数字图像处理---第四章频率域图像处理知识点整理

4 频域滤波

内容重点：

1、傅里叶变换和频率域的介绍

• 一维和二维傅里叶变换、幅值、相角、功率
• 空间域和频率域之间的联系：卷积定理、频率域采样间隔和空间域采样间隔存在反比关系。
• 实际操作：零频点移到频谱的中间、2^n点以便 fft
• 高斯低频与图像灰度的对应关系
• 频域滤波的基本步骤

2、平滑的频率域滤波器，去除高频成分

• 理想滤波器（非常尖锐；有振铃；电路无法实现）

• 巴特沃斯滤波器（1阶无振铃；2阶及更高阶有振铃；‘阶数’越高，越接近理想滤波器，是两种‘极端’滤波器的过渡）

• 高斯滤波器（非常平坦；无振铃；常用类型；高斯函数可以组成其他滤波器）

3、 频域锐化滤波器，衰减低频，突出图像细节或者增强被模糊了的细节

• LPF的精确反操作，即HPF = 1 - LPF
• 理想的，巴特沃斯型和高斯型三种高通滤波器，巴特沃斯滤波器为理想滤波器的锐化和高斯型滤波器的完全光滑之间的一种过渡。
• 锐化模板，高频提升滤波和高频加强滤波。

4、同态滤波器

• 目的，理论基础

5、图像复原技术

• 与图像增强的异同
• 带阻、带通、陷波滤波器削减周期噪声

内容难点：

1. 从空域概念，转向频域，自身就是很大的难点，需要回顾傅里叶变换的相关知识。
2. 空域频域的基本联系，采样间隔的联系。
3. 三类平滑的频率域滤波器的区别
4. 同态滤波器的目的和原理
5. 图像复原技术与图像增强技术的异同

4.1 背景知识

任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦或余弦的个（傅里叶级数）的形式，每个正弦或余弦乘以各自不同的系数。无论函数有多么复杂，只要它是周期的，并且满足某些数学条件，都可以用这样的和来表示。

非周期的函数也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示，在这种情况下的公式就是傅里叶变换，它的应用在大多数实际应用中比傅里叶级数更广泛。

用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通过傅里叶反过程重建，不丢失任何东西。这是这些表示法的最重要特征之一，因为它可以使我们工作与‘频率域’，而且在转换会函数的原始域时不丢失任何信息。

4.3 傅里叶变换理解

参考文章：点击下面连接：
通俗易懂解释傅里叶变换

4.4 一维傅里叶变换及其反变换

在这里插入图片描述

二维：

F(u)和f（x）都是离散的，而且具有相同数量的分量。

与连续函数不同，离散傅里叶变换DFT和它的反变换总是存在的。

2.利用欧拉公式改写：

傅里叶变换的每一项由f(x)函数所有值的和组成，f（x）的值则与各种频率u的正弦值和余弦值相乘。u的取值范围覆盖的域，称为频域。

4.3.4 图像中的混淆/混叠

1、采样定律

2、亚采样

3、莫尔条纹

细密结构导致出现不存在 的莫尔条纹。

采样周期与图像周期接近，产生差拍模式

市面上出现了越来越多取消了低通滤镜的可换镜头数码相机，相比搭载低通滤镜的机型，其优缺点何在？

优点：成像锐度可以明显增强，细节表现力更好。

缺点：容易产生不规则的莫尔条纹。

4.5 二维DFT及其变换

1.二维DFT及其反变换定义

1.二维离散傅里叶变换

逆变换：

F（0,0）有时称为频率谱的直流成分。

2、零频点移动到频谱的中间

如果f（x,y）是实函数，它的傅里叶变换必然为对称的，即：

共轭对称和中心对称的性质简化了频率域内循环对滤波器的技术条件。

注意：原始数据需要足够多（最好2^n）再通过fft变换，如果不扩展数据，可能结果差异太大。

4.6 频率域滤波基础

4.6.1 -频率域的基本性质

• 变换最慢的频率成分（u=v=0）对应一幅图像的平均灰度级
• 当从变换的原点移开时，低频对应着图像的慢变换分量
• 进一步移开原点时，较高的频率对应的图像中变化越来越快的灰度级，即边缘、噪声等灰度级突变的图像成分。

4.6.2 频率域滤波基础

实际考虑：

1. 当输入图像和滤波器函数都为实函数时，反傅里叶变换的虚部即为0、但由于计算的舍入误差，反DFT一般有寄生的虚部成分，这些成分可以忽略。
2. 包括将输入图像向最接近的偶数维数转换（要求有适合的变换中心）、灰度级标定、输入向浮点的转换、输出向8比特整数格式的转换等。
3. 如果得到为负数，就加上最小负数的绝对值，保证最小灰度级在0~255范围。

