《树的概念及结构》_通过树的基本概念的学习,讨论为何要学习树这种层次结构?在信息世界中,树结构又有

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前言

• 什们是树？
  • 树是一种 非线性的数据结构，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

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树

（1）树的特点

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
2. 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3. 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

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（2） 树的相关概念

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（3） 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间
的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法
等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

child为指向第一个孩子的指针
brother指向其下一个兄弟节点
data为值域

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（4） 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

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二叉树

（1） 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合要么为空，要么是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

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（2） 二叉树的特点

二叉树的特点

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

现实中的二叉树：

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（3） 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为h，且结点总数是 $2^h$ -1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

注：完全二叉树就是前n-1层是满的，最后一层可以不满，但必须是从左到右连续的

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（4） 二叉树的性质

满二叉树的节点个数为：$2^h$ -1，h为层数
完全二叉树的节点个数：为一个区间[$2^{h-1}-1$ ,$2^h$ -1)，左闭右开，h为层数

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是$2^h$ -1 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有$n_0$ ＝ $n_2$＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=${\log }_2^{n+1}$ . (ps：${\log }_2^{n+1}$ 是log以2
   为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
   若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

注：假设父母序号为i
左孩子序号：2i+1
右孩子序号：2i+2

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（5） 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

1. 顺序存储
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

逻辑结构是我们自己想的，物理结构是真实存在的

2. 链式存储
   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链

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有关二叉树节点的两个小题

1.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B）
A 11
B 10
C 8
D 12

解析：我们知道完全二叉树的节点数目范围是[$2^{h-1}-1$ ,$2^h$ -1)
所以我们直接将其带入即可，
$2^{10-1}-1$ = 511 < 531,
$2^{10}$ -1 = 1023>531

2.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点（度为0的节点）个数为（B）
A 383
B 384
C 385
D 386
解析：我们知道二叉树的特点
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有$n_0$ ＝ $n_2$＋1

所以 $n_0$ + $n_1$＋ $n_2$ = 767
->$2n_0$ - 1+ $n_1$=767
由于完全二叉树的$n_1$只能为0或者1，所以我们将0或者1带入即可
$2n_0$ = 384

小题总结知识：

1：完全二叉树的$n_1$只能为0或者1
2：完全二叉树的节点数目范围是[$2^{h-1}-1$ ,$2^h$ -1)
3:对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有$n_0$ ＝ $n_2$＋1