哈夫曼树和哈夫曼编码_哈夫曼 解压时间复杂度

哈夫曼树和哈夫曼编码 HUFFMAN

1. 哈夫曼树

1. 引例：将百分制的考试成绩转换成五分制的成绩，且考虑学生成绩的分布的概率
   

   • 判定方式一
     • 代码逻辑
       
     • 二叉判定树
       
     • 查找效率
       
   • 判定方式二
     • 代码逻辑
       
     • 二叉判定树
       
     • 查找效率
       
   • 我们发现，第二种判定树的搜索效率更好

2. 核心问题：如何根据结点不同的查找频率构造更有效的搜索树？

3. 哈夫曼树

   • 带权路径长度(WPL)：设二叉树有 n 个叶子结点，每个叶子结点带有权值 $w_k$，从根结点到每个叶子结点的长度为 $l_k$，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是：$WPL={\Sigma }_{k=1}^n{w}_k{l}_k$。
   • 最优二叉树 or 哈夫曼树：即 WPL 最小的二叉树

4. 哈夫曼树的构造：即构造一棵二叉树，同时使得 WPL 值最小

   • 构造方式：每次把权值最小的两棵二叉树合并
   • 算法实现思路
     • 从当前“叶子结点列表”中取出两个最小的结点合并成一个二叉树，新的二叉树结点权值是这两个结点权值的和，并且将这个结点添加到“叶子结点列表”中去
     • 循环上述流程，直到“叶子结点列表”只有一个一个结点时，哈夫曼树构造终止
   • 代码实现逻辑：依据最小堆实现代码
     • 每次从最小堆取两个最小的结点进行合成
   • 算法分析：时间复杂度为 O(NlogN)

     HuffmanTree Huffman(MinHeap H)
     {
     	/* 假设 H->Size 个权值已经存在 H->Elements->Weight 里 */
     	/* 根据哈夫曼构建思路，一共只需要循环 n-1 次 */
     	/* 循环结束后，此时 H 中也只有一个结点了，就是根节点 */
     	HuffmanTree T;
     	BuildHeap(H); // 根据传入的 H（至少是一个完全二叉树），将 H->Elements[] 按照权值调整为最小堆
     
     	for (int i = 1; i < H->Size; i++)
     	{
     		T = (HuffmanTree)malloc(sizeof(HuffmanTreeNode));
     		T->Left = DeleteMin(H); // 从最小堆里边删除两个最小的结点，共同构建一个二叉树
     		T->Right = DeleteMin(H);
     		T->Weight = T->Left->Weight + T->Right->Weight; // 更新权值
     
     		Insert(H, T);
     	}
     
     	T = DeleteMin(H);
     	return T;
     }
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   〖例〗 有五个叶子结点，它们的权值为{1,2,3,4,5}，用此权值序列可以构造出形状不同的多个二叉树。

   • 构造一颗哈夫曼树
     
     此时 WPL = 12
   • 其他情形
     

5. 哈夫曼树的特点

   • 没有度为 1 的结点
   • 哈夫曼树的任意非叶节点的左右子树交换后仍是哈夫曼树
   • n 个叶子结点的哈夫曼树共有 2n-1 个结点
     • 简证 $n_0=n_2+1,n_1=0,n_0=n=>n_{a}ll=n_1+n_2+n_3=2n-1$
   • 对同一组权值{w1 ,w2 , …… , wn}，存在不同构的两棵哈夫曼树
     

2. 哈夫曼编码

1. 引言：给定一段字符串，我们可以对字符进行编码，我们有“等长编码”和“不等长编码”两种实现方式，那么在知道每个字符的使用频率的情况下，怎么编码才能使得字符串空间花费最小，这就是我们要研究的问题。
2. 根据上述的思考，我们很容易知道，这个编码问题和哈夫曼树的联系，路径长度就是每个字符编码的位数，每个字符的权值就是其出现的频率，二者相加求和就是对字符串编码所需要的空间大小。因此，为了实现最佳编码机制，我们需要构建一个哈夫曼二叉树去实现。
3. 二叉树编码
   • 左右分支取 0、1，且字符只存在于叶节点上
     • 等长二叉树编码
     • 不等长二叉树编码（通过哈夫曼树实现则代价最小）
       • 哈夫曼编码是通过哈夫曼树实现的编码机制，其 ①确保编码无二义性 ②总代价最小（$cost={\Sigma }_1^n频率\times 路径长度$）
   • 举例：假设四个字符频率为 a：4，u：1，x：2，z：1
     
     
4. 不等长编码的注意：要避免二义性！！！即任何字符的编码都不能是另一字符编码的前缀，否则无法解码。
5. 哈夫曼编码举例