常见拓扑结构的DCM和CCM状态推导_ccm dcm

CCM和DCM的讨论

当使用无方向的器件（双向电流流通，比如开关管）时，由于电感的续流和外加电压，可能造成电感电流下降为0之后电流反向，最典型的就是同步整流Buck电路，由于没有二极管的存在，系统不会出现DCM。DCM通常是发生在电感电流纹波很大且系统中有单向导通器件（如二极管）时，当负载较轻时，系统通常会处于DCM，由于CCM和DCM稳态增益、传递函数等不一样，就造成了其控制环路设计较复杂，因此负载调整率是衡量一个电源系统是否稳定的重要标志，下面结合几种常见的电路进行分析，推导其稳态的关系式。稳态时有如下原则。

1.电感的幅秒平衡（可以理解为电感电流的增加量和减少量相等，或者理解为电感磁通的增加量和减少量相等）和电容的电荷平衡(有的也说是充电平衡或者平均电流为0)原则；

2.小纹波近似，纹波幅值和频率远小于稳态量的幅值和频率；比如电容电压Vc=Vo；但电感电流纹波不能忽略，当处于BCM（Boundary Conductor mode）时，电感纹波等于其直流分量。显然由BCM可以推导出临界值。

buck电路

如图是buck电路的基本电路，先推导CCM/DCM的临界条件

状态1，开关管导通时，电感电流线性上升，注意fundamental of power electronic 上定义电流的纹波是2$\Delta i_L$
$$\Delta i_L=\frac{V_g-V}{2L}D{T}_s{i}_C=i_L-\frac{V}{R}{u}_L=V_g-V$$
状态2，开关管关断时，电感电流线性下降
$$\Delta i_L=\frac{-V}{2L}{D}^{\prime }{T}_s{i}_C=i_L-\frac{V}{R}{u}_L=-V$$
CCM条件是D+D’=1，此时由电感伏秒定理(或 $\Delta i_L+=-\Delta i_L-$)，解得上述等式有（注意符号）
$$M=\frac{V}{V_g}=D$$
DCM 条件下D+D’ $\neq$1，此时

状态3
$$\Delta i_L=0i_C=\frac{-V}{R}{u}_L=0$$
BCM时电感电流的峰值=$2\Delta i_L$与负载无关，而负载电流与R有关，当R变化时，由于电容充电平衡，因此电感电流平均值与负载电流平均值始终相等。一个很好的理解就是，当出现BCM时，ipk保持不变，那么要维持与负载电流相等，那么此时三角形的底会变得越来越小（D’时间从1-D变得越来越小），因此就会出现断续导通的情况。
$$Max(<i_L>)=\frac{1}{2}{i}_{pk}max(D+D^{\prime })=\frac{V}{2L}{D}^{\prime }{T}_s=\frac{V}{R}$$
由此可以知道，定义K为系统工作在DCM的程度，无量纲
$$K=\frac{2L}{R{T}_s}<K_{crit}=D^{\prime }$$

下面推导由电感的幅秒平衡可得
$$M=\frac{V}{V_g}=\frac{D}{D+D^{\prime }}\text{\hspace{1em}(a)}$$
DCM时，电感电流和电流纹波是一样的波形，即$i_L(t)=\Delta i_L(t)$，带入可以电容安秒平衡可以计算出
$$D{T}_s\left(\frac{V_g-V}{2L}D{T}_s-\frac{V}{R}\right)+D^{\prime }{T}_s\left(\frac{-V}{2L}{D}^{\prime }{T}_s-\frac{V}{R}\right)+\frac{-V}{R}(1-D-D^{\prime })T_s=0$$
上式解方程较复杂，实际上，将上述方程化简后就是下面的方程，这个方程表明当电容平均电流为0时，可知，电感的平均电流与负载电流相等
$$<i_L>=\frac{1}{2}{i}_{pk}(D+D^{\prime })T_s=(V_g-V)\frac{D{T}_S}{2L}(D+D^{\prime })=\frac{V}{R}\text{\hspace{1em}(b)}$$
由方程a和b可以找到稳态增益关系
$$M=\frac{V}{Vg}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{4K}{D^2}}}K=\frac{2L}{R{T}_s}$$

boost电路

如图是boost电路的基本结构

状态1，开关管导通，电感电流线性上升，输出电容进行放电，此时有
$$\Delta i_L=\frac{V_g}{2L}D{T}_s{i}_C=-\frac{V}{R}{u}_L=V_g$$
状态2，开关管断开，电感电流线性减小，输出电容进行充电，此时有
$$i_D=\Delta i_L=\frac{V_g-V}{2L}{D}^{\prime }{T}_s{i}_C=i_L-\frac{V}{R}{u}_L=V_g-V$$
当处于CCM时， $D+D^{\prime }=1$，此时，由伏秒平衡原理（或 $\Delta i_L+=-\Delta i_L-$）可以得出
$$M=\frac{V}{V_g}=\frac{1}{1-D}$$
DCM 条件下D+D’ $\neq$1，此时 有

状态3，开关管断开，电感电流减小至0，输出电容给负载供电，此时有
$$\Delta i_L=0i_C=-\frac{V}{R}{u}_L=0$$
同样的，判断当处于BCM时，电感电流的峰值与负载无关，但电感平均电流等于平均输入电流，那么此时对应的最大平均电流是
$$<i_L>max=\frac{1}{2}{i}_{pk}Max(D+D^{\prime })=\frac{V_{g}D{T}_s}{2L}=\frac{VD{D}^{\prime }{T}_s}{2L}=\frac{V}{D^{\prime }R}$$
由此可得临界K（衡量系统处于DCM程度的量，无量纲）
$$K_{crit}=D{D}^{\prime 2}K=\frac{2L}{R{T}_s}$$

