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动态规划套路解决戳气球问题_戳气球,左右气球 最大硬币数

戳气球,左右气球 最大硬币数

题目

有 n 个气球,编号为0 到 n-1,每个气球上都标有一个数字,这些数字存在数组 nums 中。
现在要求你戳破所有的气球。每当你戳破一个气球 i 时,你可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 个硬币。 这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i 后,气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。
求所能获得硬币的最大数量。

说明

  • 你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 1,但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。
  • 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

示例

输入: [3,1,5,8]
输出: 167
解释: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 315 + 358 + 138 + 181 = 167

解法

这道题没有什么奇淫巧技,刚开始很多人都会想到列举数组的全排列,然后求最大值,这种方法的复杂度会随着数组元素增加而呈指数级增长,因此不可取。

本题我们将使用动态规划来解决。

1.将下标为-1和n的元素加入新数组point中,并将nums拷贝到新数组,此时新数组大小为nums.length+2;

2.既然要我们戳破所有气球能获得的最大硬币数,那么可以规定数组dp,其中dp[i][j]代表戳破(i,j)范围内的所有气球(不包含i,j)能获得的最大硬币数,并算出推导公式;

3.推导公式:dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k][j] + point[i]*point[k]*point[j]dp[i][k]表示戳破(i,k)范围内所有气球获得的最大金币,dp[k][j] 表示戳破(k,j)范围内所有气球获得的最大金币,point[i]*point[k]*point[j]表示最后戳破k气球获得金币;

4.遍历顺序:因为dp[i][j] 依赖于 dp[i][k]dp[k][j]的值,而dp[i][k] 在其左边,dp[k][j]在其下边,如图在这里插入图片描述
所以我们采用从下往上、从左往右的遍历方法,代码如下:

class Solution {
    //动态规划法
    public int maxCoins(int[] nums) {
        int numLength = nums.length;
        //将-1和n+1下标元素加入数   组,创建新数组存储
        int[] point = new int[numLength+2];
        //给下标-1和n+1下标元素赋值
        point[0] = 1;
        point[numLength+1] = 1;
        //将nums数组拷贝到point数组
        for (int i=1;i<numLength+1;i++) {
            point[i] = nums[i-1];
        }
        //dp[i][j] 代表 戳破i~j之间的气球(不包含i,j)获得的最大金币
        int[][] dp = new int[numLength+2][numLength+2];
        //确定i,j的遍历顺序和方向
        //二维数组从下到上、从左到右遍历,确保dp[i][k]和dp[k][j]有值
        for (int i=numLength;i>=0;i--) {
            for (int j=i+1;j<=numLength+1;j++) {
                //逐个k尝试,找出使dp[i][j]最大的k值
                for (int k=i+1;k<=j-1;k++) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][k] + dp[k][j] + point[i]*point[k]*point[j],dp[i][j]);
                }
            }
        }
        //戳破0~numLength+1之间的气球,就是nums数组中全部气球
        return dp[0][numLength+1];
    }
}
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