回溯算法_hui suo算法

回溯算法

基本思想

◇ 概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

◇ 基本思想

在包含问题的所有解的解空间树（“解空间树”：问题的解空间一般使用解空间树的方式来组织，树的根节点位于第1层，表示搜索的初始状态，依次向下排列）中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度搜索解空间树。当搜索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续搜索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要被搜索一遍才结束。若使用回溯法求任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

◇ 用回溯法解题的一般步骤

⑴ 针对所给问题，确定问题的解空间：首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个最优解
⑵ 确定结点的扩展搜索规则
⑶ 以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数（① 用约束条件剪除得不到的可行解的子树 ② 用目标函数剪取得不到的最优解的子树）避免无效搜索

算法分析

算法框架
⑴ 问题框架
设问题的解释一个n维向量（a1,a2,......,an），约束条件是ai（i=1,2,3,...,n）之间满足某种条件，记为f(ai)。
⑵ 非递归回溯框架，代码如下：

int a[n],i;   //初始化数组a[]
i=1;
whlie(i>0(有路可走) and (未达到目标) )  //还未回溯到头
{
   if(i>n)   //搜索到叶结点
   {
      //搜索到第一个解，输出
   }
   else   //处理第i个元素
   {
      //a[i]第一个可能的值
      whlie(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
      {
         a[i] 下一个可能的值
      }
      if(a[i]在搜索空间内)
      {
         //标识占用的资源
         i=i+1;   //扩展下一个结点
      }
      else
      {
         //清理所占的状态空间
         //回溯
         i=i-1;
      }
   }
}

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⑶ 递归的算法框架
回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

int a[n];
try(int i)
{
   if(i>n)
   {
      //输出结果
   }
   else
   {
      for(j=下界;j<=上界;j++)     //枚举i所有可能的路径
      {
         if(fun(j))   //满足限界函数和约束条件
         {
            a[i]=j;
            ...  //其他操作
            try(i+1);
            //回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）
         }
      }
   }
}
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⑷ 回溯算法解题的一般步骤：
Ⅰ 设置初始化的方案（给变量赋初始值，读入已知数据等）
Ⅱ 变换方式去试探，若全部试完则转Ⅶ
Ⅲ 判断此法是否成功（通过约束函数），不成功则转Ⅱ
Ⅳ 试探成功则前进一步再试探
Ⅴ 正确方案还是未找到则转Ⅱ
Ⅵ 以找到一种方案则记录并打印
Ⅶ 退回一步（回溯），若未退到头则转Ⅱ
Ⅷ 已退到头则结束或打印无解

例题

N皇后问题是指在N*N的棋盘上放置N个皇后，使这N个皇后无法吃掉对方（也就是说两两不在一行，不在一列，也不在对角线上）。经典的是8皇后问题，这里我们为了简单，以4皇后为例。
首先利用回溯算法，先给第一个皇后安排位置，如下图所示，安排在（1,1）然后给第二个皇后安排位置，可知（2,1），（2,2）都会产生冲突，因此可以安排在（2,3），然后安排第三个皇后，在第三行没有合适的位置，因此回溯到第二个皇后，重新安排第二个皇后的位置，安排到（2,4），然后安排第三个皇后到（3,2），安排第四个皇后有冲突，因此要回溯到第三个皇后，可知第三个皇后也就仅此一个位置，无处可改，故继续向上回溯到第二个皇后，也没有位置可更改，因此回溯到第一个皇后，更改第一个皇后的位置，继续上面的做法，直至找到所有皇后的位置，如下图所示：

主要实现代码如下：

public class NQueensII {  
    int[] x;//当前解    
    int N;//皇后个数  
    int sum = 0;//当前已找到的可行方案数  
    public int totalNQueens(int n) 
    {  
        N = n;  
        x = new int[N+1];  
        backTrace(1);  
        return sum;  
    }  
    /** 
     * col行这个点，x[col]列这个点，与已经存在的几个皇后，是否符合要求，放到这个位置上， 
     * @param col 
     * @return 
     */  
    private boolean place(int col){  
        for(int i = 1; i < col; i++){  
            if(Math.abs(col - i)==Math.abs(x[col]-x[i])||x[col]==x[i]){  
                return false;  
            }  
        }  
        return true;  
    }  
    private void backTrace(int t) {  
        if(t>N){  
            sum++;  
        }
        else {  
            //第t行，遍历所有的节点  
            for(int j = 1; j <= N; j++) {  
                 x[t] = j ;  
                 //如果第j个节点可以放下皇后  
                if(place(t)){  
                    //接着放下一个  
                    backTrace(t+1);  
                }  
            }  
        }  
          
    }  
    public static void main(String[] args) {  
        NQueensII n = new NQueensII();  
        System.out.println(n.totalNQueens(8));  
    }  
}  
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