MATLAB2016笔记（八）：符号数学计算（MATLAB-Maple组件）_matlab符号运算工具箱

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一、MATLAB符号计算概述

数值计算的表达式、矩阵变量中不允许有未定义的自由变量 , 而符号计算可以含有未定义的符号变量

$MATLAB$符号计算是通过集成在$MATLAB$中的符号数学工具箱来实现的，该工具箱基于字符串来进行符号分析与运算
$MATLAB$的符号数学工具箱可以完成几乎所有的符号计算功能，包括：符号表达式的计算，符号表达式的复合、化简，符号矩阵的计算，符号微积分，符号函数画图，符号代数方程求解，符号微分方程求解等。此外，工具箱还支持可变精度运算，即可以指定的精度返回结果

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二、符号对象和符号表达式

符号数学工具箱中定义了一种新的数据类型，叫sym类，sym类的实例就是符号对象，符号对象是一种数据结构，用来存储代表符号的字符串的复杂数据结构
符号表达式时符号变量或常量的组合，在某些特定情况下，符号变量和符号常量也可以被认为是符号表达式，符号表达式的创建依然可以使用函数sym

（一）符号对象的创建 sym/syms

符号对象：符号常量、符号变量、符号函数及符号表达式
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1.函数命令sym()

sym的调用格式如下：
variable=sym(A,flag)  A为数字、数值矩阵或数值表达式，输出结果是将数值对象转换成的符号对象
S=sym('A',flag) 	  A为字符串，输出结果是将字符串转换成的符号对象

flag为转换的符号对象应该符合的格式
若A为数值对象，flag有如下选择
	d：最接近的十进制浮点精确表示
	e：带（数值计算时）估计误差的有理表示
	f：十六进制浮点表示
	r：为默认设置，最接近有理表示的形式

若A为字符串，flag有如下选择
	positive：限定A为正的实型符号变量
	real：	  限定A为实型符号变量
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2.函数命令syms()

syms调用格式如下
syms a b c flag
syms命令可以建立三个或多个符号对象，如a、b、c，符号变量之间以空格隔开，不可使用逗号

flag为对格式的限定，具体选项与sym一致
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上图的警告可以根据函数名，在对应位置注释掉即可，之后就不会警告了

（二）符号计算中的运算符和函数

1.算术运算符号

（1）运算符号“+”、“-”、“*”、“\”、“/”、“^”分别实现矩阵的加法、减法、乘法、左除、右除和求幂

（2）运算符号“ .*”、“.\”、“./”、“.^”分别实现“元素对元素”的数组乘法、左除、右除和求幂运算

（3）运算符号“ ’ ”、“ .’ ”分别实现矩阵的共轭转置与非共轭转置

conj(X)：计算复数X的共轭值
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2.关系运算符号
符号计算中的关系运算符只有两种
（1）“==”，表示对运算符两边的符号对象进行“相等”的比较，返回值为“1”表示相等，为“0”表示不相等
（2）“~=”，表示对运算符两边的符号对象进行“不相等”的比较，返回值为“1”表示不相等，为“0”表示相等

3.指数、对数运算符号
（1）sqrt、exp、expm（处理矩阵）等指数函数在符号计算中的使用方法与数值计算中的使用方法一致
（2）log2函数与log10函数用法与数值计算中的用法一致

4.三角函数、双曲函数及其反函数
除atan2仅能用于数值计算外，其余的三角函数、双曲函数及它们的反函数，均可用于符号计算，且与数值计算中的用法一致

5.复数函数
复数函数包含复数的共轭（conj）、实部（real）、虚部（imag）和模（abs）函数，用法与数值计算一致

6.矩阵代数函数
除svd函数的使用方法有所不同外，其余函数的用法与数值计算一致

（三）符号对象的类别识别函数 isa / class / whos

$MATLAB$提供了一些用于识别不同数据对象的函数

（四）符号表达式中确定有哪些符号变量 findsym/symvar

函数findsym可以帮助查找一个符号表达式中的符号变量，该函数调用格式如下：
findsym(S) S为符号表达式，将返回S中所有的符号变量
findsym(S,N) 当指定N后，返回S中距离符号变量x或X最接近的N个符号变量

但后续版本更新为symvar
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在未标明变量的情况下，一般都是以symvar(f,1)来确定默认变量

（五）符号精度计算 vpa / double / digits

符号计算的一个显著特点是由于计算过程中不会出现舍入误差，从而可以得到任意精度的数值解，可以通过牺牲计算时间和存储空间获得足够高精度的解

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三、符号表达式操作

（一）符号表达式显示 pretty

显示函数pretty允许用户将符号表达式显示为符合一般数学表达习惯的数学表达式

（二）符号表达式合并 collect

函数collect可以将符号表达式中的同类项合并，具体调用格式如下

	R=collect(S) 
	R-collect(S,v) 将表达式S中v的相同次幂的项进行合并，若v没有指定，默认将含有x的相同次幂的项进行合并
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（三）符号表达式展开 expand

函数expand可以将符号表达式展开，具体调用格式如下

R=expand(S) 将表达式S中的各项进行展开，如果S包含函数，则利用恒等变形将它写成相应的和的形式
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（四）符号表达式嵌套 horner

