【算法系列之动态规划】子序列篇_动态规划 子序列

300.最长递增子序列

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给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
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解决思路

1. 初始化设置每个元素都是长度为1的递增子序列
2. dp[i]是以nums[i]为结尾的递增子序列。
3. 递推公式：dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);。可能nums[i-1]是比前后两个都大的，那么该数字不在子序列中。如果最后的数字比前一个大，那么以最后一个数字构成的子序列长度是不如前一个的。

Java实现

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
}
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674. 最长连续递增序列

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给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。 
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解决思路

1. 连续递增子序列，只需要比较前面一个元素，就可以找到递推公式。

Java实现

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            if (nums[i] > nums[i - 1]) {
                dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
}
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718. 最长重复子数组

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给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。

输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。
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解决思路

1. 因为递推公式就是如果元素相等，当前长度等于上一个元素的长度+1。但是第一个元素不好初始化。所以很多解法用到了dp[len1+1][len2+1]。
2. 最大值不是最后的元素，而是遍历所有元素的dp的最大值。

Java实现

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length;
        int len2 = nums2.length;
        int[][] dp = new int[len1][len2];
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < nums1.length; i++) {
            for (int j = 0; j < nums2.length; j++) {
                if (i == 0 || j == 0) {
                    if (nums1[i] == nums2[j]) {
                        dp[i][j] = 1;
                    }
                } else if (nums1[i] == nums2[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                if (dp[i][j] > max) {
                    max = dp[i][j];
                }
            }
        }
        return max;
    }
}
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1143.最长公共子序列

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给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

• 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
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解决思路

1. dp数组的含义：dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
2. 如果当前字符相同，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;；如果当前字符不同， dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);。
3. 这里和子序列的不同的是递增子序列里面的元素都是符合递增的属性的，而重复元素中的序列是不需要满足都是相同的属性。

Java实现

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int len1 = text1.length();
        int len2 = text2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            char char1 = text1.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                char char2 = text2.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}
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1035.不相交的线

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在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

• nums1[i] == nums2[j]
• 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
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解决思路

1. 原理和最长公共子序列是一样的。
2. 求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！

Java实现

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length;
        int len2 = nums2.length;
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            int num1 = nums1[i - 1];
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                int num2 = nums2[j - 1];
                if (num1 == num2) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                }
            }
            System.out.println(Arrays.toString(dp[i]));
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}
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53. 最大子数组和

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给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
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解决思路

1. dp[i]:以i为结尾的最大连续子序列和
2. 递推公式：dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);。根据前一个dp，判断是否大于0。

Java实现

class Solution_LC53 {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        dp[0] = nums[0];
        int res = nums[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
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392.判断子序列

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给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

进阶：

如果有大量输入的 S，称作 S1, S2, … , Sk 其中 k >= 10亿，你需要依次检查它们是否为 T 的子序列。在这种情况下，你会怎样改变代码？

输入：s = "abc", t = "ahbgdc"
输出：true
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解决思路

1. 最长公共子序列的扩展。当s和t的公共子序列长度等于s的长度，那么s就是t的子序列。
2. dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
3. 递推公式：由于s不可以减少字符，t是可以减少的。所以递推公式当字符不相等的时候， dp[i][j] = dp[i][j-1];
4. 子序列可以类比成字符串删除操作变成另一个字符串。

Java实现

class Solution_LC392 {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        int len1 = s.length();
        int len2 = t.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            char char1 = s.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                char char2 = t.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i][j-1];
                }
            }

        }
        return s.length() == dp[len1][len2];
    }
}
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115.不同的子序列

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给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数。

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

输入：s = "rabbbit", t = "rabbit"
输出：3
解释：
如下所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。
rabbbit
rabbbit
rabbbit
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解决思路

1. dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
2. 当字符相等时， dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];；当字符不相等时， dp[i][j] = dp[i - 1][j];。
3. 初始化。dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

Java实现

    public int numDistinct(String s, String t) {
        int len1 = s.length();
        int len2 = t.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
           for (int i = 0; i <=len1; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            char char1 = s.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                char char2 = t.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
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583. 两个字符串的删除操作

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给定两个单词 word1 和 word2 ，返回使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数。

每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。

输入: word1 = "sea", word2 = "eat"
输出: 2
解释: 第一步将 "sea" 变为 "ea" ，第二步将 "eat "变为 "ea"
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解决思路

1. 可以求最长公共子序列的长度，两个字符串的长度之和减去公共子序列的长度。
2. dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
3. 如果字符相等，直接删除；如果字符不等，删去字符串1的最后字符或者删除字符串2的最后字符。
4. 初始化。要考虑空字符串。一个字符串不为空，一个字符串是空字符串，减去的长度等于不为空的字符串的长度。

Java实现

    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for (int i = 0; i <= len1; i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= len2; j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            char char1 = word1.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                char char2 = word2.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
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72. 编辑距离

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给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')
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解决思路

1. dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
2. 递推公式：如果字符串相等， dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];；如果字符串不等，min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
3. 初始化，对于空串的处理，和上题一样。

Java实现

class Solution_LC72 {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for (int i = 0; i <= len1; i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= len2; j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            char char1 = word1.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                char char2 = word2.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j])) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
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647. 回文子串

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给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"
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解决思路

1. 遍历顺序，由于需要dp[i + 1][j - 1]，所以遍历顺序是由下面往上面遍历，左边往右边遍历。即i从len-1遍历，j从i遍历到len-1
2. i==j，回文；i-j=1，i的字符和j的字符相同，回文。i和j的字符相同，dp[i + 1][j - 1]是回文的，dp[i][j]也是回文的。
3. j永远是比i大的。

Java实现

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int len = s.length();
        //表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        int res = 0;
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < len; j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    if (j - i <= 1) {
                        dp[i][j] = true;
                        res++;
                    } else if(dp[i + 1][j - 1]){
                        dp[i][j] = true;
                        res++;
                    }
                }
            }
        }
        return res;
    }
}
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516.最长回文子序列

力扣题目链接

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 
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解决思路

1. 如果字符串相等，减去字符的字符串的子序列长度，回文长度+2；如果字符串不等，那么就判断(dp[i + 1][j]和dp[i][j - 1])哪一个是回文。
2. 继续用到了和上题一样的遍历顺序。

Java实现

class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int len = s.length();
        int[][] dp = new int[len][len];
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            dp[i][i] = 1;
            char char1 = s.charAt(i);
            for (int j = i + 1; j < len; j++) {
                char char2 = s.charAt(j);
                if (char1 == char2) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][len - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int res = new Solution().longestPalindromeSubseq("bbbab");
        System.out.println(res);
    }
}
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