CRC_crc长除法

代数学的一般性算法

在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为
1·x⁶+1·x⁵+0·x⁴+0·x³+1·x²+0·x+1，即 x⁶+x⁵+x²+1。

设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。

发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为
T(x)=x^rP(x)+R(x)

接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。

举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x³+x²，G(x)=x³+x+1，计算CRC的过程为

       xrP(x)      x3(x3+x2)      x6+x5                     x
      -------- = ---------- = -------- = (x3+x2+x) + --------
        G(x)        x3+x+1       x3+x+1                  x3+x+1

即 R(x)=x。注意到G(x)最高幂次r=3，得出CRC为010。

如果用竖式除法，计算过程为

                1110
             -------    
       1011 /1100000      (1100左移3位)
             1011
             ----
              1110
              1011
              -----
               1010
               1011
               -----
                0010
                0000
                ----
                 010

因此，T(x)=(x⁶+x⁵)+(x)=x⁶+x⁵+x, 即 1100000+010=1100010

如果传输无误，

        T(x)      x6+x5+x
       ------ = --------- = x3+x2+x,
        G(x)      x3+x+1

无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。

上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。

下表中列出了一些见于标准的CRC资料：

     *   生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB7。
     ** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。