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C++学习笔记——Eigen模块（用于矩阵运算）_c++ eigen
作者：凡人多烦事01 | 2024-02-13 01:18:06
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c++ eigen
C++学习笔记——Eigen模块（用于矩阵运算）
Eigen模块（用于矩阵运算）
个人理解应该类似python的numpy模块，提供了大量用于矩阵运算的库函数。
Eigen是使用纯粹头文件搭建的开源库，据一些资料说比OpenCV中的Mat更加高效。
参考书籍：《视觉SLAM十四讲-从理论到实践》——高翔
1. 运行环境
运行时需要在CMakeLists.txt中加入：
# 推荐方式
find_package(Eigen3 REQUIRED)
# 不推荐方式
# include_directories("/usr/include/eigen3")
# 两种一起使用会导致编译时出现重复定义报错
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然后在cpp中加入代码：
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
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未编译时，VS会对include部分报错，在编译过一次之后，它不会再报错。
重新启动后需要再重复一次编译操作取消报错。
2. 基本矩阵操作
注：Eigen的赋值只能在函数内部进行，全局只能申明变量，对其赋值会导致出错！！！
// 根据索引访问矩阵中的元素
auto element = eigen_matrix(i, j);
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#include <iostream> using namespace std; #include <Eigen/Core> // 稠密矩阵的运算库 #include <Eigen/Dense> using namespace Eigen; int main(int argc, char **argv) { // 基本矩阵创建方式，定义数据类型，行数，列数 Matrix<float, 5, 3> matrix_53; // 定义一个大小不确定的动态矩阵 Matrix<int, Dynamic, Dynamic> matrix_dynamic; // 3代表3x3矩阵， f代表float类型矩阵， 等价于Matrix<float, 3, 3> // 3d则代表double类型的矩阵 Matrix3f matrix_33; // 创建向量，等价于3x1的矩阵，数据类型为double Vector2d v_2d; // 为矩阵进行随机初始化 matrix_33 = Matrix3f::Random(); // 为矩阵进行置零初始化 Matrix3f identity_matrix_33 = Matrix3f::Identity(); // 用单位矩阵进行初始化 Matrix3f zero_matrix_33 = Matrix3f::Zero(); // 在屏幕上打印矩阵 cout << "matrix_33随机赋值：" << endl << matrix_33 <<endl; cout << "matrix_33单位矩阵赋值：" << endl << identity_matrix_33 <<endl; cout << "matrix_33置零赋值：" << endl << zero_matrix_33 <<endl; // 为矩阵赋值，按照每一行的顺序用逗号分割，中间不能出现分号 Matrix<float, 4, 2> matrix_42; matrix_42 << 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; cout << "matrix_42赋值后为：" << matrix_42 << endl; // 遍历一个矩阵，依次取值 cout << "遍历矩阵：" << endl; for (int i=0; i<4; i++){ for (int j=0; j<2; j++){ cout << matrix_42(i, j) << endl; } } // 显式转换矩阵的数据类型 // Eigen不支持自动类型转换，必须显式转换矩阵到相同数据类型后才能进行计算 // 与python不同，C++无法将已经定义了数据类型的变量修改为接收不同类型的数据 // 只能定义一个新的变量并为它分配内存空间来接收新的数据 Matrix<int, 3, 3> new_matrix_33 = matrix_33.cast<int>(); cout << "显式类型转换后的矩阵为：" << new_matrix_33 << endl; return 0; }
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matrix_33随机赋值： 0.680375 0.59688 -0.329554 -0.211234 0.823295 0.536459 0.566198 -0.604897 -0.444451 matrix_33单位矩阵赋值： 1 0 0 0 1 0 0 0 1 matrix_33置零赋值： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 matrix_42赋值后为：1 2 3 4 5 6 7 8 遍历矩阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 显式类型转换后的矩阵为：0 0 0 0 0 0 0 0 0
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3. 矩阵的特殊计算
