动态规划的基本概念和基本方程_动态规划方程

基本概念

• 阶段：将所有问题的过程， 按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解。常用字母k表示。
• 状态：各阶段开始时的客观条件，状态用变量 $S_k$ 表示。如 S 2 = { A , B } S_2=\{ A,B \} S2​={A,B}
• 无后效性：当某阶段状态给定后，在这阶段以后过程的发展不受以前各段状态的影响，就是说，当前的状态是过去历史的一个完整的终结
  • 过程的过去历史只能通过当前状态去影响它未来的发展
  • 如果所选定的变量不具备无后效性，就不能作为状态变量来构造动态规划模型
    

• 决策：确定下一阶段的状态
• 表示决策的变量称为决策变量
• $U_k(S_k)$ 表示第k阶段的状态为 $S_k$ 时的决策变量，它是状态变量的函数
• 决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为 允许决策集合 常用 $D_k(S_k)$ 表示
• 显然$U_k(S_k)\in D_k(S_k)$

• 策略：各段决策确定后，整个问题的决策序列就构成一个决策序列 P 1 , n ( S 1 ) = { u 1 ( s 1 ) , u 2 ( s 2 ) . . . , u n ( s n ) } P_1,n(S_1) =\{u1(s1),u_2(s_2)...,u_n(s_n) \} P1​,n(S1​)={u1(s1),u2​(s2​)...,un​(sn​)}
• 对于每个实际问题，可供选择的策略有一定的范围，称为 允许策略集合
• 使整个问题达到最优效果的策略就是最优策略
• 状态转移方程：确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。若给定第k阶段状态变量 $S_k$ 的值，如果该段的决策变量 $U_k(S_k)$ 一经确定，第k+1阶段的状态变量 $S_{k+1}$ 的值也就完全确定
  

• 指标函数：用来衡量所选定策略优劣的数量指标
• 分为两种：阶段指标函数和过程指标函数
• 阶段指标函数：从状态 $S_k$ 出发，采取决策 $U_k$ 时的效益。用 $V_k(S_k,U_k)$ 表示
• 对于一个n段决策过程，从1到n叫问题的原过程
• 对于一个任意给定的$K（1\le k\le n）$,从第k段到第n段的过程称为原过程的一个后部子过程
• $V_{1,n}(s_1,P_{1,n})$ :表示初始状态为 $s_1$ 采用策略为 $P_{1,n}$时原过程的指标函数值
• $V_{k,n}(s_k,P_{k,n})$ ：表示初始状态为 $s_k$ 采用策略为 $P_{k,n}$ 时后部子过程的指标函数值
• 最优指标函数 $f_k(S_k)$ 表示从第k段状态 $S_k$ 采用最优策略 $P_{k,n}^{\ast }$ 到过程终止时的最优指标函数值
• $f_k(S_k)$ 与 $V_{k,n}(S_k,P_{k,n})$ 的关系：
• $f_k(S_k)=V_{k,n}(S_k,P_{k,n}^{\ast })=opt{V}_{k,n}(S_k,P_{k,n})$ opt:min或max
• 最优值函数表示从第k阶段的状态 $S_k$ 开始到第n阶段的终止状态的过程，采取最优策略所得到的指标函数值

例子：求从A到E的最短路问题

逆推解法:
基本思路：逆着阶段顺序的方向，由后向前推算。

• 把寻求最优策略看作连续递推过程，从最终阶段开始，逆着实际过程的进展方向逐段求解
• 在每一阶段求解过程中都是其后部子过程最优策略的基础上，再考虑阶段的指标函数，求出本阶段的最优策略
• 直到第一阶段为止

动态规划逆序解法的基本方程（都是利用了第k段和第k+1段的关系）

动态规划最优指标的递推方程，是动态规划的基本方程
f k ( S k ) = o p t { V k ( S k , U k ) + f k + 1 ( S k + 1 ) } f_k(S_k) = opt\{V_k(S_k,U_k)+f_{k+1}(S_{k+1})\} fk​(Sk​)=opt{Vk​(Sk​,Uk​)+fk+1​(Sk+1​)} k=n,……，2,1

$f_{n+1}(S_{n+1})=0$ 0表示终端（边界）条件：为了使以上的递推方程有递推的起点

动态规划基本方程的五个基本要素：

• 将多阶段决策过程划分成恰当的阶段
• 正确选取状态变量，使其满足无后效性
• 确定决策变量及每阶段的允许决策集合
• 正确写出状态转移方程
• 正确写出指标函数的关系