机器学习入门之《统计学习方法》笔记——朴素贝叶斯法_请用表的训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器

原文链接
  朴素贝叶斯(naive Bayes)法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。

---

目录

文章目录

• • @[toc]
  • • 学习与分类算法
  • 小结

##朴素贝叶斯法

  设输入空间$X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为$n$ 维向量的集合，输出空间为类标记集合 Y = { c 1 , c 2 , . . . , c K } Y=\left \{ c_1,c_2,...,c_K \right \} Y={c1​,c2​,...,cK​} ，输入特征向量$x\in X$ ，输出类标记为$y\in Y$ ，$P(X,Y)$ 是$X$ 和$Y$ 的联合概率分布，数据集

T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x n , y n ) } T = \left \{ (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n) \right \} T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xn​,yn​)}

由$P(X,Y)$ 独立同分布产生。

  朴素贝叶斯法就是通过训练集来学习联合概率分布$P(X,Y)$ .具体就是从先验概率分布和条件概率分布入手，俩概率相乘即可得联合概率。

  称之为朴素是因为将条件概率的估计简化了，对条件概率分布作了条件独立性假设，这也是朴素贝叶斯法的基石，假设如下

$$P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},...,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)$$
$$k=1,2,...,K$$

  这个公式在之前的假设条件下等价于

$$\prod _{j=i}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

  对于给定的输入向量$x$ ,通过学习到的模型计算后验概率分布$P(Y=C_k|X=x)$ ，后验分布中最大的类作为$x$ 的输出结果，根据贝叶斯定理可知后验概率为

$$P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{{\sum }_{k}P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}$$

  其中${\sum }_{k}P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)\iff P(X=x)$

  所有$c_k$ 的$P(X=x)$ 都是相同的，这样我们可以把输出结果化简成

$$y=arg\underset{c_k}{\max }P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

  这样，就了解了朴素贝叶斯法的基本原理了，下面要介绍的是参数估计。

##参数估计

###极大似然估计

  我们已经知道对于给定的输入向量$x$ ，其输出结果可以表示为

$$y=arg\underset{c_k}{\max }P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

  可以使用极大似然估计法来估计相应的概率。先验概率$P(Y=c_k)$ 的极大似然估计是

$$P(Y=c_k)=\frac{\sum _{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N},k=1,2,...,K$$

   设第$j$ 个特征$x^{(j)}$ 可能的取值的集合为$\left\{a_{j1},a_{j2},...,a_{j{s}_j}\right\}$ ，条件概率$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)$ 的极大似然估计是

$$P(X^{(j)}=a_{jl},Y=c_k)=\frac{\sum _{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{\sum _{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}$$

$$j=1,2,...,n;l=1,2,...,S_j;k=1,2,...,K$$

学习与分类算法

  下面给出朴素贝叶斯法的学习与分类算法。

####算法 (朴素贝叶斯算法)

输入: 训练数据 T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x n , y n ) } T = \left \{ (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n) \right \} T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xn​,yn​)} , 其中$x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(n)}{)}^T$ ，$ x_i^{(j)}\in \left { a_{j1} ,a_{j2} ,…,a_{js_j} \right }$ ，$j=1,2,...,n$ ，$l=1,2,...,S_j$ ， y i ∈ { c 1 , c 2 , . . . , c K } y_i \in \left \{ c_1,c_2,...,c_K \right \} yi​∈{c1​,c2​,...,cK​} ；实例$x$ ；

输出: 实例$x$ 的分类.

(1) 计算先验概率及条件概率

$$P(Y=c_k)=\frac{\sum _{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N},k=1,2,...,K$$

$$P(X^{(j)}=a_{jl},Y=c_k)=\frac{\sum _{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{\sum _{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}$$

$$j=1,2,...,n;l=1,2,...,S_j;k=1,2,...,K$$

(2) 对于给定的实例$x=(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(n)}{)}^T$ ，计算

$$P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k),k=1,2,...,K$$

(3) 确定实例$x$ 的类

$$y=arg\underset{c_k}{\max }P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