#include <iostream> using namespace std; #include <Eigen/Core> // 稠密矩阵的运算库 #include <Eigen/Dense> using namespace Eigen; int main(int argc, char **argv) { // 为矩阵赋随机值 Matrix<float, 3, 3> matrix_33; matrix_33 << Matrix<float, 3, 3>::Random(); cout << "原始矩阵：" << endl << matrix_33 << endl; // 创建一个新的矩阵并且接收原先矩阵的转置 Matrix<float, 3, 3> matrix_transpose = matrix_33.transpose(); cout << "转置矩阵：" << endl << matrix_transpose << endl; // 创建一个新的矩阵并且接收原先矩阵的共轭 Matrix<float, 3, 3> matrix_conjugate = matrix_33.conjugate(); cout << "共轭矩阵：" << endl << matrix_conjugate << endl; // 创建一个新的矩阵并且接收原先矩阵的共轭转置（伴随矩阵） Matrix<float, 3, 3> matrix_adjoint = matrix_33.adjoint(); cout << "共轭转置矩阵（伴随矩阵）：" << endl << matrix_adjoint << endl; // 矩阵求和，所有元素的和 cout << "矩阵求和：" << endl << matrix_33.sum() << endl; // 矩阵求迹，对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和 cout << "矩阵求迹：" << endl << matrix_33.trace() << endl; // 矩阵乘数，所有元素都乘同一个数 cout << "矩阵乘数：" << endl << matrix_33 * 10 << endl; // 矩阵求逆，即求逆矩阵 cout << "矩阵求逆：" << endl << matrix_33.inverse() << endl; // 矩阵求行列式 cout << "矩阵求行列式：" << endl << matrix_33.determinant() << endl; // 特征值与特征向量 EigenSolver<Matrix3f> es(matrix_33); // 矩阵求特征值和特征向量 // 原始输出是复数 // 特征值 auto eigenvalues = es.eigenvalues(); // 特征向量 auto eigenvectors = es.eigenvectors(); // 将复数矩阵去除虚部，只留下实数部分输出 cout << "特征值：" << endl << eigenvalues.real() << endl; cout << "特征向量：" << endl << eigenvectors.real() << endl; return 0; }
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原始矩阵： 0.680375 0.59688 -0.329554 -0.211234 0.823295 0.536459 0.566198 -0.604897 -0.444451 转置矩阵： 0.680375 -0.211234 0.566198 0.59688 0.823295 -0.604897 -0.329554 0.536459 -0.444451 共轭矩阵： 0.680375 0.59688 -0.329554 -0.211234 0.823295 0.536459 0.566198 -0.604897 -0.444451 共轭转置矩阵（伴随矩阵）： 0.680375 -0.211234 0.566198 0.59688 0.823295 -0.604897 -0.329554 0.536459 -0.444451 矩阵求和： 1.61307 矩阵求迹： 1.05922 矩阵乘数： 6.80375 5.9688 -3.29555 -2.11234 8.23295 5.36459 5.66198 -6.04897 -4.44451 矩阵求逆： -0.198521 2.22739 2.8357 1.00605 -0.555134 -1.41603 -1.62213 3.59308 3.28973 矩阵求行列式： 0.208598 特征值： 0.166468 0.166468 0.726282 特征向量： 0.591262 0.591262 0.916358 -0.355044 -0.355044 0.245215 0.551331 0.551331 0.316477
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4. 求解矩阵方程
4.1 求解matrix_NN * x = v_Nd
参考书籍：《视觉SLAM十四讲-从理论到实践》——高翔
#include <iostream> using namespace std; #include <Eigen/Core> // 稠密矩阵的运算库 #include <Eigen/Dense> using namespace Eigen; #define MATRIX_SIZE 5 int main(int argc, char **argv) { // 求解矩阵方程 matrix_NN * x = v_Nd // 生成方程 Matrix<double, MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE> matrix_NN = MatrixXd::Random(MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE); // 保证半正定 matrix_NN = matrix_NN * matrix_NN.transpose(); Matrix<double, MATRIX_SIZE, 1> v_Nd = MatrixXd::Random(MATRIX_SIZE, 1); clock_t time_stt = clock(); // 直接求逆 Matrix<double, MATRIX_SIZE, 1> x = matrix_NN.inverse() * v_Nd; cout << x << endl << endl; // QR分解 time_stt = clock(); x = matrix_NN.colPivHouseholderQr().solve(v_Nd); cout << x << endl << endl; // cholesky分解，适用于正定矩阵 time_stt = clock(); x = matrix_NN.ldlt().solve(v_Nd); cout << x << endl << endl; return 0; }
