【小罗的hdlbits刷题笔记2】补码运算中溢出的问题（Exams/ece241 2014 q1c）

关于补码运算中进位溢出的问题及延伸，hdlbits中Exams/ece241 2014 q1c给出了很好的解释，首先来看问题：

Assume that you have two 8-bit 2’s complement numbers, a[7:0] and b[7:0]. These numbers are added to produce s[7:0]. Also compute whether a (signed) overflow has occurred.
译文：*假设你有两个8位2的补码，a[7:0]和b[7:0]。把这些数字相加就得到s[7:0]。还要计算是否发生了(带符号的)溢出

我们需要了解一下补码的概念，二进制数据计算时，由于负数的出现，单纯的二进制数无法计算（即原码）。为了区分正数和负数，在原码的最高位前新添加了一位，称之为符号位（0表示正，1表示负），但是仅仅这样是不够的，你可以尝试计算一下-3+5，因此把负数中所有二进制数取反（此时为反码），然后+1，正数还是原来的样子，此时这种形式的数据称之为原数据的反码。由于反码的存在，带二进制数可以直接进行加减运算。
然而在反码计算的过程中，会出现符号位溢出的问题，例如-7-5的计算为1001+1010=（1）0011，即结果为+3,这显然是不正确的，因此该问题中除了简单的相加，更要考虑进位问题的存在，下面是该题的代码：

module top_module (
    input [7:0] a,
    input [7:0] b,
    output [7:0] s,
    output overflow
); 
    assign s=a + b;
    assign overflow=a[7] & b[7] & ~s[7] | ~a[7] & ~b[7] & s[7];

endmodule
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

要明确，出现错误的根源是两个数相加后的进位与原本的符号位进行运算，覆盖掉了原本的符号位，也就是以下两种情况：
1.输入为两个正数，并产生了进位1，覆盖了原本得数的符号位0.（例如反码计算 0100+0100）
2.输入为两个负数，两个数符号位相加产生0（例如反码计算1001+1001）

其实 为了避免这种情况的发生，产生了一种反码的另一种形式，即变形补码：

变形补码，又称”模4补码“即用两个二进制位来表示数字的符号位，其余与补码相同。变形补码，用“00”表示正，用“11”表示负，也称为模4的补码。用变形补码进行加减运算时，当运算结果的符号位出现“01”或者“10”时，则表示产生溢出。变形补码的最高位（第一个符号位）总是表示正确的符号，比如"00"、 “01”分别表示正数、正溢出（上溢），“11”、“10”表示负数、负溢出（下溢）。（摘自百度百科）