冯·米塞斯迭代法（Von Mises iteration）_冯·米塞斯迭代法ik

作者：喵喵爱编程 | 2024-07-03 11:22:29

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冯·米塞斯迭代法ik

冯·米塞斯迭代法

冯·米塞斯迭代（Von Mises iteration）用于求解矩阵 $A$ 最大特征值对应的特征向量（ $Av=\lambda v$ ）。冯·米塞斯迭代也被称作，阶乘迭代法（Power iteration）。

计算过程

假设矩阵 $A$ 具有特征值 $\lambda$ ，严格大于其他特征值，且向量 $b_0$ 与在最大特征值对应的特征向量方向上具有非零分量（即与该特征向量不正交）。根据迭代公式，计算 $b_k$ ：
在这里插入图片描述
最终， $b_k$ 将收敛到最大特征值对应的特征向量。

证明过程

可以对矩阵 $A$ 进行Jordan对角化， $A=VJV^{ - 1}$ 。第一个Jordan块对应于 $A$ 的最大特征值。
由于 $v_1$ … $v_n$ 线性无关， $b_0$ 可以写为 $v_1$ … $v_n$ 的线性组合：
在这里插入图片描述
将递推公式展开，有：

将 $b_k$ 展开：

可知 $b_k$ 与 $v_1$ 同方向，且 $b_k$ 的范数为1，因此 $b_k$ 即为矩阵 $A$ 最大特征值对应的特征向量。

（资料来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration）

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