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4.31165 -10.5316 -5.96907 -3.91549 1.58948 4.31165 -10.5316 -5.96907 -3.91549 1.58948 4.31165 -10.5316 -5.96907 -3.91549 1.58948
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可以看出三种解法的答案是一样的，理论上越后面的计算越快。
4.2 求解Ax = 0
使用于：八点法
// SVD分解
// A=USV^T
JacobiSVD<Eigen::MatrixXf> svd(matrix_a_eigen, ComputeThinU | ComputeThinV);
auto V = svd.matrixV();
auto U = svd.matrixU();
// 计算S中所有的奇异值
auto A = svd.singularValues();
cout << "V" << V << endl << endl;
cout << "A" << A << endl << endl;
// 使用V矩阵的最后一列，即最小奇异值对应的奇异向量作为x的通解
Eigen::Matrix<float, 9, 1> x = V.col(7);
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4.3 求解Hx = b
使用于：PnP问题
// 解Hx=b
Vector6d dx;
x = H.ldlt().solve(b);
// 如果解Hx=b失败
if (isnan(x[0]))
{
cout << "result is nan!" << endl;
break;
}
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5. 混淆解决方案eval()
警告！不能使用a=a.transpose();这样的写法！在原本的内存地址上直接操作会导致读写冲突！可以用a=a.transpose().eval();来解决这个问题。
eval()能够用临时变量来解决左右变量内存地址相同时产生的混淆问题。
6. 几何模块【Eigen/Geometry】
6.1 旋转
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; #include <Eigen/Core> // 导入Eigen几何模块 #include <Eigen/Geometry> using namespace Eigen; int main(int argc, char **argv) { // 三维空间中的3D旋转矩阵是一个3x3的矩阵，double或者float数据类型都可以 Matrix3d rotation_matrix = Matrix3d::Identity(); cout << "旋转矩阵：" << endl << rotation_matrix << endl; // 旋转向量并不是用Matrix实现的，但是在实际使用中可以直接与矩阵计算 // 旋转轴为(0, 0, 1)【Z轴】, 旋转度数为45度【弧度值，π相当于180度】 AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1)); // 旋转向量无法直接用cout输出，会导致编译错误 // cout << "旋转向量：" << endl << rotation_vector << endl; // 将旋转向量转换为旋转矩阵的两种方法 cout << "旋转向量转换为矩阵方法1：" << endl << rotation_vector.matrix() << endl; cout << "旋转向量转换为矩阵方法2：" << endl << rotation_vector.toRotationMatrix() << endl; // 设置初始坐标 Vector3d vec(1, 0, 0); cout << "初始坐标为：" << vec.transpose() << endl; // 使用旋转向量进行坐标变换 cout << "使用旋转向量进行坐标变换：" << (rotation_vector * vec).transpose() << endl; // 使用旋转矩阵进行坐标变换 cout << "使用旋转矩阵进行坐标变换：" << (rotation_vector.toRotationMatrix() * vec).transpose() << endl; // 将旋转矩阵转换为欧拉角【ZYX顺序，也就是滚转角roll，俯仰角pitch， 偏航角yaw顺序】 // 欧拉角的具体意义为： // 1. 绕物体的Z轴以偏航角zaw旋转。 // 2. 绕“旋转之后”的Y轴以俯仰角pitch旋转。 // 3. 绕“旋转之后”的X轴以滚转角roll旋转。 // 从而得到旋转向量[r, p, y]来描述一次转动 // 0, 1, 2分别对应X, Y, Z轴 Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles(2, 1, 0); cout << "旋转矩阵转换为欧拉角：" << euler_angles.transpose() << endl; return 0; }
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旋转矩阵： 1 0 0 0 1 0 0 0 1 旋转向量转换为矩阵1： 0.707107 -0.707107 0 0.707107 0.707107 0 0 0 1 旋转向量转换为矩阵2： 0.707107 -0.707107 0 0.707107 0.707107 0 0 0 1 初始坐标为：1 0 0 使用旋转向量进行坐标变换：0.707107 0.707107 0 使用旋转矩阵进行坐标变换：0.707107 0.707107 0 旋转矩阵转换为欧拉角： 0 -0 0
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6.2 欧氏变换矩阵（旋转+平移）
