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DeepSORT(目标跟踪算法) 卡尔曼滤波 状态向量是如何映射到观测向量(测量向量)的即观测矩阵的构建方式_卡尔曼滤波状态向量和观测向量

卡尔曼滤波状态向量和观测向量

DeepSORT(目标跟踪算法) 卡尔曼滤波 状态向量是如何映射到观测向量(测量向量)的即观测矩阵的构建方式

flyfish
测量向量和观测变量在卡尔曼滤波的上下文中通常是同一个意思。它们都指的是从系统中直接获得的数据,这些数据用于更新系统的状态估计。可以是从传感器或测量设备直接获得的数据。这些数据反映了系统在某一时刻的状态或者实际观测到的值,但通常带有噪声。

状态向量映射到观测向量的过程通过观测矩阵 H \mathbf{H} H 实现。观测矩阵 H \mathbf{H} H 描述了系统状态如何映射到观测值。下面通过一个具体的例子来详细说明这一过程。

构造观测矩阵 H \mathbf{H} H 的步骤包括:

  1. 定义状态变量:明确系统的状态变量。
  2. 定义观测变量:明确系统的观测变量。
  3. 写出观测方程:根据观测变量和状态变量之间的关系写出观测方程。
  4. 构造观测矩阵:根据观测方程提取观测矩阵 H \mathbf{H} H

例子:一维位置和速度的观测

假设我们有一个物体在一维直线上运动,我们希望估计其位置和速度,并且我们可以直接观测到位置,但不能直接观测到速度。

定义状态变量

状态向量定义为:
x k = [ x k v k ] \mathbf{x}_k = [xkvk] xk=[xkvk]
其中, x k x_k xk 是位置, v k v_k vk 是速度。

观测模型

我们可以直接测量位置 x k x_k xk,但不能直接测量速度 v k v_k vk。因此,观测向量定义为:
z k = [ z k ] \mathbf{z}_k = [zk] zk=[zk]
其中, z k z_k zk 是我们观测到的位置。

观测方程

观测方程描述了观测向量如何由状态向量生成。在这个例子中,观测向量只包含位置,因此观测矩阵 H \mathbf{H} H 为:
z k = H x k + v k \mathbf{z}_k = \mathbf{H} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k zk=Hxk+vk
其中, v k \mathbf{v}_k vk 是观测噪声。

对于这个例子,观测矩阵 H \mathbf{H} H 是:
H = [ 1 0 ] \mathbf{H} = [10] H=[10]

这样,观测方程可以写成:
z k = 1 ⋅ x k + 0 ⋅ v k + v k z_k = 1 \cdot x_k + 0 \cdot v_k + v_k zk=1xk+0vk+vk

即:
z k = x k + v k z_k = x_k + v_k zk=xk+vk

构造观测矩阵 H \mathbf{H} H

通过上面的分析,我们得到了观测矩阵 H \mathbf{H} H
H = [ 1 0 ] \mathbf{H} = [10] H=[10]

另一个例子:二维位置和速度的观测

假设我们有一个物体在二维平面上运动,我们希望估计其二维位置和速度,并且我们可以直接观测到位置,但不能直接观测到速度。

定义状态变量

状态向量定义为:
x k = [ x k y k v x , k v y , k ] \mathbf{x}_k = [xkykvx,kvy,k] xk= xkykvx,kvy,k
其中, x k x_k xk y k y_k yk 是位置, v x , k v_{x,k} vx,k v y , k v_{y,k} vy,k 是速度。

观测模型

我们可以直接测量位置 x k x_k xk y k y_k yk,但不能直接测量速度 v x , k v_{x,k} vx,k v y , k v_{y,k} vy,k。因此,观测向量定义为:
z k = [ z x , k z y , k ] \mathbf{z}_k = [zx,kzy,k] zk=[zx,kzy,k]
其中, z x , k z_{x,k} zx,k z y , k z_{y,k} zy,k 是我们观测到的位置。

观测方程

观测方程描述了观测向量如何由状态向量生成。在这个例子中,观测向量只包含位置,因此观测矩阵 H \mathbf{H} H 为:
z k = H x k + v k \mathbf{z}_k = \mathbf{H} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k zk=Hxk+vk
其中, v k \mathbf{v}_k vk 是观测噪声。

对于这个例子,观测矩阵 H \mathbf{H} H 是:
H = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] \mathbf{H} = [10000100] H=[10010000]

这样,观测方程可以写成:
[ z x , k z y , k ] = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] [ x k y k v x , k v y , k ] + [ v x , k v y , k ] [zx,kzy,k] = [10000100] [xkykvx,kvy,k] + [vx,kvy,k] [zx,kzy,k]=[10010000] xkykvx,kvy,k +[vx,kvy,k]

即:
[ z x , k z y , k ] = [ x k y k ] + [ v x , k v y , k ] [zx,kzy,k] = [xkyk] + [vx,kvy,k] [zx,kzy,k]=[xkyk]+[vx,kvy,k]

构造观测矩阵 H \mathbf{H} H

通过上面的分析,我们得到了观测矩阵 H \mathbf{H} H
H = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] \mathbf{H} = [10000100] H=[10010000]

测量向量(Measurement Vector)

测量向量包含实际观测或测量得到的数据。它通常是状态向量的一部分或线性变换。

  • 记作 z k \mathbf{z}_k zk,反映了系统在时间 k k k 的观测数据。

观测矩阵(Observation Matrix)

观测矩阵将状态向量映射到测量向量,表示从状态向量到测量向量的关系。它定义了哪些状态变量是可观测的以及如何被观测。

  • 记作 H k \mathbf{H}_k Hk,用于从状态向量中提取测量向量:
    z k = H k x k + v k \mathbf{z}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k zk=Hkxk+vk

