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利用反证法,假设矩阵
H
H
H经过了两种不同系列的行变换,产生了两种不同的行阶梯矩阵
H
1
,
H
2
H_{1},H_{2}
H1,H2。
由于行阶梯矩阵的"全零列"(列元素全为0)的原矩阵对应列也必然"全零",这是因为行变换方阵的可逆性。下面只考虑行阶梯矩阵中"非全零列",原矩阵对应列也必然"非全零"。
由于第一个"非全零列"的列序号是固定的,所以,该列必然会产生一个主元。根据行阶梯矩阵的定义(c),主元所在行必然是第一个含主元的行,又因为定义(a),两种不同的行阶梯矩阵中对应的该列必然都是形如
(
1
0
⋮
0
)
(10⋮0)
由于行阶梯矩阵 H 1 ≠ H 2 H_{1} \neq H_{2} H1=H2,假设第二行的主元所在列不同,为了方便证明,不妨设
H
1
=
{
1
0
…
…
…
0
1
…
…
…
0
0
…
…
…
}
H
2
=
{
1
−
k
1
0
…
…
0
0
1
…
…
0
0
0
…
…
}
H_{1} = {10………01………00………}
由于行阶梯矩阵反映了多元一次方程的解结构,所以, H 1 x → = 0 → H_{1}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H1x =0 表示 x 1 x_{1} x1可以用 x 3 、 x 4 、 x 5 x_{3}、x_{4}、x_{5} x3、x4、x5来表示, H 2 x → = 0 → H_{2}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H2x =0 表示 x 1 x_{1} x1可以用 x 2 、 x 4 、 x 5 x_{2}、x_{4}、x_{5} x2、x4、x5来表示, x 3 x_{3} x3可以用 x 4 、 x 5 x_{4}、x_{5} x4、x5来表示。又由于两个行阶梯矩阵 H 1 , H 2 H_{1},H_{2} H1,H2都反映了 H x → = 0 → H\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} Hx =0 的方程的解,所以两个解的结构应该是完全一样的。利用 H 1 x → = 0 → H_{1}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H1x =0 的 x 1 x_{1} x1和 H 2 x → = 0 → H_{2}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H2x =0 的 x 3 x_{3} x3解,代换 H 2 x → = 0 → H_{2}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H2x =0 中的 x 1 = k 1 x 2 + k 2 x 4 + k 5 x 5 x_{1} = k_{1}x_{2} + k_{2}x_{4} + k_{5}x_{5} x1=k1x2+k2x4+k5x5,则可得到 x 1 x_{1} x1用 x 3 、 x 4 x_{3}、x_{4} x3、x4的表达式。也就是说
x
1
=
{
k
1
x
2
+
k
2
x
4
+
k
3
x
5
k
4
x
4
+
k
5
x
4
\begin{array}{r} x_{1} = \left\{ \begin{array}{r} k_{1}x_{2} + k_{2}x_{4} + k_{3}x_{5} \\ k_{4}x_{4} + k_{5}x_{4} \end{array}
注意,图中 H 2 H_{2} H2的第一行第二列为非零元素,所以 x 1 = k 1 x 2 + k 2 x 4 + k 3 x 5 x_{1} = k_{1}x_{2} + k_{2}x_{4} + k_{3}x_{5} x1=k1x2+k2x4+k3x5中 k 1 k_{1} k1必然不为零,且 x 2 、 x 4 、 x 5 x_{2}、x_{4}、x_{5} x2、x4、x5在 H 2 x → = 0 → H_{2}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} H2x =0 中是独立的,也就是说 x 2 x_{2} x2的取值完全不受 x 4 、 x 5 x_{4}、x_{5} x4、x5的影响。可以固定 x 4 = 0 、 x 5 = 0 x_{4} = 0、x_{5} = 0 x4=0、x5=0然后单独调节 x 2 x_{2} x2。所以,上述表达式是矛盾的,从而第二行主元所在列相同。
利用数学归纳法,接下来的第三行、第四行……都可以这样证明。
全零行显然相等,下面仅证明第一行相等,其他行的情况类似。
假设 H 1 H_{1} H1的第一行跟 H 2 H_{2} H2的第一行不同,由于所有主元位置一样,不妨设
x
1
=
{
k
1
x
3
+
k
2
x
4
+
k
3
x
5
l
1
x
3
+
l
2
x
4
+
l
3
x
5
x_{1} = \left\{ k1x3+k2x4+k3x5l1x3+l2x4+l3x5
其中 x 3 、 x 4 、 x 5 x_{3}、x_{4}、x_{5} x3、x4、x5是独立的,可以固定 x 4 = 0 、 x 5 = 0 x_{4} = 0、x_{5} = 0 x4=0、x5=0然后单独调节 x 3 x_{3} x3,所以 k 1 = l 1 k_{1} = l_{1} k1=l1,同理 k 2 = l 2 、 k 3 = l 3 k_{2} = l_{2}、k_{3} = l_{3} k2=l2、k3=l3
另外如果矩阵 H H H是行满秩的,所有初等行变换矩阵的乘积的结果矩阵必然唯一。
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