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Skellam分布（两泊松分布变量差的分布）

作者：喵喵爱编程 | 2024-07-31 21:06:46

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skellam分布

泊松分布变量和的再生性

两泊松分布变量差的Skellam分布

一般来说，两个具有泊松分布的随机变量之和组成的新变量还是泊松分布，而两个的差却并不再是泊松分布，而是Skellam分布，这个是与两项分布和正态分布不同的地方，后两者具有随机变量和与差的再生性质。也由此可见随机变量分布的再生性不具有可逆性，而这种不可逆性可能是由于泊松分布的随机变量是离散数值的原因。

泊松分布变量和的再生性

一般用随机分布的特征函数来证明一个随机分布是否具有再生性。下面先证明泊松分布的和的再生性。

泊松分布的概率密度函数为：

$p(k;\mu)=\frac{\mu^{k}}{k!}e^{-\mu}$

其中 $\mu$ 为平均值， $k\geq 0$ 。一般用 $X\sim \pi(\mu)$ 来表示泊松分布。

泊松分布的特征函数可以用特征函数的定义来求：

$\phi(t)=\sum^{\infty}_{k=1}p_{k}e^{itx_{k}}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{\mu^{k}}{k!}e^{-\mu}e^{itk}=e^{-\mu}\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(\mu e^{it})^{k}}{k!}=e^{-\mu}e^{\mu e^{it}}=e^{\mu(e^{it}-1)}$

利用特征函数的性质，若 $X_{1},\cdot \cdot \cdot ,X_{n}$ 相互独立：

$Y=\sum^{n}_{j=1}X_{j}$

则有

$\phi_{Y}(t)=\prod^{n}_{j=1}\phi_{X_{j}}(t)$

即相互独立随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积。

将上式用于泊松函数， $X_{1}\sim \pi(\mu_{1})$ , $X_{2}\sim \pi(\mu_{2})$ ，且 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 相互独立，则设新变量为 $Y=X_{1}+X_{2}\sim \pi(\mu_{1}+\mu_{2})$ ，由特征函数的上述性质：

$\phi_{Y}(t)=\phi_{X_{1}}(t)\phi_{X_{2}}(t)=e^{\mu_{1}(e^{it}-1)}e^{\mu_{2}(e^{it}-2)}=e^{(\mu_{1}\mu_{2})(e^{it}-1)}$

上式右端正是泊松分布 $\pi(\mu_{1}+\mu_{2})$ 的特征函数，另由描述特征函数与分布函数之间一一对应的唯一性定理知： $Y\sim\pi(\mu_{1}+\mu_{2})$ 。

两泊松分布变量差的Skellam分布

下面我们介绍两个具有泊松分布的随机变量之差 $K=X_{1}-X_{2}$ 的分布，Skellam分布。其密度函数分布为两个泊松分布的卷积：

$p(k;\mu_{1},\mu_{2})=\sum^{\infty}_{n=-\infty}p(k+n;\mu_{1})p(n;\mu_{2}) \\ =e^{-(\mu_{1}\mu_{2})}\sum^{\infty}_{n=max(0,-k)}\frac{\mu_{1}^{k+n}\mu_{2}^{n}}{n!(k+n)!}$

由于对于泊松分布来说， $p(N<0;\mu)=0$ ，即负k取值为零，则求和项中只保留 $n\geq 0$ 和 $n+k\geq 0$ ，另外上式满足：

$\frac{p(k;\mu_{1},\mu_{2})}{p(-k;\mu_{1},\mu_{2})}=\left ( \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}} \right )^{k}$

所以：

$p(k;\mu_{1},\mu_{2})=e^{-(\mu_{1}+\mu_{2})}\left ( \frac{\mu_{1}}{\mu_{2}} \right )^{k/2}I_{|k|}(2\sqrt{\mu_{1}\mu_{2}})$

其中 $I_{k}(z)$ 是第一类修正贝塞尔函数（modified Bessel functions），其函数形式为：

$I_{\alpha}(x)=i^{-\alpha}J_{\alpha}(ix)=\sum^{\infty}_{m=0}\frac{1}{m!\Gamma(m+\alpha+1)}\left ( \frac{x}{2} \right )^{2m+\alpha}$

当 $\alpha$ 为整数时，取极限值。其中 $J_{\alpha}$ 为贝塞尔微分方程的第一类解：

$J_{\alpha}(x)=\sum^{\infty}_{m=0}\frac{(-1)^{m}}{m!\Gamma(m+\alpha+1)}\left ( \frac{x}{2} \right )^{2m+\alpha}$

两者极为相似但是差一个系数 $(-1)^{m}$ 。

其概率密度函数如图所示：

当 $\mu_{1}=\mu_{2}=\mu$ 时：

$p(k;\mu,\mu)=e^{-2\mu}I_{|k|}(2\mu)$

其期望和方差分别为：

$E(n)=\mu_{1}-\mu_{2}$

$\sigma^{2}=\mu_{1}+\mu_{2}$

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