在训练集或测试集上的性能等）时，迭代停止。

$f(x)=f_{T}(x)=f_{0}(x)+\sum_{t=1}^{T}\sum_{j=1}^{J_{t}}w_{t,j}I(x\in R_{t,j})$

5 算法代码实现


import pandas as pd
import numpy as np
from xgboost import XGBClassifier
from sklearn.datasets import load_iris


#选择sklearn中的数据集
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
data = datasets.load_breast_cancer()
X,y = data.data,data.target


#选择默认参数训练模型
xgb = XGBClassifier()
xgb.fit(X,y)

XGBClassifier(base_score=0.5, booster='gbtree', callbacks=None,
              colsample_bylevel=1, colsample_bynode=1, colsample_bytree=1,
              early_stopping_rounds=None, enable_categorical=False,
              eval_metric=None, gamma=0, gpu_id=-1, grow_policy='depthwise',
              importance_type=None, interaction_constraints='',
              learning_rate=0.300000012, max_bin=256, max_cat_to_onehot=4,
              max_delta_step=0, max_depth=6, max_leaves=0, min_child_weight=1,
              missing=nan, monotone_constraints='()', n_estimators=100,
              n_jobs=0, num_parallel_tree=1, objective='binary:logistic',
              predictor='auto', random_state=0, reg_alpha=0, ...)


#模型预测
xgb.predict(X[100:110])

array([0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1])

6 算法说明

XGBoost二分类算法与XGBoost回归算法的最大区别在于损失函数。对于回归算法，损失函数一般选择平方损失函数；对于二分类算法，损失函数一般选择对数损失函数。

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