等面积圆柱投影的简单证明

在上一篇文章《等面积圆柱投影的证明》中，我们成功证明了【正轴等面积切圆柱投影】确实能够等面积地投影地球，但证明过程中用到了微积分，这可是对许多人来说很头疼的高等数学，所以我们换一种简单的证法，只要熟悉初等几何和一点极限的思想，就能看懂。

正轴等面积切圆柱投影又称“兰勃特等积圆柱投影”。设将圆柱投影面与球面上赤道相切，按等面积条件，用数学方法将经纬线网投影到圆柱面上。经线为等距平行直线，纬线为垂直经线的平行直线，纬线间隔随纬度增加而缩小。角度与长度变形在高纬度地带很显著。适于赤道附近地区的地图。

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地球表面上任意一块小矩形（宽和高无穷小），等积投影到圆柱上，得到另一个小矩形，和原来相比，这个矩形的宽x和高y分别缩放了多少？首先分析宽，球面矩形的宽是所在纬线φ的半径乘以经度的微元dλ：RCos(φ)dλ；而投影矩形的宽就是是半径乘以经度的微元：Rdλ。下图是地球的俯视图，当dλ趋于0，弧线段就成了直线段。

投影前后的x的比值就是图中2个半径之比，也就是说，矩形的宽x放大至1/Cos(φ)倍，也就是Sec(φ)倍，宽放大了，矩形的高自然要缩小：在地球的侧视图中，当纬度的微元dφ无穷小，y无穷小，一小段经线投影到圆柱上正好扫过一个直角梯形，梯形的斜边是原始线段y，斜边的对边是投影线段yCos(φ)，直角梯形的角度就是φ：

因此，小矩形的高被放大至Cos(φ)倍，而宽又缩小了Cos(φ)倍，宽乘以高的面积仍然是xy，不变，所以球面上任何小矩形等面积投影后面积不变，而球面任何不规则图形都可以由若干小矩形组成，因此等面积投影下的世界地图中，每个国家的面积都不会失真。相较于利用积分公式来证明，这种证明方法更简单更直观，下面这张图形象地表明了不同纬度的面积扭曲情况。