计算机中的定点二进制 浮点数二进制

    在计算机中二进制定点表示方法有原码、反码、补码。
    所谓原码就是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。
    反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对正数逐位取反，符号位保持为1.
    补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1
    详情可参考：反码 https://baike.baidu.com/item/反码/769985?fr=aladdin

IEEE浮点表示

    IEEE，是一个国际性的电子技术与信息科学工程师的协会，是目前全球最大的非营利性专业技术学会，IEEE 754 标准是IEEE二进位浮点数算术标准（IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic）的标准编号。

    IEEE 浮点标准表示： V = (-1)^s * M * 2^E 。

        ①、s 是符号位，为0时表示正，为1时表示负。

        ②、M为尾数，是一个二进制小数，它的范围是0至1-ε，或者1至2-ε（ε的值一般是2-k次方，其中设k > 0）

        ③、E为阶码，可正可负，作用是给尾数加权。

    我们将浮点数的位划分为三个阶段，分别对这些值进行编码。

        一、一个单独的符号位 s 直接编码符号 s

        二、k 位的阶码字段 exp =ek-1ek-2…e1e0 编码阶码E

        三、n 位小数字段 frac = fn-1fn-2…f1f0 编码尾数 M，但是编码出来的值也依赖于阶码字段的值是否等于0.

    一般来说，现在的编译器都支持两种浮点格式，一种是单精度，一种是双精度。单双精度分别对应于编程语言当中的float和double类型。其中float是单精度的，采用32位二进制表示，其中1位符号位，8位阶码以及23位尾数。double是双精度的，采用64位二进制表示，其中1位符号位，11位阶码以及52位尾数。

    阶码E 的位模式exp既不全为0（数值0），也不全为1（单精度8位1，数值为255，双精度11位，数值为2047）。

    这种情况下，阶码字段被解释为以偏置形式表示的有符号整数。”偏置”的含义就是在原有的值的基础上加上一个偏移量，对于阶码位数为k的情况来说，偏移量Bias = 2k-1-1。假设e是阶码的无符号数值，那么真实的阶码E = e - Bias。

    单精度阶码位数为8，则Bias = 127。由于8位阶码下的规格化的浮点数的阶码范围是1至254，因此真实阶码的范围则为-126至127。

—————————— 浮点数的表示范围 ——————————
通过上面的规格化表示，我们可以很容易确定浮点数的表示范围：

既然有表示范围，那肯定也有不能表示的数值：
首先来说明溢出值，如下图：

(1)无穷值：

如果指数E=111111112=25510E=111111112=25510且尾数M=0M=0，则根据符号位S分别表示+∞+∞和−∞−∞。因此，一个有效的32位浮点数其指数最大只能为254。

此外，无穷具有传递性，比如

(+∞) + (+7) = (+∞)

(+∞) × (−2) = (−∞)

(+∞) × 0 = NaN

(2)零值：

如果指数E=0E=0且尾数M=0M=0时，表示机器0.需要注意的是，这里的0也是有符号的，在数值比较的时候 +0=−0+0=−0； 但在一些特殊操作下，二者并不显相等，比如log(x)log⁡(x), 1+0≠1−01+0≠1−0。

此外，处于负下溢出和负上溢出之间的数值会被直接归为0。

(3)NAN：

如果E=0且尾数M≠0，则表示这个值不是一个真正的值（Not A Number）。NAN又分成两类：QNAN（Quiet NAN）和SNAN（Singaling NAN）。QNAN与SNAN的不同之处在于，QNAN的尾数部分最高位定义为1，SNAN最高位定义为0；QNAN一般表示未定义的算术运算结果，如0000, ∞×0∞×0, sqrt(−1)sqrt(−1)；SNAN一般被用于标记未初始化的值，以此来捕获异常。

十进制浮点数转二进制

十进制小数的二进制表示：

整数部分：除以2，取出余数，商继续除以2，直到得到0为止，将取出的余数逆序

小数部分：乘以2，然后取出整数部分，将剩下的小数部分继续乘以2，然后再取整数部分，一直取到小数部分为零为止。如果永远不为零，则按要求保留足够位数的小数，最后一位做0舍1入。将取出的整数顺序排列。

举例：22.8125 转二进制的计算过程：

整数部分：除以2，商继续除以2，得到0为止，将余数逆序排列。
22 / 2 11 余0
11/2 5 余 1
5 /2 2 余 1
2 /2 1 余 0
1 /2 0 余 1
得到22的二进制是10110

小数部分：乘以2，取整，小数部分继续乘以2，取整，得到小数部分0为止，将整数顺序排列。
0.8125x2=1.625 取整1,小数部分是0.625
0.625x2=1.25 取整1,小数部分是0.25
0.25x2=0.5 取整0,小数部分是0.5
0.5x2=1.0 取整1,小数部分是0，

得到0.8125的二进制是0.1101

结果：十进制22.8125等于二进制00010110.1101