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; #include <Eigen/Core> // 导入Eigen几何模块 #include <Eigen/Geometry> using namespace Eigen; int main(int argc, char **argv) { // 三维的欧氏变换矩阵写法是3d，但其实是4x4的矩阵 // 首先用单位矩阵初始化 Isometry3d euclidean_transformation_matrix = Isometry3d::Identity(); // 首先加入旋转 AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1)); euclidean_transformation_matrix.rotate(rotation_vector); // 然后加入平移向量 Vector3d translate_vector(1, 3, 4); euclidean_transformation_matrix.pretranslate(translate_vector); // 同时包含旋转与平移信息的欧氏变换矩阵 // 欧氏变换矩阵也不能直接用cout显示，需要用matrix()转换格式 cout << "欧氏变换矩阵：" << endl << euclidean_transformation_matrix.matrix() << endl; // 用变换矩阵对坐标进行变换 // 初始坐标 Vector3d vec(1, 0, 0); // 变换，相当于【旋转矩阵*坐标+平移向量】 cout << "欧氏变换矩阵变换的坐标为：" << endl << (euclidean_transformation_matrix * vec).transpose() << endl; // 分解T得到旋转和平移 // 从(0,0)开始的3x3的块 R = T.block<3,3>(0,0); // 从(0,3)开始的3x1的块 t = T.block<3,1>(0,3); return 0; }
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欧氏变换矩阵：
0.707107 -0.707107 0 1
0.707107 0.707107 0 3
0 0 1 4
0 0 0 1
欧氏变换矩阵变换的坐标为：
1.70711 3.70711 4
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6.3 仿射变换与射影变换
仿射变换Eigen::Affine3d
射影变换Eigen::Projective3d
具体细节以后研究了再补充。
6.4 四元数（紧凑且没有奇异性的旋转）
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; #include <Eigen/Core> // 导入Eigen几何模块 #include <Eigen/Geometry> using namespace Eigen; int main(int argc, char **argv) { // 四元数(x, y, z, w)，其中w是实部 // 由1个实部和3个虚部构成的向量，用于描述三维空间中的旋转 // 比旋转矩阵更加紧凑无冗余，并且没有旋转向量那样的奇异性 // 将旋转向量赋值给四元数 AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Vector3d(0, 0, 1)); Quaterniond q1 = Quaterniond(rotation_vector); // 显示四元数的方法 // 输出所有系数：x, y, z, w cout << "旋转向量得到的四元数：" << q1.coeffs().transpose() << endl; // 输出虚部：x, y, z cout << "旋转向量得到的四元数虚部：" << q1.vec().transpose() << endl; // 单独访问不同的参数 cout << "单独访问参数：w " << q1.w() << " x " << q1.x() << " y " << q1.y() << " z " << q1.z() << endl; // 对四元数进行单位化 // 只有单位化的四元数才能表示旋转矩阵 Quaterniond q_norm = q1.normalized(); cout << "单位化的四元数：" << q_norm.coeffs().transpose() << endl; // 将旋转矩阵赋值给四元数 Matrix3d rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix(); Quaterniond q2 = Quaterniond(rotation_matrix); cout << "旋转矩阵得到的四元数：" << q2.coeffs().transpose() << endl; // 使用四元数旋转同样可以直接乘法，基于重载的复杂运算省略了步骤 // 初始坐标 Vector3d vec(1, 0, 0); // 使用四元数选择 Vector3d new_vec = q1 * vec; cout << "四元数旋转得到的坐标：" << new_vec.transpose() << endl; // 不使用重载封装的方法而是用运算原理旋转 cout << "四元数运算原理得到的坐标：" << (q1 * Quaterniond(0, vec(0), vec(1), vec(2)) * q1.inverse()).vec().transpose() << endl; return 0; }
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旋转向量得到的四元数： 0 0 0.382683 0.92388
旋转向量得到的四元数虚部： 0 0 0.382683
单独访问参数：w 0.92388 x 0 y 0 z 0.382683
单位化的四元数： 0 0 0.382683 0.92388
旋转矩阵得到的四元数： 0 0 0.382683 0.92388
四元数旋转得到的坐标：0.707107 0.707107 0
四元数运算原理得到的坐标：0.707107 0.707107 0
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6.5 旋转矩阵R与平移矩阵t合并为变幻矩阵T
Eigen::Matrix4d Twi = Eigen::Matrix4d::Identity();
Twi.topLeftCorner<3, 3>() = Rwi;
Twi.topRightCorner<3, 1>() = twi;
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