Paper Reading — 3D Gaussian Splatting_3d gaussian splatting对角尺度矩阵

1. 3D Guassian 概述

3D GS的工作是在SFM生成的点云基础上，初始化一个一个呈3D Gaussian分布的椭球体来进行三维空间的表达。类似mesh三角面片，3D高斯分布的椭球体也可以作为基元来进行三维的空间表达（魔城迷踪）。和mesh的区别就是把基元从三角面片换成了3D Gaussian分布的椭球体。
通过把这些椭球体Splatting到图像平面上，并与真实的GT图像计算Loss，使用梯度下降对3D Gaussian椭球体的参数进行优化。这个过程的示意图如下：

一个3D Guassian分布的椭球体Splatting到2D图像上的示意图：

2. 3D Guassian分布函数

3D高斯分布函数是高斯分布在三维空间的扩展，它的数学表达如下：

3D Guassian分布的中心坐标为：

下式为3D Guassian分布的协方差矩阵，其中每个σ都表示在该方向上高斯分布的情况，σ的值越大说明数据分布的越离散。假设每个方向上的σ值相同，那么它是个圆，不然它就是个椭圆。
σxx为x方向的方差，σxy为x,y方向的协方差，其他同理。

当x，y，z分量之间相互无关的时候，此时3D Guassian就成了如下特殊形式：

关于协方差矩阵，我们可以从以下几个角度来理解它的物理意义：
• 数据分布
特征向量：数据分布的主轴方向（这个主轴的方向向量是基于原始坐标系的），像下面这种标准的2D guassian分布中，特征向量就是（0，1）和（1，0），但是如果不是标准guassian分布，比如有个旋转之类的，那么特征向量方向就变了。

特征值：表示在对应特征向量方向（主轴方向）上的方差，方差就决定了在这个方向上的分布范围。方差越大，分布的越离散；方差越小，分布的越集中。
上图中这个2D guassian类比到三维，不难理解这个协方差矩阵决定了数据分布的方向和范围。
• 数据的相关性
协方差矩阵的非对角元素表示不同维度之间的相关性。如果两个维度的协方差是正的，表示这两个维度是正相关的，即一个维度增加，另一个维度也倾向于增加。如果协方差是负的，表示这两个维度是负相关的，即一个维度增加，另一个维度倾向于减少。如果协方差是零，表示这两个维度是相互独立的，没有线性相关性（比如x，y，z轴互相垂直的情况）。
• 分布的形状和大小
形状：就像前面说的，协方差矩阵的特征值和特征向量决定了高斯分布。换句话说就是决定了椭圆形状。椭圆的长轴和短轴的方向由特征向量决定，轴的长度由特征值决定。
大小：协方差矩阵的行列式（determinant）与分布的体积成正比。较大的行列式表示较大的分布范围。

3. 3D Guassian 初始化

空间中的3D Guassian分布公式如下，其中u表示Guassian椭圆的中心位置，Σ表示协方差矩阵。如前所述下方差矩阵中包含了3D Guassian分布的主轴方向（旋转），以及数据分布（伸缩）

在3D GS的工作中，3D Guassian初始化被化简成：

可以看到公式中$$u=0$$表示在初始化椭球的时候先默认椭球的中心就在坐标原点。Σ表示旋转和缩放，原文中指出，不是所有的协方差矩阵都可以表达一个椭球，只有半正定的协方差矩阵才能表达一个椭球，所以设计了如下的协方差矩阵，其中s表示伸缩，R表示旋转。

3D Guassian的协方差矩阵特征值表示在主轴上的分布范围，对于椭球而言它必须是非负的。而半正定矩阵的特征值都是非负的，对称矩阵被称为半正定矩阵(这是解释为什么：半正定的协方差矩阵才能表达一个椭球)。

4. Splatting过程

4.1 3D空间中的分布变化

公式如下：

通过前面的内容，我们已经通过Σ确定了 gaussian 椭圆的形状与旋转，然后通过sfm的先验坐标信息确定μ ，也就是这个gaussian椭圆在世界坐标中的位置。
首先，通过外参矩阵W，可以将gaussian 椭圆的分布从世界空间转换到相机空间；
然后，通过雅各比矩阵J做一次project（类似透视投影），将透视空间变得和像素对齐，这样才能进行光栅化，示意图如下，原本是标准的透视投影，做了一次projcet之后，变成了平行投影，物体在空间中发生了形变。

需要做project的原因是：在进行光栅化之前，需要将透视空间转换为与像素对齐的屏幕空间。
光栅化：用于将三维图形对象转换成二维图像。输入三维模型的几何数据，如顶点和面，将三维模型转换到二维屏幕坐标系中，确定哪些像素在屏幕上被每个多边形覆盖（处理前后遮挡），计算每个像素的颜色值，包括光照、纹理等效果，最终得到二维图像。
这一节中，将3D gaussian从世界空间转到相机空间，然后再做一次project 将透视空间变得和像素对齐。

4.2 3D->2D Splatting

OK，4.1中我们已经通过W和J两个矩阵变换，将透视空间与画布像素对齐，这时候对Gaussian椭球分布函数在第三维度上进行积分，就可以得到椭球在某个像素上的着色。
精彩的来了：根据3D高斯的特点，沿着某一轴线积分的结果是一个2D高斯，所以这里可以直接用2D高斯替换积分过程。与Nerf相比具有天然的优势：Nerf是用离散累加的方式来拟合连续积分，这将不可避免地存在误差。

5. 优化过程

5.1 3D Guassian的待优化参数

• position-μ
3D高斯椭圆的中心位置（基于世界坐标）

• covariance-Σ
包含旋转、放缩参数

• α
3D guassian椭圆的不透明度

• C-color
f_rest和f_dc为球谐函数的参数，球谐函数可以理解为一组基函数，组合在一起用于表示color。当然由于在不同角度，球谐函数的参数不同，也就可以在不同角度上表现出不同的颜色。

5.2 Guassian 椭圆密度调整

• 对于透明度α很小的高斯椭圆（有个阈值），去除掉
• 对于位置梯度较大的高斯椭圆（梯度较大说明这个位置基于高斯椭圆的三维重建效果有问题，不够平滑）：

协方差的行列式表示高斯椭圆的分布体积
（1）体积较大的高斯椭圆进行分裂
（2）体积较小的高斯椭圆进行clone

6. 整体pipline