机器学习中的欠拟合和过拟合

定义

     欠拟合 (Underfitting):

• 定义：模型在训练数据和测试数据上都表现不佳。这表明模型没有很好地捕捉数据中的趋势。
• 现象：训练集和测试集准确率都很低。
• 原因：模型过于简单，参数过少，无法捕捉数据的复杂关系。

     过拟合 (Overfitting):

• 定义：模型在训练数据上表现非常好，但在测试数据上表现不佳。这表明模型捕捉到了训练数据中的噪声和细节，而不是数据的整体趋势。
• 现象：训练集准确率高，测试集准确率低。
• 原因：模型过于复杂，参数过多，导致对训练数据的过度拟合。

图形表达——以线性回归为例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
 
# 设置随机数种子
np.random.seed(666)
 
# 解决中文显示问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
 
# 生成数据
x = np.random.uniform(-3, 3, size=100)
X = x.reshape(-1, 1)
y = 0.5 * x**2 + x + np.random.normal(0, 1, size=100)
 
# 绘制原始数据
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.scatter(X, y, label='原始数据', color='blue')
 
# 模拟欠拟合：线性回归
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=5)
linear = LinearRegression()
linear.fit(X_train, y_train)
y_predict = linear.predict(X_test)
plt.plot(x, linear.predict(X), color='red', label='线性回归 (欠拟合)')
print(f"线性回归训练集均方误差: {mean_squared_error(y_train, linear.predict(X_train)):.4f}")
print(f"线性回归测试集均方误差: {mean_squared_error(y_test, y_predict):.4f}")
 
# 模拟合适拟合：二次回归
X2 = np.hstack([X, X**2])
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X2, y, random_state=5)
linear.fit(X_train, y_train)
y_predict2 = linear.predict(X_test)
plt.plot(np.sort(x), linear.predict(X2)[np.argsort(x)], color='green', label='二次回归 (合适拟合)')
print(f"二次回归训练集均方误差: {mean_squared_error(y_train, linear.predict(X_train)):.4f}")
print(f"二次回归测试集均方误差: {mean_squared_error(y_test, y_predict2):.4f}")
 
 
# 模拟过拟合：高次多项式回归
X10 = np.hstack([X2, X**3, X**4, X**5, X**6, X**7, X**8, X**9, X**10])
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X10, y, random_state=5)
linear.fit(X_train, y_train)
y_predict3 = linear.predict(X_test)
plt.plot(np.sort(x), linear.predict(X10)[np.argsort(x)], color='orange', label='高次多项式回归 (过拟合)')
print(f"高次多项式回归训练集均方误差: {mean_squared_error(y_train, linear.predict(X_train)):.4f}")
print(f"高次多项式回归测试集均方误差: {mean_squared_error(y_test, y_predict3):.4f}")
 
# 添加图例和标签
plt.xlabel('x 值', fontsize=14)
plt.ylabel('y 值', fontsize=14)
plt.title('欠拟合、合适拟合和过拟合示例', fontsize=16)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid(True)
 
# 显示图形
plt.show()
 

 一次回归训练集均方误差: 3.0496
一次回归测试集均方误差: 3.1531
二次回归训练集均方误差: 1.0951
二次回归测试集均方误差: 1.1119
高次多项式回归训练集均方误差: 0.9992
高次多项式回归测试集均方误差: 1.4146

        测试集和训练集上 的均方误差随着模型复杂度提高而减小，拟合效果越好，但在很多高次项加入时出现了过拟合。