同样利用电感电压伏秒平衡原理
$$V_{g}D{T}_s+(V_g-V)D^{\prime }{T}_s=0\to M=\frac{V}{V_g}=\frac{D+D^{\prime }}{D^{\prime }}\text{\hspace{1em}(a)}$$
处于DCM时，电感电流和纹波电流波形是一样的。带入计算电容充电平衡有
$$-\frac{V}{R}D{T}_S+\left(\frac{V_g-V}{2L}{D}^{\prime }{T}_s-\frac{V}{R}\right)D^{\prime }{T}_s+(-\frac{V}{R})(1-D-D^{\prime })T_s=0$$
显然，由于电容的平均电流为0，那么二极管平均电流等于负载平均电流，上式可以做简化
$$\frac{1}{2}{i}_{pk}{D}^{\prime }{T}_s=\frac{V_{g}D{D}^{\prime }{T}_s}{2L}=\frac{V}{R}\text{\hspace{1em}(b)}$$
由（a）和（b）可以计算出DCM的稳态增益是
$$M=\frac{V}{V_g}=\frac{1+\sqrt{1+\frac{4D^2}{K}}}{2}K=\frac{2L}{R{T}_s}$$

Buck-Boost电路

如图是Buck-Boost的基本电路

状态1：开关管导通时，电感电流线性上升，电容给负载供电
$$\Delta i_L=\frac{V_g}{2L}D{T}_s{i}_C=-\frac{V}{R}{u}_L=V_g$$
状态2：开关管关断时，电感续流，电感电流线性下降
$$i_D=\Delta i_L=\frac{V}{2L}{D}^{\prime }{T}_s{i}_C=-i_L-\frac{V}{R}{u}_L=V$$
当处于CCM时， $D+D^{\prime }=1$，此时，由伏秒平衡原理（或 $\Delta i_L+=-\Delta i_L-$）可以得出
$$M=\frac{V}{V_g}=-\frac{D}{1-D}$$
当处于DCM时， $D+D^{\prime }\ne 1$,，关断时电感的平均电流等于负载平均电流
$$<i_L>=\frac{V}{R{D}^{\prime }}=\frac{V}{2L{D}^{\prime }{T}_s}\to k_{crit}=D^{\prime 2}$$
状态3：电容给负载放电
$$i_L=i_D=0i_C=-\frac{V}{R}{u}_L=0$$
由电感伏秒平衡有
$$M=-\frac{D}{D^{\prime }}\text{\hspace{1em}(a)}$$
由电容充电平衡方程得
$$（-\frac{V}{R}）D{T}_S+(-\frac{V}{2L}{D}^{\prime }{T}_s-\frac{V}{R})D^{\prime }{T}_s+(-\frac{V}{R})(1-D-D^{\prime })T_S=0\text{\hspace{1em}(b)}$$
由（a）和（b）可得
$$M=-\frac{D}{\sqrt{K}}$$

flyback电路

如图是反激电源基本电路，这里先只考虑单端输出反激电源

状态1：开关管闭合时，原边电感电流线性增大，副边二极管截止，电容给负载供电。
$$\Delta i_L=\frac{V_g}{2L_m}D{T}_s{i}_C=-\frac{V}{R}{U}_L=V_g$$
状态2：开关管断开，原边的激磁能量耦合到副边，副边二极管导通，给电容充电，给负载供电
$$i_D=\Delta i_L=\frac{V}{2L_s}{D}^{\prime }{T}_s{i}_C=i_L-\frac{V}{R}{u}_L=V$$
当处于CCM时(D+D’=1)，根据伏秒平衡原理，这里注意$\Delta i_L+\ne \Delta i_L-$ ，上式满足关系 $\Delta i_L+=\frac{1}{n}\Delta i_L-L_m=n^2{L}_s$，带入可以计算出
$$M=\frac{V}{V_g}=\frac{Dn}{1-D}$$
当处于DCM时， $D+D^{\prime }\ne 1$,电容的充放电平衡，负载上的平均电流与二极管的平均电流相等，由此可以计算出
$$<i_{Ls}>max=\frac{V}{2L_s}{D}^{\prime }{T}_s{D}^{\prime }=\frac{V}{R}\to K_{crit}=n^2(1-D{)}^{2}K=\frac{2L_m}{R{T}_s}$$
反激变换器一般是处于DCM工作模式，也就是说，通过负载电流和上面的临界值可以大致确认Lm的大小。

通过伏秒平衡或者或 $\Delta i_L+=-\Delta i_L-$ 得到下式
$$M=\frac{V}{V_g}=\frac{nD}{D^{\prime }}\text{\hspace{1em}(a)}$$
再由电容的电荷平衡可得
$$\frac{V}{2L_s}{D}^{\prime }{T}_s{D}^{\prime }=\frac{V}{R}\text{\hspace{1em}(b)}$$
结合a和b式可以计算出
$$M=\frac{D}{\sqrt{K}}K=\frac{L_m}{R{T}_s}$$

总结

上述推导，都是基于两个和三个开关模态，使用小文波近视的方法结合电感伏秒平衡和电容充放电平衡推导来的。式中定义了一个K值，这个值无量纲，是用来反应系统趋于DCM工作的程度，都定义为$2L/R{T}_s$，值越小说明约趋于DCM即K<Kcrit时处于DCM模式。