例子：试由下表的训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器并确定$$x=(2,S{)}^T$$ 的类标记，表中$X^{(1)},X^{(2)}$ 为特征，$Y$ 为类标记。

python代码如下:

import numpy as np

#构造NB分类器
def Train(X_train, Y_train, feature):
    global class_num,label
    class_num = 2           #分类数目
    label = [1, -1]         #分类标签
    feature_len = 3         #特征长度
    #构造3×2的列表
    feature = [[1, 'S'],    
               [2, 'M'],
               [3, 'L']]

    prior_prob = np.zeros(class_num)                         # 初始化先验概率
    con_prob = np.zeros((class_num,feature_len,2))   # 初始化条件概率
    
    positive_count = 0     #统计正类
    negative_count = 0     #统计负类
    for i in range(len(Y_train)):
        if Y_train[i] == 1:
            positive_count += 1
        else:
            negative_count += 1
    prior_prob[0] = positive_count / len(Y_train)    #求得正类的先验概率
    prior_prob[1] = negative_count / len(Y_train)    #求得负类的先验概率
    
    '''
    con_prob是一个2*3*2的三维列表，第一维是类别分类，第二维和第三维是一个3*2的特征分类
    '''
    #分为两个类别
    for i in range(class_num):
        #对特征按行遍历
        for j in range(feature_len):
            #遍历数据集，并依次做判断
            for k in range(len(Y_train)): 
                if Y_train[k] == label[i]: #相同类别
                    if X_train[k][0] == feature[j][0]:
                        con_prob[i][j][0] += 1
                    if X_train[k][1] == feature[j][1]:
                        con_prob[i][j][1] += 1

    class_label_num = [positive_count, negative_count]  #存放各类型的数目
    for i in range(class_num):
        for j in range(feature_len):
            con_prob[i][j][0] = con_prob[i][j][0] / class_label_num[i]  #求得i类j行第一个特征的条件概率 
            con_prob[i][j][1] = con_prob[i][j][1] / class_label_num[i]  #求得i类j行第二个特征的条件概率

    return prior_prob,con_prob

#给定数据进行分类
def Predict(testset, prior_prob, con_prob, feature):
    result = np.zeros(len(label))
    for i in range(class_num):
        for j in range(len(feature)):
            if feature[j][0] == testset[0]:
                conA = con_prob[i][j][0]
            if feature[j][1] == testset[1]:
                conB = con_prob[i][j][1]
        result[i] = conA * conB * prior_prob[i]

    result = np.vstack([result,label])

    return result


def main():
    X_train = [[1, 'S'], [1, 'M'], [1, 'M'], [1, 'S'],  [1, 'S'],
               [2, 'S'], [2, 'M'], [2, 'M'], [2, 'L'],  [2, 'L'],
               [3, 'L'], [3, 'M'], [3, 'M'], [3, 'L'],  [3, 'L']]
    Y_train = [-1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1]   

    #构造3×2的列表
    feature = [[1, 'S'],    
               [2, 'M'],
               [3, 'L']]

    testset = [2, 'S']
    
    prior_prob, con_prob= Train(X_train, Y_train, feature)
    
    result = Predict(testset, prior_prob, con_prob, feature)
    print('The result:',result)

main()

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85

  得到结果:

The result: [[ 0.02222222  0.06666667]
 [ 1.         -1.        ]]
1
2

###贝叶斯估计

  极大似然估计的一个可能是会出现所要估计的概率值为0的情况，这时会影响到后验概率的计算结果，解决这一问题的方法是采用贝叶斯估计，具体的只需要在极大似然估计的基础上加多一个参数即可。

$$P_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl},Y=c_k)=\frac{\sum _{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)+\lambda }{\sum _{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+S_j\lambda },\lambda \ge 0$$

  当$\lambda =0$ 时就是最大似然估计。常取$\lambda =1$ ，这时称为拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)。

小结

  朴素贝叶斯法高效，且易于实现，但是其缺点就是分类的性能不一定很高。

原文链接：https://quanfita.cn/article/naive_bayes/
个人博客：https://quanfita.cn

##参考文章

1. 统计学习方法（四）——朴素贝叶斯法
2. 朴素贝叶斯分类器的应用
3. 李航统计学习方法——算法3朴素贝叶斯法
4. 李航《统计学习方法》朴素贝叶斯分类器实现