AVL数的实现（C++）_avl c++

二叉搜索树虽然可以加快查找效率，但当数据有序或接近有序时，二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一颗AVL树或是空树，或是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL数
• 它的左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1可以取-1、0、1

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，那么它就是AVL树。如果它有N个结点，其高度可保持在O(logN),搜索树的时间复杂度为O(logN)。

AVL数的插入

AVL树是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。AVL树的插入过程可以分两步：

1.按照二叉搜索树的方式插入新结点。

1)如果树的根为空，新创建一个结点作为树的根，返回true。

2）如果树不为空，从根结点开始比较将要插入结点的值key和当前结点值cur->_key的大小。如果key<cur->_key,到当前结点的左子树去找；如果key>cur->_key,到当前结点的右子树去找；如果key==cur->_key,说明该树中有和新结点值相同的结点，就不插入了，返回false。按照此思路循环查找，直到当前结点为空，结束循环。此时parent为叶子结点。

3）插入新结点：新结点一定插入在parent的左侧或右侧。

2.调节结点的平衡因子。

新结点插入后，AVL树的平衡性可能遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检查是否破坏了AVL树的平衡性。

当新结点cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整。在插入结点之前，parent的平衡因子分为-1，0，1三种情况。

调节平衡因子
        1)如果cur插入到parent的左侧，给parent的平衡因子-1；
        2)如果cur插入到parent的右侧，给parent的平衡因子+1
        此时parent的平衡因子可能是：0、正负1、正负2
        如果parent的平衡因子是0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL数的性质，插入成功。
        如果parent的平衡因子是正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后更新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新。
        如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反了平衡树的性质，需要对其进行旋转处理，以降低高度。

AVL树的旋转

1.新结点插入较高左子树的左侧--左左：右单旋

2.新结点插入较高右子树的右侧--右右：左单旋

3.新结点插入较高左子树的右侧--左右：先左单旋再右单旋

4.新结点插入较高右子树的左侧--右左：先右单旋再左单旋

AVL树的插入完整代码：

bool Insert(const K& key,const V& value)
	{
		//如果树为空，插入新结点
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key,value);
			return true;
		}
		//按照二叉搜索树的性质找到要插入的位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (key < cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//插入新结点
		cur = new Node(key,value);
		if (key < parent->_key)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
 
		
		while (parent)
		{
			//更新父亲的平衡因子
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
			//更新后检查父亲的平衡
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 1)
			{
				//向上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 2)
			{
				//插入新结点后，AVL数的平衡性遭到破坏，需要对以parent为根的树进行旋转处理
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
				{
					RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
 
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else
		{
			parent->_bf = subL->_bf = 0;
		}
		subLR->_bf = 0;
	}
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
 
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			parent->_bf = subR->_bf = 0;
		}
		subRL->_bf = 0;
	}
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pparent->_right = subR;
			}
		}
		subR->_parent = pparent;
 
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
 
	}
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		subL->_right = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left = parent)
			{
				pparent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pparent->_right = subL;
			}
		}
		subL->_parent = pparent;
 
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

AVL树的验证

1.验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可以得到一个有序的序列，说明其为二叉搜索树。

2.验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子) 。
• 节点的平衡因子是否计算正确。

 AVL树从构建到验证的完整代码

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	K _key;
	V _value;
	int _bf;
	AVLTreeNode(const K& key,const V& value)
		: _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _key(key)
		, _value(value)
		, _bf(0)
	{}
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:
	AVLTree()
		: _root(nullptr)
	{}
	
	~AVLTree()
	{
		Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}
 
	bool Insert(const K& key,const V& value)
	{
		//如果树为空，插入新结点
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key,value);
			return true;
		}
		//按照二叉搜索树的性质找到要插入的位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (key < cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//插入新结点
		cur = new Node(key,value);
		if (key < parent->_key)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
 
		//更新cur的父亲结点
		cur->_parent = parent;
 
		//插入新结点后，AVL树的平衡性可能遭到破坏，此时需要更新平衡因子，并检查是否破坏了AVL树的平衡性
		
		while (parent)
		{
			//更新父亲的平衡因子
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
			//更新后检查父亲的平衡
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 1)
			{
				//向上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 2)
			{
				//插入新结点后，AVL数的平衡性遭到破坏，需要对以parent为根的树进行旋转处理
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
				{
					RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
 
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else
		{
			parent->_bf = subL->_bf = 0;
		}
		subLR->_bf = 0;
	}
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
 
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			parent->_bf = subR->_bf = 0;
		}
		subRL->_bf = 0;
	}
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pparent->_right = subR;
			}
		}
		subR->_parent = pparent;
 
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
 
	}
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		subL->_right = parent;
		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left = parent)
			{
				pparent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pparent->_right = subL;
			}
		}
		subL->_parent = pparent;
 
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}
	void Height()
	{
		cout << _Height(_root) << endl;
	}
	bool IsBalanceTree()
	{
		return _IsBalanceTree(_root);
	}
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	bool _IsBalanceTree(Node* root)
	{
		if (_root == nullptr)
			return true;
 		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		if (abs(leftHeight - rightHeight) > 2 || (leftHeight - rightHeight) != root->_bf)
		{
			cout << " 平衡因子错误" << endl;
			return false;
		}
		return  _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
	}
private:
	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root)
		{
			Destroy(root->_left);
			Destroy(root->_right);
			delete root;
		}
	}
	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_Inorder(root->_right);
	}
	
	Node* _root;
};
void TestAVLTree()
{
	AVLTree<int,int> tree;
	int arr[] = { 26, 18, 14, 5, 3 };
	for (auto& e : arr)
	{
		tree.Insert(e,e);
	}
	tree.Inorder();
	tree.Height();
	tree.IsBalanceTree();
}

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个结点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O（logN）。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能就非常低下了。如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（不会改变），可以考虑AVL树，但如果一个结构经常修改，就不太适合用AVL树。