数据结构学习笔记——图的存储结构（邻接矩阵、邻接表、邻接多重表和十字链表）_邻接矩阵和邻接表

前言

图的常用存储结构有邻接矩阵和邻接表，另外还有十字链表、邻接多重表等等。

一、邻接矩阵

图的邻接矩阵存储结构用于表示顶点之间的相邻关系，其中通过一个一维数组存储顶点，一个二维数组存储顶点之间的相邻关系，一个顶点数为n的图的邻接矩阵是n×n（n行n列），即一个方阵，用邻接矩阵方法来表示一个图需要n²个存储空间，它只与图中的顶点数有关，其空间复杂度为O(n²)。

（一）图的邻接矩阵表示

设图G=(V，E)，若顶点是E(G)中的边，则用1标记，记为A[i][j]=1；若顶点不是E(G)中的边，则用0标记，记为A[i][j]=0。

• ✨通过邻接矩阵存储图时，其邻接矩阵是唯一的。

例如，下面是一个无向图：

该无向图的邻接矩阵为：

• ✨对于一个无向图，其邻接矩阵的主对角线一定为零，另外无向完全图中，其邻接矩阵的主对角线为0，其余元素都为1，其任意两个顶点之间都有边连接。

例如，下面是一个无向完全图：

其邻接矩阵表示如下：

下面是一个有向图：

其邻接矩阵表示如下：

（二）图的邻接矩阵性质

• ✨由于邻接矩阵是方阵，所以图的顶点数等于邻接矩阵的行或列的数目。

例如以下是一个图的邻接矩阵，由于该邻接矩阵是4×4，即该图的顶点数为4。

• ✨对于一个含有n个顶点，e条边的无向图，其邻接矩阵中元素为零的个数为n²-2e。

例如，如下这个邻接矩阵，若它是无向图，求其共有多少条边。

可知该邻接矩阵是3×3，即该图的顶点数为3，n=3，又由于是无向图，其邻接矩阵中元素为零的个数为5，由n²-2e，即5=9-2e，解得e=2，故无向图中共有2条边。

• ✨无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵，关于对角线对称，且主对角线一定为零（只针对简单图），而有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵；另外，0若一个图的邻接矩阵是对称的，则它可以是无向图或有向图。
  

由于无向图的邻接矩阵存在对称关系，其上三角和下三角的相同的，所以当在存储邻接矩阵时，除了对角线都为0以外，其实只需要存储上三角或下三角的数据，故只需要n(n-1)/2个存储空间。

只存储上三角或下三角的数据，即1+2+3+……+(n-1)=n(n-1)/2。

• ✨对于无向图，顶点v_i的度为其邻接矩阵中第i行（或第i列）的非零元素的个数；而有向图中，对于顶点i，邻接矩阵中第i行非零元素的个数和第i列非零元素的个数对应该顶点的出度OD(v_i)和入度ID(v_i)，又由于有向图中度等于出度和入度之和，即顶点v_i的度为其邻接矩阵中第i行和第i列的非零元素的个数之和。

若对于带权的图，即网，在有关度的运算时，只需将非零元素的个数替换成非∞元素的个数即可，例如对于无向图中，顶点v_i的度为其邻接矩阵中第i行（或第i列）的非∞元素的个数。

例、设图的邻接矩阵A如下所示，求各顶点的度依次是_______。

首先，可知该邻接矩阵不对称，所以图为有向图，有向图的度为入度和出度之和，
所以各顶点的度为邻接矩阵中每行和每列之和，出度对应行，入度对应列，
即，V1=1+1+1=3，V2=1+1+1+1=4，V3=1+1=2，V4=1+1+1=3
即3，4，2，3。

• ✨若邻接矩阵为对称矩阵，当图为有向图时，图的弧的数目等于邻接矩阵中非零元素的个数；当为无向图，则图的边数等于邻接矩阵中非零元素的一半。

（三）网的邻接矩阵表示

• 带权的图称为网，设图G=(V，E)，若顶点v_i与顶点v_j之间有边，则记为A[i][j]=W_ij，即对应邻接矩阵对应项中存放边的权值；若顶点v_i与顶点v_j不相连，两个顶点间不存在边，则用∞标记，记为A[i][j]=∞，这里的∞是一个大于所有边的权值。

例如，下面是一个无向网，带有权值：

其邻接矩阵表示如下：

例如，下面是一个有向网，带有权值：

其邻接矩阵表示如下：

二、邻接矩阵存储图代码

以下代码可用于求有向图或无向图的邻接矩阵，只需修改其中一句代码（详细见图的邻接矩阵建立）。

（一）图的邻接矩阵定义

可自行定义MAXSIZE，即顶点数目的最大值，顶点的数据类型为char类型，边的数据类型为int类型，如下代码：

#define MAXSIZE 100
typedef struct {
	int n,e;					//图的顶点数目、图的边数目
	char V[MAXSIZE];			//一维数组，存储顶点
	int E[MAXSIZE][MAXSIZE];	//二维数组，边的邻接矩阵
} Graph;
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（二）初始化邻接矩阵