4.6.6 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系

• 低频主要决定图像在平滑区域中总体灰度级的显示
• 高频决定图像细节部分，如边缘和噪声。

低通滤波器：是图像 比原始图像少一些尖锐的细节部分，因为高频部分已被衰减

高通滤波器：是图像在平滑区域中将减少一些灰度级的变化并突出过度（如边缘）灰度级的细节部分，这样的图像将更为锐化。

空间域和频率域之间最基本的联系是由卷积定理建立的

1、卷积定义：

注意：

1. h关于原点翻转
2. 通过改变（x,y）的值相对于一个函数移动另外一个函数
3. 对每一个（x,y）的位移值，计算所有m和n值乘积的和（x,y）位移是以整数增加的，当函数不再重叠时停止。
4. 对每个像素进行指定数量的计算的过程就是卷积过程。

2、卷积定理

4.8 平滑的频率域滤波器

边缘和其他锐化（如噪声）处于傅里叶变换的高频部分--------》平滑（模糊）可以通过衰减傅里叶变换中的高频成分实现三种滤波器：

• 理想滤波器：非常尖锐
• 巴特沃斯滤波器：滤波器的“阶数”较高时，接近理想滤波器、是两种‘极端’滤波器的过渡
• 高斯滤波器：非常平坦

“理想低通滤波器：”

• 在半径为D0的园内，所有频率没有衰减地通过滤波器。
• 在半径为D0的圆之外，所有频率完全被衰减。
• 理想低通滤波器不能用电子部件实现，但可以在计算机上实现。
• ILPF不实用，有振铃现象（解释：振铃现象表现在图像上，级物体边缘出现的水波纹一样的虚假的轮廓）。
  
  

BLPF特点：

• 一阶BLPF没有振铃，二阶振铃很微小，随阶数增高，随阶数增高振铃现象越严重。
• 二阶BLPF是在有效的低通滤波器和可接受的振铃特性之间的折中。

GLPF特点：

• 高斯低通滤波器的傅里叶反变换也是高斯的，高斯滤波器没有振铃现象。
• 常用滤波器

4.8.4 低通滤波的其它例子

1、字符识别（OCR）应用

机器识别的预处理pre-processing：很多字符断裂、处理方法是通过模糊输入图像桥接这些裂缝。

2、印刷和出版业—磨皮

对于人脸，主要目的是减少皮肤细纹的锐化程度和小斑点。有效地减少了眼睛周围的细纹，平滑之后的图像看上去十分柔和、美观。

3、GLPF处理卫星照片

水平传感器扫描先明显，LPF是减少这些线的粗略但简单的方法，能尽可能模糊更多的细节，而保留大的可识别特征。

4.9 频率域锐化滤波器

突出图像细节或增强被模糊 了 的细节。

空域：积分 <---->模糊；微分 <---->锐化。

频域：衰减高频成分可以使用图像模糊；通过高频成分可以使图像锐化。

本节中，考虑的是理想的巴特沃斯型和高斯三种高通滤波器。巴特沃斯滤波器为理想滤波器的锐化和高斯滤波器的完全光滑之间的一种过渡。

“理想高通滤波器：

在半径为D0的圆之外，所以频率没有衰减地通过滤波器，而在此半径的圆之内的所有频率完全被衰减掉。

• 理想通过滤波器不能用电子器件实现，在存在计算机上。
• 有振铃现象。
• 物体的边界被加粗。

• 一阶BHPF没有振铃，二阶中振铃很微小，随阶数增高振铃逐渐严重。
• BHPF比LHPF更平滑，二阶BHPF的边缘失真比相同D0的IHPF小得多。

高斯滤波器是重要的滤波器：

• 高斯低通滤波器的傅里叶反变换也是高斯的
• 高斯滤波器没有振铃现象
• 自然发生的噪声，符合高斯分布
• 多个不相关的高斯噪声，可以用一个高斯噪声表示。

4.9.4 频域的拉普拉斯算子

提问：空域的拉氏算子模板形式

4.9.5 钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波

4.4.1~4.4.3节滤波后的图像有一个共同特点：背景的平均强度减小到接近黑色。

why？

这归结在这些图像上所用的高通滤波器除去了傅里叶变换的零频率成分。

解决这个问题的办法是把一定比例的原始图像加到滤波后的结果中去，这种处理叫做高频提升滤波，它是钝化模板的推广。

4.9.6 同态滤波器

4.10 选择性滤波

4.11 实现

1、滤波器设计

1. 高斯滤波器是重要的滤波器

   a高斯滤波器没有振铃现象

你若盛开，蝴蝶自来，态度决定一切。

上一篇： 数字图像处理-----第三章 灰度变换与空间滤波知识点整理

下一篇： 数字图像处理第五章–图像复原与重建知识点整理