关系与应用

  • 测量向量与观测矩阵:观测矩阵 H k \mathbf{H}_k Hk 描述了如何从状态向量 x k \mathbf{x}_k xk 中提取测量向量 z k \mathbf{z}_k zk。例如,如果我们只能测量位置而不能直接测量速度,那么观测矩阵可能是: H k = [ 1 0 ] \mathbf{H}_k =
    [10]
    Hk=[10]

例子

假设我们要跟踪一个在平面上运动的物体,其状态包括位置和速度:

  • 状态向量 x k \mathbf{x}_k xk: x k = [ x k y k x ˙ k y ˙ k ] \mathbf{x}_k =
    [xkykx˙ky˙k]
    xk= xkykx˙ky˙k
    这里 x k x_k xk y k y_k yk 是位置, x ˙ k \dot{x}_k x˙k y ˙ k \dot{y}_k y˙k 是速度。
  • 状态转移矩阵 A k \mathbf{A}_k Ak: A k = [ 1 0 Δ t 0 0 1 0 Δ t 0 0 1 0 0 0 0 1 ] \mathbf{A}_k =
    [10Δt0010Δt00100001]
    Ak= 10000100Δt0100Δt01
    这表示位置随时间步长 Δ t \Delta t Δt 变化。
  • 测量向量 z k \mathbf{z}_k zk: z k = [ z x k z y k ] \mathbf{z}_k =
    [zxkzyk]
    zk=[zxkzyk]
    这里 z x k z_{x_k} zxk z y k z_{y_k} zyk 是测量得到的位置。
  • 观测矩阵 H k \mathbf{H}_k Hk: H k = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] \mathbf{H}_k =
    [10000100]
    Hk=[10010000]
    这表示我们只测量位置,而速度不可测。

在卡尔曼滤波中,预测步骤利用状态转移矩阵和控制输入预测系统的下一个状态。具体步骤如下:

测量向量通过观测矩阵可以得到预测测量值。这一过程是将状态向量映射到测量空间的关键步骤,用于比较实际测量值和预测测量值,从而更新状态估计。观测矩阵和测量残差一起在卡尔曼滤波器中发挥作用,使得状态估计更加准确和可靠。

观测矩阵的作用

观测矩阵(Observation Matrix)描述了状态向量与测量向量之间的关系。它将状态向量映射到测量空间,使得可以从状态向量中提取出测量向量。

测量向量与预测测量值

假设系统的状态向量为 x k \mathbf{x}_k xk,测量向量为 z k \mathbf{z}_k zk,观测矩阵为 H k \mathbf{H}_k Hk。观测矩阵将状态向量映射到测量空间,得到预测测量值(或估计测量值) z ^ k \hat{\mathbf{z}}_k z^k
z ^ k = H k x k \hat{\mathbf{z}}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k z^k=Hkxk

具体步骤

  1. 预测步骤:利用状态转移矩阵和控制输入预测下一时刻的状态向量 x ^ k ∣ k − 1 \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} x^kk1
  2. 计算预测测量值:利用观测矩阵 H k \mathbf{H}_k Hk 将预测状态向量 x ^ k ∣ k − 1 \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} x^kk1 转换为预测测量值 z ^ k \hat{\mathbf{z}}_k z^k
    z ^ k = H k x ^ k ∣ k − 1 \hat{\mathbf{z}}_k = \mathbf{H}_k \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} z^k=Hkx^kk1
  3. 更新步骤:比较预测测量值 z ^ k \hat{\mathbf{z}}_k z^k 和实际测量值 z k \mathbf{z}_k zk,计算测量残差 y k \mathbf{y}_k yk,并用它来更新状态向量和误差协方差矩阵。

例子

假设我们跟踪一个物体,其状态向量包括位置和速度:
x k = [ x k y k x ˙ k y ˙ k ] \mathbf{x}_k = [xkyk˙xk˙yk] xk= xkykx˙ky˙k
假设我们只能测量位置,而不能直接测量速度,观测矩阵可以表示为:
H k = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] \mathbf{H}_k = [10000100] Hk=[10010000]
假设在时间步长 k k k 的预测状态向量为:
x ^ k ∣ k − 1 = [ 10 15 1 − 1 ] \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = [101511] x^kk1= 101511
观测矩阵将状态向量映射到测量空间,得到预测测量值:
z ^ k = H k x ^ k ∣ k − 1 = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] [ 10 15 1 − 1 ] = [ 10 15 ] \hat{\mathbf{z}}_k = \mathbf{H}_k \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} = [10000100] [101511] = [1015] z^k=Hkx^kk1=[10010000] 101511 =[1015]

测量残差和更新

实际测量值可能为:
z k = [ 11 14 ] \mathbf{z}_k = [1114] zk=[1114]
测量残差(或创新)为:
y k = z k − z ^ k = [ 11 14 ] − [ 10 15 ] = [ 1 − 1 ] \mathbf{y}_k = \mathbf{z}_k - \hat{\mathbf{z}}_k = [1114] - [1015] = [11] yk=zkz^k=[1114][1015]=[11]
测量残差用于更新预测状态,使其更接近实际测量值。更新后的状态向量和误差协方差矩阵通过卡尔曼增益 K k \mathbf{K}_k Kk 进行修正:
x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K k y k \hat{\mathbf{x}}_{k|k} = \hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k \mathbf{y}_k x^kk=x^kk1+Kkyk
P k ∣ k = ( I − K k H k ) P k ∣ k − 1 \mathbf{P}_{k|k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k|k-1} Pkk=(IKkHk)Pkk1

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