函数horner可以将符号表达式转换为嵌套形式，具体调用格式如下

R=horner(S) S是符号多项式矩阵，函数horner将其中的每个多项式转为它们的嵌套形式
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（五）符号表达式分解 factor

函数factor可以将符号表达式进行因式分解，具体调用格式如下

factor(X) 若X是一个多项式或多项式矩阵，系数是有理数，该函数可以把X表示成系数为有理数的低阶多项式相乘的形式；若不能分解，则返回本身
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（六）符号表达式化简 simplify / simple

按照一定的规则对符号表达式进行简化
1.simplify函数

R=simplify(S) S可以为符号表达式矩阵，利用Maple化简规则对表达式进行简化
		功能强大，应用于包含和式、方根、分数的乘方、指数函数、对数函数、三角函数、Bessel函数及超越函数等的表达式
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2.simple函数（2015版以后就不存在）

R=simple(S) 若S为符号表达式矩阵，则返回整个矩阵变成最短的形式，而不一定使每一项都最短；
			若不给定输出参数R，该函数将显示所有使表达式S变短的简化形式，若给定，则返回其中最短的一个
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（七）符号表达式替换 subs / subexpr

变量代换法：在处理一些结构较为复杂、变量较多的数学模型时，引入一些新的变量进行代换，以简化其结构，从而达到解决问题的目的
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$MATLAB$中提供了$subs$函数和$subexpr$函数进行变量代换

1.subs函数

	subs可以用指定符号替代符号表达式中的某一特定符号，其调用格式如下：
	R=subs(S,Old,New) 用新符号变量New替代原来符号表达式S中的变量Old ，当New为数值形式的符号时，该值会直接参与计算
	R=subs(S,New) 用New代替S中的默认变量，由symvar/findsym确定默认变量
	R=subs(S) 用工作区的变量值代替S中的所有符号变量，若没有指定某符号变量的值，则返回值中该值不被替代
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2.subexpr函数

subexpr函数将表达式中重复出现的字符串用变量代替，调用格式如下：
[Y,SIGMA]=subexpr(S,SIGMA)  指定用变量SIGMA的值（必须为符号变量）来代替符号表达式（可以为矩阵）中重复出现的字符串，替换结果由Y返回，被替换的字符串由SIGMA返回
[Y,SIGMA]=subexpr(S,'SIGMA') SIGMA为字符或字符串，用于替换符号表达式中重复出现的字符串，其余相同
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四、符号函数的操作

（一）复合函数操作 compose

函数compose可以得到符号表达式的复合函数，具体调用格式如下

compose(f,g) 返回复合函数f(g(y))，f=f(x)，g=g(y)，x为findsym定义的f函数的符号变量，y亦同此理
compose(f,g,x,z) 返回自变量为z的复合函数f(g(z))，并且x成为了f函数的独立变量
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（二）反函数操作 finverse

函数finverse可以对符号表达式进行反函数运算，具体调用格式如下

g=finverse(f) 返回符号函数f的反函数g，其中，f的变量为x，所得反函数是满足g(f(x))=x的符号函数
g=finverse(f,v)  返回自变量为v的符号函数f的反函数，适用于f包含不止一个符号变量的情况
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五、符号微积分

（一）符号表达式的极限 limit

求微分的基本思想是当自变量趋近某个值时，求函数值的变化，“无穷逼近”是微积分的一个基本思想，导数就是由极限给出的：
$$f^{{}^{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

函数limit可以求符号表达式的极限，具体调用格式如下：

limit(F,x,a) 求当x趋近a时，符号表达式F的极限
limit(F,a) 默认自变量（findsym确定）趋近于a时F的极限值
limit(F) a默认为0
limit(F,x,a,'right') 自右趋近a，为右极限
limit(F,x,a,'left') 自左趋近a，为左极限
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（二）符号表达式的微分 diff / jacobian

1.diff函数

diff可以计算一元或多元函数的任意阶数的微分，其调用格式如下：
diff(S,'v') 将符号'v'视作变量，对符号表达式或符号矩阵S求微分
diff(S,n)对S的默认变量（findsym确定）进行n阶微分运算，n必须为正整数
diff(S,'v',n) 视'v'为变量，进行n阶微分运算
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2.jacobian函数

jacobian可以计算自变量多于一个的符号矩阵的微分，其调用格式如下：
R=jacobian(w,v) w是一个符号列向量，v是指定进行变换的变量所组成的行向量
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（三）符号表达式的积分 int

int可以计算符号表达式的积分，其调用格式如下：

R=int(S,v,a,b) 以符号标量v作为标量，求当v从a变到b时，符号表达式S的定积分值，若S是符号矩阵，则对每个元素求积分；a和b可以是符号或数值标量
R=int(S,V) 求不定积分
R=int(S,a,b) 以findsym确定默认变量，对默认变量求从a到b的定积分值
R=int(S) 以findsym确定默认变量，对默认变量求不定积分
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（四）符号表达式的级数求和 symsum

symsum可以对符号表达式进行求和，其调用格式如下：

r=symsum(S,a,b) 求符号表达式S默认变量从a到b时的有限和
r=symsum(S,v,a,b) 求符号表达式S中变量v从a到b时的有限和
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（五）符号表达式的泰勒级数 taylor

taylor可以求符号表达式的泰勒级数展开式，其调用格式如下：

r=taylor(f,n,v,a) f为符号表达式，以符号标量v为自变量，返回f在v=a处作n-1阶泰勒展开的展开式
r=taylor(f,n,v) 返回f的n-1阶麦克劳林级数展开式，即当v=0处作泰勒展开
r=taylor(f) 返回f在默认变量为0处作5阶泰勒展开的展开式
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六、符号积分变换