初始化邻接矩阵，将邻接矩阵中的所有元素都置为0，通过for循环嵌套完成，如下代码：

/*初始化邻接矩阵*/
void InitGraph(Graph *G) {
	int i,j;
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			G->E[i][j]=0;
}
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（三）图的邻接矩阵建立

针对无向图和有向图，由于无向图中边连接边的两个顶点与有向图中不同，所以只需对if条件语句进行修改。
对于无向图时：

for(k=0; k<G->e; k++) {
	scanf("%c",&X); 
	printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
	scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) {
				G->E[i][j]=1;
				G->E[j][i]=1;		/*对于有向图，可以去掉这行代码，而无向图需加上*/
			}
}
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对于有向图时，加上G->E[j][i]=1：

for(k=0; k<G->e; k++) {
	scanf("%c",&X); 
	printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
	scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j])
				G->E[i][j]=1;
}
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完整代码如下：

/*图的邻接矩阵建立*/
void CreateGraph(Graph *G) {
	int i,j,k;
	char ch1,ch2,X;
	printf("请输入图的顶点数目：");
	scanf("%d",&G->n);
	printf("请输入图的边的数目：");
	scanf("%d",&G->e);
	printf("请输入各顶点的信息：\n");
	for(i=0; i<G->n; i++) {
		scanf("%c",&X); 
		printf("输入第%d个顶点：",i+1);
		scanf("%c",&(G->V[i]));
	}
	for(k=0; k<G->e; k++) {
		scanf("%c",&X); 
		printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
		scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
		for(i=0; i<G->n; i++)
			for(j=0; j<G->n; j++)
				if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) {
					G->E[i][j]=1;
					G->E[j][i]=1;		/*对于有向图，可以去掉这行代码，而无向图需加上*/
				}
	}
}
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（四）输出邻接矩阵

/*输出邻接矩阵*/
void PrintGraph(Graph G) {
	int i,j;
	for(i=0; i<G.n; i++) {
		for(j=0; j<G.n; j++)
			printf("%d  ",G.E[i][j]);
		printf("\n");
	}
}
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例如，下面是个无向完全图，求其邻接矩阵。

可知该图有4个顶点，6条边，顶点信息分别为A、B、C、D，边分别为A,B、A,C、A,D、B,C、B,D、C,D。
代码如下：

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 100
typedef struct {
	int n,e;					//图的顶点、图的边
	char V[MAXSIZE];			//一维数组，存储顶点
	int E[MAXSIZE][MAXSIZE];	//二维数组，存储顶点之间关系
} Graph;

/*初始化邻接矩阵*/
void InitGraph(Graph *G) {
	int i,j;
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			G->E[i][j]=0;
}

/*图的邻接矩阵建立*/
void CreateGraph(Graph *G) {
	int i,j,k;
	char ch1,ch2,X;
	printf("请输入图的顶点数目：");
	scanf("%d",&G->n);
	printf("请输入图的边的数目：");
	scanf("%d",&G->e);
	printf("请输入各顶点的信息：\n");
	for(i=0; i<G->n; i++) {
		scanf("%c",&X); 
		printf("输入第%d个顶点：",i+1);
		scanf("%c",&(G->V[i]));
	}
	for(k=0; k<G->e; k++) {
		scanf("%c",&X); 
		printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
		scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
		for(i=0; i<G->n; i++)
			for(j=0; j<G->n; j++)
				if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) {
					G->E[i][j]=1;
					G->E[j][i]=1;
				}
	}
}

/*输出邻接矩阵*/
void PrintGraph(Graph G) {
	int i,j;
	for(i=0; i<G.n; i++) {
		for(j=0; j<G.n; j++)
			printf("%d  ",G.E[i][j]);
		printf("\n");
	}
}

/*主函数*/
int main() {
	Graph G;
	InitGraph(&G);					//初始化邻接矩阵 
	CreateGraph(&G);				//建立邻接矩阵 
	printf("图的邻接矩阵为：\n");
	PrintGraph(G);					//输出邻接矩阵 
}
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运行结果如下：

例如，下面是个有向图，求其邻接矩阵。

可知该图有4个顶点，5条边，顶点信息分别为A、B、C、D，边分别为B,A、B,C、B,D、C,A、D,C。
代码如下：

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 100
typedef struct {
	int n,e;					//图的顶点、图的边
	char V[MAXSIZE];			//一维数组，存储顶点
	int E[MAXSIZE][MAXSIZE];	//二维数组，存储顶点之间关系
} Graph;

