当前位置:   article > 正文

行阶梯矩阵(行最简形)唯一_写一个行的阶梯性矩阵

写一个行的阶梯性矩阵

【定义】行阶梯矩阵(行最简形)

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

【定理】行阶梯矩阵(行最简形)存在且唯一。

【证明】

1.关于存在性,书中已经给出了算法:

在这里插入图片描述

2.下面给出唯一性证明

利用反证法,假设矩阵 H H H经过了两种不同系列的行变换,产生了两种不同的行阶梯矩阵 H 1 , H 2 H_{1},H_{2} H1,H2
由于行阶梯矩阵的"全零列"(列元素全为0)的原矩阵对应列也必然"全零",这是因为行变换方阵的可逆性。下面只考虑行阶梯矩阵中"非全零列",原矩阵对应列也必然"非全零"。

2.1 H 1 , H 2 H_{1},H_{2} H1,H2的所有行的主元位置相同

由于第一个"非全零列"的列序号是固定的,所以,该列必然会产生一个主元。根据行阶梯矩阵的定义(c),主元所在行必然是第一个含主元的行,又因为定义(a),两种不同的行阶梯矩阵中对应的该列必然都是形如 ( 1 0 ⋮ 0 ) (100)

100
100

由于行阶梯矩阵 H 1 ≠ H 2 H_{1} \neq H_{2} H1=H2,假设第二行的主元所在列不同,为了方便证明,不妨设

H 1 = { 1 0 … … … 0 1 … … … 0 0 … … … }              H 2 = { 1 − k 1 0 … … 0 0 1 … … 0 0 0 … … } H_{1} = {100100}

100010
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H_{2} = {1k10001000}
100k100010
H1= 100010             H2= 100k100010

由于行阶梯矩阵反映了多元一次方程的解结构,所以, H 1 x → = 0 → H_{1}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H1x =0 表示 x 1 x_{1} x1可以用 x 3 、 x 4 、 x 5 x_{3}、x_{4}、x_{5} x3x4x5来表示, H 2 x → = 0 → H_{2}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H2x =0 表示 x 1 x_{1} x1可以用 x 2 、 x 4 、 x 5 x_{2}、x_{4}、x_{5} x2x4x5来表示, x 3 x_{3} x3可以用 x 4 、 x 5 x_{4}、x_{5} x4x5来表示。又由于两个行阶梯矩阵 H 1 , H 2 H_{1},H_{2} H1,H2都反映了 H x → = 0 → H\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} Hx =0 的方程的解,所以两个解的结构应该是完全一样的。利用 H 1 x → = 0 → H_{1}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H1x =0 x 1 x_{1} x1 H 2 x → = 0 → H_{2}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H2x =0 x 3 x_{3} x3解,代换 H 2 x → = 0 → H_{2}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H2x =0 中的 x 1 = k 1 x 2 + k 2 x 4 + k 5 x 5 x_{1} = k_{1}x_{2} + k_{2}x_{4} + k_{5}x_{5} x1=k1x2+k2x4+k5x5,则可得到 x 1 x_{1} x1 x 3 、 x 4 x_{3}、x_{4} x3x4的表达式。也就是说

x 1 = { k 1 x 2 + k 2 x 4 + k 3 x 5 k 4 x 4 + k 5 x 4   \begin{array}{r} x_{1} = \left\{ \begin{array}{r} k_{1}x_{2} + k_{2}x_{4} + k_{3}x_{5} \\ k_{4}x_{4} + k_{5}x_{4} \end{array}

\begin{array}{r} x_{1} = \left\{ \begin{array}{r} k_{1}x_{2} + k_{2}x_{4} + k_{3}x_{5} \\ k_{4}x_{4} + k_{5}x_{4} \end{array}
\right.\ \end{array} x1={k1x2+k2x4+k3x5k4x4+k5x4 

注意,图中 H 2 H_{2} H2的第一行第二列为非零元素,所以 x 1 = k 1 x 2 + k 2 x 4 + k 3 x 5 x_{1} = k_{1}x_{2} + k_{2}x_{4} + k_{3}x_{5} x1=k1x2+k2x4+k3x5 k 1 k_{1} k1必然不为零,且 x 2 、 x 4 、 x 5 x_{2}、x_{4}、x_{5} x2x4x5 H 2 x → = 0 → H_{2}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H2x =0 中是独立的,也就是说 x 2 x_{2} x2的取值完全不受 x 4 、 x 5 x_{4}、x_{5} x4x5的影响。可以固定 x 4 = 0 、 x 5 = 0 x_{4} = 0、x_{5} = 0 x4=0x5=0然后单独调节 x 2 x_{2} x2​。所以,上述表达式是矛盾的,从而第二行主元所在列相同。

利用数学归纳法,接下来的第三行、第四行……都可以这样证明。

2.2 H 1 , H 2 H_{1},H_{2} H1,H2的所有行的元素相同

全零行显然相等,下面仅证明第一行相等,其他行的情况类似。

假设 H 1 H_{1} H1的第一行跟 H 2 H_{2} H2的第一行不同,由于所有主元位置一样,不妨设

x 1 = { k 1 x 3 + k 2 x 4 + k 3 x 5 l 1 x 3 + l 2 x 4 + l 3 x 5   x_{1} = \left\{ k1x3+k2x4+k3x5l1x3+l2x4+l3x5

k1x3+k2x4+k3x5l1x3+l2x4+l3x5
\right.\ x1={k1x3+k2x4+k3x5l1x3+l2x4+l3x5 

其中 x 3 、 x 4 、 x 5 x_{3}、x_{4}、x_{5} x3x4x5是独立的,可以固定 x 4 = 0 、 x 5 = 0 x_{4} = 0、x_{5} = 0 x4=0x5=0然后单独调节 x 3 x_{3} x3,所以 k 1 = l 1 k_{1} = l_{1} k1=l1,同理 k 2 = l 2 、 k 3 = l 3 k_{2} = l_{2}、k_{3} = l_{3} k2=l2k3=l3

另外如果矩阵 H H H是行满秩的,所有初等行变换矩阵的乘积的结果矩阵必然唯一。

声明:本文内容由网友自发贡献,不代表【wpsshop博客】立场,版权归原作者所有,本站不承担相应法律责任。如您发现有侵权的内容,请联系我们。转载请注明出处:https://www.wpsshop.cn/w/天景科技苑/article/detail/827692
推荐阅读
相关标签
  

闽ICP备14008679号