（一）概述

百度——积分变换
知乎——积分变换

所谓积分变换，就是通过积分运算，把一类函数$A$变换成另一类函数$B$，函数$B$一般是含有参数$\alpha$的积分：${\int }_a^{b}f(t)K(t,\alpha )dt$
这一变换的目的就是把$A$中的函数$f(t)$通过积分运算变成另一类函数$B$中的函数$f(\alpha )$，这里的$K(t,\alpha )$是一个确定的二元函数，叫作积分变换的核
当选取不同的积分区间与变换核时，就成为不同的积分变换，$f(t)$叫作原函数，$f(\alpha )$叫作象函数。在一定条件下，原函数与象函数一一对应，成为一个积分变换对
变换是可逆的，由原函数求象函数叫作正变换，反之则是逆变换

（二）傅里叶变换及其反变换 fourier / ifourier

时域中的$f(t)$与它在频域中的$Fourier$变换$F(\omega )$之间存在如下关系：
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$$
$$F(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\omega )e^{-j\omega t}d\omega$$

由计算机完成这种变换的途径有两条：一是直接调用指令fourier和ifourier，二是根据定义使用积分指令int实现
fourier与ifourier用法如下：
Fw=fourier(ft,t,w)  求时域函数ft的Fourier变换Fw，ft是以t为自变量的时域函数，Fw是以圆频率w为自变量的频域函数
ft=ifourier(Fw,w,t) 求频域函数Fw的Fourier反变换ft，ft是以t为自变量的时域函数，Fw是以圆频率w为自变量的频域函数
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（三）拉普拉斯变换及其反变换 laplace / ilaplace

Laplace变换及其反变换的定义为:
$$F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$
$$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{c-j\infty }^{c+j\infty }F(s)e^{st}ds$$

由计算机完成这种变换的途径有两条：一是直接调用指令laplace和ilaplace，二是根据定义使用积分指令int实现
laplace与ilaplace用法如下：
Fs=laplace(ft,t,s)   求时域函数ft的Laplace变换Fs，ft是以t为自变量的时域函数，Fs是以复频率s为自变量的频域函数
ft=ilaplace(Fs,s,t)  求频域函数Fs的Laplace反变换ft，ft是以t为自变量的时域函数，Fs是以复频率s为自变量的频域函数
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（四）Z变换及其反变换 ztrans / iztrans

一个离散因果序列的$Z$变换及其反变换定义为：
$$F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f(n)z^{-n}$$
F ( n ) = z − 1 { F ( z ) } F(n)=z^{-1}\{F(z)\} F(n)=z−1{F(z)}

涉及Z反变换具体计算的方法最常见的有3种，分别为幂级数展开法、部分分式展开法和围线积分法
iztrans指令使用围线积分法，相应数学表达式为：
$$f(n)=\frac{1}{2\pi j}\int F(z)z^{n-1}dz$$

具体命令格式如下：
FZ=ztrans(fn,n,z) 求时域函数fn的Z变换FZ，fn是以n为自变量的时域序列，FZ是以复频率z为自变量的频域函数
FZ=ztrans(fn,w) 默认fn为变量n的函数，FZ是以w代替z的函数
FZ=ztrans(fn) 默认fn是变量n的函数，FZ是以复频率z为变量的函数
fn=iztrans(FZ,z,n) 求频域函数FZ的Z反变换fn，fn是以n为自变量的时域序列，FZ是以复频率z为自变量的频域函数
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七、符号方程求解

（一）符号代数方程求解 solve

此处所指的代数方程包括线性、非线性和超越方程等，求解指令为solve。

当方程组不存在符号解，若又无其他自由参数时，solve将给出数值解，具体命令如下：
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（二）符号微分方程求解 dsolve

函数dsolve用于求常微分方程的符号解，其调用方式如下：

在方程中，以大写字母D表示一次微分，D2、D3分别表示二次、三次微分，符号D2y表示$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$
函数dsolve把$d$后面的字符当作因变量，并默认所有这些字符对符号$t$进行求导

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八、符号分析可视化

（一）funtool分析界面 （图示化符号函数计算器）

在MATLAB命令行窗口输入funtool命令即可

由两个图形窗口（f和g）和一个函数运算控制窗口（funtool）组成

在任何时候，两个图形窗口只有一个处于激活状态

（二）taylortool分析界面 （泰勒逼近分析）

命令行窗口输入taylortool

参数与之前的$taylor$指令一致

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