分治法练习

分治法含义

分治法，字面意思是“分而治之”，就是把一个复杂的1问题分成两个或多个相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题直到最后子问题可以简单地直接求解，原问题的解即子问题的解的合并，这个思想是很多高效算法的基础，例如排序算法(快速排序，归并排序)，傅里叶变换(快速傅里叶变换)等。

分治法的基本思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治策略：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易的解决(比如规模n较小)则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解决这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。

如果原问题可以分割成k个子问题，1<k<=n，且这些子问题均可解并且利用这些子问题的解求出原问题的解，那么分治方法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归经常同时应用在算法设计之中。

分治法使用场景
该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易的解决。
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
第一条特征是绝大多数问题可以满足的，问题的复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提。它是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用。第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条，而不具备第三条特征，则可以考虑使用贪心法或者动态规划法。第四条关系到分治法的效率，如果各个子问题是不独立的则分治法要做寻多不必要的工作，重复的解决公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般使用动态规划法较好。

分治法的基本步骤
分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
合并：将各个子问题的解合并为原问题的解
分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阈值 [公式] ，且最小子解规模为1的问题消耗一个单位时间。设将原问题分解为k个子问题以及用merge将K个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间，用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间： [公式]

可以使用分治法求解的一些经典问题
二分搜索
大整数乘法
Strassen矩阵乘法
棋盘覆盖
合并排序
快速排序
线性时间选择
最接近点对问题
循环赛日程表
汉诺塔
二分搜索法

又叫做二分查找，折半查找，它是一种效率较高的查找方法。

线性表为有序表，先确定待查找记录所在的范围，然后逐步缩小范围直至找到或找不到该记录的位置。

先确定中间位置： [公式] ;
将待查找的key值与data[middle].key的值比较，相等则查找成功并返回该位置，否则须确定新得查找区间，继续二分查找，
如果data[middle].key大于key，由于data为有序线性表，可知data[middle…right].key均大于key，因此若表中存在关键字等于key的节点，则一定在位置middle左边的子表中。
反之，data[middle].key小于key，若表中存在关键字等于key的节点，则一定在位置middle右边的子表中，下一次查找对新的区域进行查找。
和动态规划一样，作为一种解决问题的算法思想，仅仅知道其概念是远远不够的，需要出培养这种思维方式，所以必须要有针对性的勤刷题，培养出一种解决问题的思维方式，这样以后遇到类似的问题才能迎刃而解。

参考博客：https://www.cnblogs.com/xsyfl/p/6921687.html

简单的分治法应用

快排
https://blog.csdn.net/m0_52103105/article/details/115506271

二分查找及最大边界
https://blog.csdn.net/m0_52103105/article/details/116172415

分治法练习

分治法练习1：循坏赛日程安排问题

题目：
设有n=2^k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：
（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
（2）每个选手一天只能赛一次。
（3） 循环赛一共进行n-1天。
第一行为各个队伍，比如说8个队伍第一行输出1到8.
按此要求，可将比赛日程表设计成一个 n 行n-1列的二维表，其中，第 i 行第 j 列表示和第 i 个选手在第 j 天比赛的选手。

解题思路
分治思想：能否以小问题解决大问题？比如说2个队来解决4队？

先进行实验：
我们可以人为确定最初始（2个队）的表格：

那我们要让接下来两行里1,2不和上面两行冲突（轴对称图形！为什么不任意顺序？为了for循环的简易设计我们选择轴对称）

补充剩下的数（第一行必须1234）

既然两个队可以得出4个队 那么4个队就可以得出八个队，重复上述步骤：

e~h怎么填？由于左边四行每个数，我们所能达到最高是8，那么只要每个数加4就可以得到右上角

原理很简单，一直打印对称图形罢了，接下来就剩下代码实现。（源码在下方但这么简单你们还要看吗）

——分
——割
——代
——码
——防
——止
——偷
——看
——自
——立
——自
——强

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 100

int map[N][N];

void init()
{
    map[0][0]=1;
    map[0][1]=2;
    map[1][0]=2;
    map[1][1]=1;
}

void Creat(int n)
{
    int i=2;
    int j,k;
    while(i<n)
    {
        //把左上角拷贝到右下角
        for(j=i;j<2*i;j++)
            for(k=i;k<2*i;k++)
            map[j][k]=map[j-i][k-i];

        //右上角
        for(j=0;j<i;j++)
            for(k=i;k<2*i;k++)
            map[j][k]=map[j][k-i]+i;

        //把右上角拷贝到左下角
        for(j=i;j<2*i;j++)
            for(k=0;k<i;k++)
            map[j][k]=map[j-i][k+i];
        i=i*2;
    }
}

int main()
{
    int k;
    scanf("%d",&k);
    int n;
    n=1<<k;
    init();
    Creat(n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
            printf("%d ",map[i][j]);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}
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分治法练习2：棋盘覆盖问题

Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 64 MB
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Description

在一个2 ^k X 2 ^k
个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

Input
k，dr，dc。k定义如前，dr，dc分别表示特殊方格所在的行号和列号 1 ≤ k ≤ 6 1 \leq k \leq 61≤k≤6

Output
按照左上，右上，左下，右下的顺序用分治法求解。特殊方格标0，其他位置按上述顺序依次标记。

Sample Input
2 1 1

Sample Output
2 2 3 3
2 0 1 3
4 1 1 5
4 4 5 5

题解：
我们每次将该图形分成四部分

1 1   2 2 
1 1   2 2
3 3   4 4
3 3   4 4
1
2
3
4

count记录L型骨牌个数
对每个部分进行逐一判断，判断特殊点是否在其中：
如果不在第一部分，则对第一部分的右下角赋值count。
如果不在第二部分在第二部分的左下角赋值count。
如果不在第三部分则在第三部分的右上角赋值count。
如果不在第四部分则在第四部分的右上角赋值count。

然后我们再这四个部分进行分治，将他们分治成新的4个部分

1 2   1 2
3 4   3 4

1 2   1 2
3 4   3 4
1
2
3
4
5

不断进行判断，直到图形变为1X1
——分
——割
——代
——码
——防
——止
——偷
——看
——自
——立
——自
——强

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 100
int map[N][N];
int count=1;


//sr sc代表开始的行和列 用于区分分治左上 右上 左下 右下
void creat(int sr,int sc,int size,int dr,int dc)
{
    if(size<2)
        return ;

    int k=count++;

    //左上的边界必须利用开始的点来分
    if(dr>sr+size/2-1 || dc>sc+size/2-1)
        map[sr+size/2-1][sc+size/2-1]=k;
    creat(sr,sc,size/2,dr,dc);  //左上的开始一直不变


    //右上
    if(dr>sr+size/2-1 || dc<sc+size/2)
        map[sr+size/2-1][sc+size/2]=k;
    creat(sr,sc+size/2,size/2,dr,dc);

    //左下
    if(dr<sr+size/2 || dc>sc+size/2-1)
        map[sr+size/2][sc+size/2-1]=k;
    creat(sr+size/2,sc,size/2,dr,dc);

    //右下
    if(dr<sr+size/2 || dc<sc+size/2)
        map[sr+size/2][sc+size/2]=k;
    creat(sr+size/2,sc+size/2,size/2,dr,dc);

}

int main()
{
    int k,dr,dc;
    scanf("%d%d%d",&k,&dr,&dc);
    int size=1<<k;
    creat(0,0,size,dr,dc);

    for(int i=0;i<size;i++){
        for(int j=0;j<size;j++)
            printf("%d ",map[i][j]);
        putchar('\n');
    }

    return 0;
}
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