/*初始化邻接矩阵*/
void InitGraph(Graph *G) {
	int i,j;
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			G->E[i][j]=0;
}

/*图的邻接矩阵建立*/
void CreateGraph(Graph *G) {
	int i,j,k;
	char ch1,ch2,X;
	printf("请输入图的顶点数目：");
	scanf("%d",&G->n);
	printf("请输入图的边的数目：");
	scanf("%d",&G->e);
	printf("请输入各顶点的信息：\n");
	for(i=0; i<G->n; i++) {
		scanf("%c",&X); 
		printf("输入第%d个顶点：",i+1);
		scanf("%c",&(G->V[i]));
	}
	for(k=0; k<G->e; k++) {
		scanf("%c",&X); 
		printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
		scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
		for(i=0; i<G->n; i++)
			for(j=0; j<G->n; j++)
				if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) {
					G->E[i][j]=1;
					//G->E[j][i]=1;
				}
	}
}

/*输出邻接矩阵*/
void PrintGraph(Graph G) {
	int i,j;
	for(i=0; i<G.n; i++) {
		for(j=0; j<G.n; j++)
			printf("%d  ",G.E[i][j]);
		printf("\n");
	}
}

/*主函数*/
int main() {
	Graph G;
	InitGraph(&G);					//初始化邻接矩阵 
	CreateGraph(&G);				//建立邻接矩阵 
	printf("图的邻接矩阵为：\n");
	PrintGraph(G);					//输出邻接矩阵 
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运行结果如下：

三、邻接表

（一）邻接表定义

邻接表方法采用顺序存储结构和链式存储结构来存储图，对于图中每个顶点v_i，将所有邻接于v_i的顶点连成一个单链表，即这个单链表就称为顶点v_i的邻接表，另外还需将所有顶点的邻接表放进数组中，通过邻接表存储图所用的空间大小取决于图的顶点数和边的个数，顶点数n决定了顶点表的空间大小，边的个数决定了边表结点的空间大小。

• 由于图G=(V，E)，即需要在邻接表中定义两种结点结构，即顶点表和边表，另外若边上带有权值，则还需中边表上添加一个信息代表权值。顶点表中除了数据域用于存储顶点信息，还有指向第一条与其邻接顶点的指针域；边表中由邻接点域和指向下一条邻接边的指针域组成。

#define MAXSZIE 100
/*边表结点定义（不带权值的图的边表）*/
typedef struct Node {
	int adjvex;			//邻接点域
	struct Node *next;	//指向下一条邻接边的指针域
} EdgeNode;
/*顶点表结点定义*/
typedef struct VexNode {
	int data;				//数据域
	EdgeNode *firstedge;	//指向第一条邻接该顶点的指针域
} VHeadNode;
typedef struct {
	VHeadNode list[MAXSZIE];	//邻接表头结点数组
	int n,e;					//顶点数和边数
} List;
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例如，下面这个无向完全图：

为其编号如下：

邻接表表示的是顶点的出度邻接情况，即为每个顶点v_i建立一个以v_i为弧头的单链表，例如上图的邻接表表示如下：

例如，下面这个有向图：

为其编号如下：

其邻接表表示如下：

（二）逆邻接表

与邻接表相反，逆邻接表表示的是顶点的入度邻接情况，即为每个顶点v_i建立一个以v_i为弧头的单链表，如下：

该有向图的邻接表和逆邻接表表示如下：

（三）邻接表性质

• ✨通过邻接表存储图时，其邻接表并不唯一，这与邻接矩阵相反，是由于单链表中各边结点的连接顺序是任意的。

在邻接表表示中，对于无向图，由于同一条边连着两个顶点，所以相当于每条边在邻接表存储中被存储了两遍，而对于有向图则没有，所以：

• ✨在一个有n个顶点、e条边的无向图或有向图中，采用邻接表存储，无向图需要n个单链表表头指针和2e个边结点；而有向图需要n个单链表表头指针和e个边结点。

可以通过邻接表看出图中顶点的度，但无向图和有向图的度不一样，如下：

• ✨对于无向图，顶点v_i的度为第i个单链表的结点数；而对于有向图，顶点v_i的出度为第i个单链表的结点数，其入度为邻接表中所有单链表的邻接点域值为i的边结点个数。

对于要频繁计算有向图中顶点入度和出度的情况，可以另外建立一个逆邻接表，与有向图的邻接表相比，邻接表表示的是顶点的出度邻接情况，而相反，其逆邻接表表示的是顶点的入度邻接情况。

四、邻接矩阵与邻接表的对比

1、邻接矩阵