经典论文翻译--Minimum Snap Trajectory Generation and Control for Quadrotors

这篇论文是无人机路径规划和控制领域的经典文章，这里给出中文译文，翻译是逐渐进行的，不保证正确率，如有错误请指出。

四旋翼最小加加加速度轨迹生成和控制

摘要：我们解决了四旋翼在一个三维空间内的室内紧密约束环境下的控制设计和轨迹生成问题。在这样的设置中，很有必要允许显著的探索从悬停状态和小角度假设对横滚和俯仰角的控制是不够的。我们开发了一种算法，允许通过一组x、y、z、yaw序列实时生成三维最优路径，并且满足速度加速度和输入约束。一个非线性控制器确保了轨迹的跟踪。试验结果证明了这一方法在快速动态轨迹的应用（5-10 机体长度/秒）。

一、引言

略

二、模型

坐标系统包括世界坐标系W和机体坐标系$\Beta $，和旋翼编号规定在图一中显示。因为我们想要控制意味着原理平衡态，为了避免奇异，我们使用旋转矩阵来表示坐标朝向（现在一般用四元数来表示姿态，这一块的思想可以借鉴）。我们也使用Z-X-Y欧拉角定义横滚角、俯仰角、偏航角（r,p,y）作为本地坐标系统。从B至W的旋转矩阵通过 ${}^w{R}_{\mathrm{B}}{=}^w{R}_C{\cdot }^C{R}_{\mathrm{B}}$ 来表示，${}^W{R}_C$代表偏航角旋转至中间坐标系${}^C{R}_{\mathrm{B}}$代表roll和pitch的效果。机器人角速度记做$w_{bW}$，记B在W中的角速度和p、q、r分量在机载坐标系中的分量为：
$$w_{bW}=p{X}_{\mathrm{B}}+q{Y}_{\mathrm{B}}+r{z}_{\mathrm{B}}$$
每个电机有角速度$w_i$，产生一个力$F_i$和$M_i$，关系为：
$$F_i=k_F{w}_i^2$$
$$M_i=k_M{w}_i^2\text{\hspace{1em}(1)}$$
实际上，本文认为电机动力学与刚体动力学和气动学相比是相当快的，在本文的工作中认为其目前可以即刻生效的（电机可以立刻到达指定转速）。因此控制输入记做 u，$u_1$是净升力，$u_2$、$u_3$、$u_4$是机体力矩可以通过电机转速表示为
u = [ k F k F k F k F 0 k F L 0 − k F L − k F L 0 k F 0 k M − k M k M − k M ] [ w 1 2 w 2 2 w 3 2 w 4 2 ] (2) u=\left [

$$\begin{matrix}k_{F}& k_{F}&k_{F}&k_{F}\\ 0& k_{F}L&0&-k_{F}L\\-k_{F}L&0&k_{F}&0\\k_{M}&-k_{M}&k_{M}&-k_{M}\end{matrix}$$ \right ]\left[ $$\begin{matrix} w_{1}^{2}\\w_{2}^{2}\\w_{3}^{2}\\w_{4}^{2}\end{matrix}$$ \right] \tag2 u=⎣⎢⎢⎡​kF​0−kF​LkM​​kF​kF​L0−kM​​kF​0kF​kM​​kF​−kF​L0−kM​​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​w12​w22​w32​w42​​⎦⎥⎥⎤​(2)
其中L是电机旋转中心到电机中心的距离。
世界坐标系下的质量中心的位置向量记做$r$。系统受力为$-z_w$方向上的重力，和每个电机的合力在$z_{\mathrm{B}}$方向上的$u_1$。牛顿方程为：
$$m\ddot{r}=-mg{z}_W+u_1{z}_{\mathrm{B}}$$
角加速度由欧拉等式确定：
$$\dot{w}$$