算法——数组之二分查找

和我一起刷算法吧！今天刷的是数组中很重要的二分查找部分！

1. 母题：二分查找

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
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示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
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思考：

left <= right中，相等的情况是什么？

在1，2，3，4，7，9，10中寻找3。会出现left=right的情况

在1，2，3，4，7，9，10中寻找2。不会出现left=right的情况

题解：

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while(left <= right){
            //写成(right + left)/2也可以，但可能会超过int的范围。
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] == target) return mid;
            else if(nums[mid] > target) right = mid - 1;
            else left = mid + 1;
        }
        return -1;
    }
}
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2. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
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示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]
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示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]
1
2

题解：

class Solution {
    // 两次二分查找，分开查找第一个和最后一个
    // 时间复杂度 O(log n), 空间复杂度 O(1)
    // [1,2,3,3,3,3,4,5,9]
    public int[] searchRange2(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        int first = -1;
        int last = -1;
        // 找第一个等于target的位置
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                first = mid;
                right = mid - 1; //重点
            } else if (nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }

        // 最后一个等于target的位置
        left = 0;
        right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] == target) {
                last = mid;
                left = mid + 1; //重点
            } else if (nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }

        return new int[]{first, last};
    }
}

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3. 搜索插入位置

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2
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示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1
1
2

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4
1
2

题解：

class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1; 
        while (left <= right) { 
            int middle = left + (right - left) / 2;
            if (nums[middle] > target) right = middle - 1; 
            else if (nums[middle] < target) left = middle + 1; 
            else  return middle;
        }
        return right + 1;
    }
}
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4. x 的平方根

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

**注意：**不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2
1
2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
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题解：

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        int left = 0, right = x, res = -1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if ((long) mid * mid <= x) {
                res = mid;
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return res;
    }
}
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5. 有效的完全平方数

给你一个正整数 num 。如果 num 是一个完全平方数，则返回 true ，否则返回 false 。

完全平方数 是一个可以写成某个整数的平方的整数。换句话说，它可以写成某个整数和自身的乘积。

不能使用任何内置的库函数，如 sqrt 。

示例 1：

输入：num = 16
输出：true
解释：返回 true ，因为 4 * 4 = 16 且 4 是一个整数。
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示例 2：

输入：num = 14
输出：false
解释：返回 false ，因为 3.742 * 3.742 = 14 但 3.742 不是一个整数。
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题解：

class Solution {
    public boolean isPerfectSquare(int num) {
        int left = 0, right = num;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            long square = (long) mid * mid;
            if (square < num) left = mid + 1;
            else if (square > num) right = mid - 1;
            else return true;
        }
        return false;
    }
}
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