高等代数 具有度量的线性空间(第10章)3 正交补,正交投影,正交变换,对称变换

一.正交补与正交投影(10.3)
1.正交补
(1)概念:

注意:$S$本身不一定是线性空间/实内积空间$V$的1个子空间,但$S^{\perp }$一定是线性空间/实内积空间$V$的1个子空间

(2)性质:

定理1:设$U$是实内积空间$V$的1个有限维非零子空间,则$V=U\oplus U^{\perp }$

推论1:若$V$是欧几里得空间,$U$是$V$的1个非平凡子空间,则从定理1得$V=U\oplus U^{\perp }$,于是$U$的1个标准正交基与$U^{\perp }$的1个标准正交基合起来是$V$的1个标准正交基

2.正交投影
(1)概念:

(2)判定:

定理2:设$U$是实内积空间$V$的1个子空间,且$V=U\oplus U^{\perp }$,则对于$\alpha \in V,{\alpha }_1\in U$是$\alpha$在$U$上的正交投影的充要条件是:$$d(\alpha ,{\alpha }_1)\le d(\alpha ,\gamma )(\forall \gamma \in U)(4)$$

3.最佳逼近元
(1)概念:

(2)逼近无限维实内积空间中的向量:

(3)通过最佳逼近元定义无限维子空间上的正交投影:

4.最小二乘解:


二.正交变换(10.4)
1.正交变换的概念:

注:限定$Ꭿ$为满射是为了保证$Ꭿ$在$V$为无限维时也可逆,而$Ꭿ$为单射可被推出,故无需说明

2.正交变换的性质
(1)关于度量的性质:

命题1:若$Ꭿ$是实内积空间$V$上的正交变换,则$Ꭿ$保持向量的长度不变,$Ꭿ$是$V$上的线性变换,$Ꭿ$是单射

性质1:正交变换$Ꭿ$保持2个非零向量的夹角不变

性质2:正交变换$Ꭿ$保持向量的正交性不变,即$\alpha \perp \beta \iff Ꭿ\alpha \perp Ꭿ\beta$

性质3:正交变换$Ꭿ$保持向量间的距离不变

(2)关于判定的性质:

命题2:实内积空间$V$上的1个变换$Ꭿ$是正交变换当且仅当$Ꭿ$是$V$到自身的1个保距同构

推论1:实内积空间$V$上的正交变换$Ꭿ$是可逆变换,并且其逆变换${Ꭿ}^{-1}$也是$V$上的正交变换

命题3:$n$维欧几里得空间$V$上的变换$Ꭿ$如果保持向量的内积不变,则$Ꭿ$是正交变换

命题5:$n$维欧几里得空间$V$上的线性变换$Ꭿ$是正交变换
$\iff Ꭿ$把$V$的标准正交基映成标准正交基
$\iff Ꭿ$在$V$的标准正交基下的矩阵$A$是正交矩阵

(3)关于运算的性质:

命题4:实内积空间$V$上2个正交变换的乘积还是正交变换

(4)其他性质:

命题6:设$Ꭿ$是实内积空间$V$上的1个正交变换,如果$Ꭿ$有特征值,那么$Ꭿ$的特征值必为$\pm 1$

3.反射
(1)超平面:

(2)反射的概念:

(3)反射的性质:

命题7:$n$维欧几里得空间$V$中,关于超平面$⟨\eta {⟩}^{\perp }$的反射是第2类的正交变换

4.正交补的性质:

命题8:设$Ꭿ$是实内积空间$V$上的1个正交变换,$W$是$Ꭿ$的1个有限维不变子空间,则 $W^{\perp }$也是$Ꭿ$的不变子空间

5.正交变换的矩阵的最简形式:

定理3:设$Ꭿ$是$n$维欧几里得空间$V$上的1个正交变换,则$\exists V$的1个标准正交基,使得$Ꭿ$在这个基下的矩阵具有如下形式: d i a g { λ 1 . . . λ r , [ cos ⁡ θ 1 − sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 ] . . . [ cos ⁡ θ m − sin ⁡ θ m sin ⁡ θ m cos ⁡ θ m ] } ( 3 ) diag\{λ_1...λ_r,\left[

$$\begin{matrix}\cosθ_1&-\sinθ_1\\\sinθ_1&\cosθ_1\end{matrix}$$ \right]...\left[ $$\begin{matrix}\cosθ_m&-\sinθ_m\\\sinθ_m&\cosθ_m\end{matrix}$$ \right]\}\qquad(3) diag{λ1​...λr​,[cosθ1​sinθ1​​−sinθ1​cosθ1​​]...[cosθm​sinθm​​−sinθm​cosθm​​]}(3)
其中${\lambda }_i=\pm 1(i=1,2...r),0\le r\le n,0<{\theta }_j<\pi (j=1,2...m),0\le m\le \frac{n}{2}$


推论1:$n$级正交矩阵一定正交相似于形如$(3)$式的分块对角矩阵

三.对称变换(10.4)
1.概念:

2.性质:

命题9:实内积空间$V$上的对称变换一定是线性变换

命题10:设$Ꭿ$是实内积空间$V$上的1个对称变换,如果$W$是$Ꭿ$的不变子空间,那么$W^{\perp }$也是$Ꭿ$的不变子空间

3.判定:

命题11:$n$维欧几里得空间$V$上的线性变换$Ꭿ$是对称变换当且仅当$Ꭿ$在$V$的任意1个标准正交基下的矩阵是对称矩阵

4.对称变换的矩阵的最简形式:

定理4:设$Ꭿ$是$n$维欧几里得空间$V$上的1个对称变换,则$V$中存在1个标准正交基,使得$Ꭿ$在这个基下的矩阵$A$为对角矩阵