2024年第五届“华数杯”全国大学生数学建模竞赛A赛题解析

2024 年第五届“华数杯”全国大学生数学建模竞赛浅析
问题 A：机械臂关节角路径的优化设计 问题 1：绘制简图并优化路径

问题简述： 绘制零位状态的六自由度机器臂简图，建立机器臂运动的数学模型，以最小化 末端误差为目标，对机器臂的关节角路径进行优化，给定目标点相对于机器臂 的位置。 建模思路： ⚫ 建模思路： ➢ 绘制简图：根据表 1 中机器臂初始参数，绘制零位状态的六自由度机 器臂简图。 ➢ 建立数学模型：使用 Denavit - Hartenberg（D - H）方法建立机器臂运 动的数学模型，通过坐标变换确定机器臂末端的位置与关节角的关系。 ➢ 优化关节角路径：以最小化末端误差为目标，将末端误差表示为目标 点与机器臂末端位置之间的欧式距离，通过优化算法求解关节角路径。 参考代码： import numpy as np

问题 2：考虑能耗优化路径

问题简述： 在问题 1 的基础上，考虑机器臂质量和末端载重之和以及各个关节的转动惯量 和平均角速度，以最小化末端误差和能耗为目标，对机器臂的关节角路径进行 优化，给定末端误差允许的范围。

建模思路：

⚫ 建模思路： ➢ 能耗计算：根据各个关节的转动惯量和平均角速度，计算关节转动产 生的能耗。 ➢ 多目标优化：将末端误差和能耗作为目标函数，建立多目标优化模型。 可以使用加权求和或其他多目标优化方法将其转化为单目标优化问 题，然后通过优化算法求解关节角路径。 参考代码：

问题 3：设计底座和关节路径

 问题简述： 在问题 2 的基础上，机器臂需要绕过障碍物抓取一个货物，底座先移动到目标 点附近，然后进行抓取动作，以最小化末端误差和能耗为目标，设计最优底座 移动路径和最优关节角路径，并将底座移动路径用栅格图可视化，给定货物和 障碍物的位置。

建模思路： ⚫ 建模思路： ➢ 底座移动路径规划：根据栅格图中货物和障碍物的位置，使用路径规 划算法（如 A*算法）设计最优底座移动路径，确保底座能够绕过障碍 物到达目标点附近关节角路径优化：在底座移动到目标点附近后，以最小化末端误差和 能耗为目标，优化关节角路径。可以结合问题 2 中的方法，同时考虑 底座位置的约束。 ➢ 栅格图可视化：将底座移动路径用栅格图可视化，清晰展示底座的移 动轨迹。

问题 4：抓取多个货物的规划

问题简述： 假设机器臂需要绕过障碍物抓取多个货物，以最小化末端误差和能耗为目标， 设计最优底座移动路径和关节角路径，并将底座移动路径用栅格图可视化，给 定货物和障碍物的位置，明确给出总末端误差和总能耗。 建模思路： ⚫ 建模思路： ➢ 多货物任务规划：对于多个货物的抓取任务，需要合理规划底座的移 动路径和关节角路径，以最小化总末端误差和总能耗。可以依次对每 个货物进行处理，结合问题 3 中的方法，优化每个货物的抓取过程。 ➢ 总末端误差和总能耗计算：在完成所有货物的抓取后，计算总末端误 差和总能耗，作为评估结果的指标。

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