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冯·米塞斯迭代法(Von Mises iteration)_冯·米塞斯迭代法ik

冯·米塞斯迭代法ik

冯·米塞斯迭代法

冯·米塞斯迭代(Von Mises iteration)用于求解矩阵 A A A最大特征值对应的特征向量( A v = λ v Av=\lambda v Av=λv)。冯·米塞斯迭代也被称作,阶乘迭代法(Power iteration)。

计算过程

假设矩阵 A A A具有特征值 λ \lambda λ,严格大于其他特征值,且向量 b 0 b_0 b0与在最大特征值对应的特征向量方向上具有非零分量(即与该特征向量不正交)。根据迭代公式,计算 b k b_k bk
在这里插入图片描述
最终, b k b_k bk将收敛到最大特征值对应的特征向量。

证明过程

可以对矩阵 A A A进行Jordan对角化, A = V J V − 1 A=VJV^{ - 1} A=VJV1。第一个Jordan块对应于 A A A的最大特征值。
由于 v 1 v_1 v1 v n v_n vn线性无关, b 0 b_0 b0可以写为 v 1 v_1 v1 v n v_n vn的线性组合:
在这里插入图片描述
将递推公式展开,有:
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b k b_k bk展开:
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可知 b k b_k bk v 1 v_1 v1同方向,且 b k b_k bk的范数为1,因此 b k b_k bk即为矩阵 A A A最大特征值对应的特征向量。

(资料来源:https://en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration

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