数学建模实验-自来水管道铺设问题_管道的最优铺设问题数学建模

自来水管道铺设问题

问题描述

问题分析

模型求解

完整代码

实验总结

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问题描述

在村村通自来水工程实施过程中，从保证供水质量以及设备维护方便角度出发，某地区需要建设一个中心供水站，8个一级供水站和30个二级供水站，各级供水站的位置坐标如表1所示，其中类型A表示中心供水站，类型V代表一级供水站，类型P为二级供水站。图是各级供水站的地理位置图。

现在要将中心供水站A处的自来水通过管道输送到一级供水站和二级供水站。按照设计要求，从中心站A铺设到一级供水站的管道为I型管道，从一级供水站出发铺设到二级供水站的管道为II型管道。

自来水管道铺设技术要求如下：

1. 中心供水站只能和一级供水站连接（铺设I型管道），不能和二级供水站直接相连，但一级供水站之间可以连接（铺设I型管道）。
2. 一级供水站可以与二级供水站相连（铺设II型管道），且二级供水站之间也可以连接（铺设II型管道）。
3. 各级供水站之间的连接管道必须从上一级供水站或同一级供水站的位置坐标出发，不能从任意管道中间的一点进行连接。
4. 相邻两个供水站之间（如果有管道相连）所需管道长度可简化为欧氏距离。

请结合上述管道铺设要求，建立数学模型，解决以下问题：

从中心供水站A出发，自来水管道应该如何铺设才能使管道的总里程最少？以图形给出铺设方案，并给出I型管道和II型管道总里程数。

问题分析

首先，我们需要明确问题的目标：从中心供水站A出发，铺设自来水管道到一级供水站和二级供水站，使得管道的总里程最少。同时，需要遵循特定的铺设规则，如中心供水站只能与一级供水站连接，一级供水站可以与二级供水站连接等。

• 确定管道类型与连接规则：
  • I型管道：连接中心供水站A与一级供水站V。
  • II型管道：连接一级供水站V与二级供水站P，或二级供水站P之间。
• 计算距离：
  • 使用欧氏距离公式计算任意两个供水站之间的距离。
• 构建数学模型：
  • 由于题目中明确给出了中心供水站A，我们可以选择从A开始使用Prim算法来构建最小生成树。

模型求解

原始数据：

原始数据散点图：

一级管道最小生成树图和总距离图：

总最小生成树图和总最小距离：

完整代码

clc;
clear;
close all;
 
A=[26 31;
    5 33;8 9;10 24;17 23;20 10;25 47;35 42;41 31];   %8个一级供水站V
B=[5 33;8 9;10 24;17 23;20 10;25 47;35 42;41 31;
    24 30;21 29;22 30;24 32;37 33;38 33;37 36;20 13;13 46;16 39;21 39;29 38;29 44;36 44;16 46;22 44;40 44;42 40;21 41;17 51;7 34;17 34;     %30个二级供水站P
   26 16;9 16;12 17;9 19;2 1;25 25;33 21;40 24];
C=[26 31;    %1个中心供水站A
      5 33;8 9;10 24;17 23;20 10;25 47;35 42;41 31;     %8个一级供水站V
      24 30;21 29;22 30;24 32;37 33;38 33;37 36;20 13;13 46;16 39;21 39;29 38;29 44;36 44;16 46;22 44;40 44;42 40;21 41;17 51;7 34;17 34;     %30个二级供水站P
      26 16;9 16;12 17;9 19;2 1;25 25;33 21;40 24];
m=length(A);    %m=9
n=length(B);      %n=38
a=zeros(39);    %带权邻接矩阵
b=zeros(39);    %无权邻接矩阵
 
for i=1:m
    for j=i+1:m
        a(i,j)=sqrt(sum((A(i,:)-A(j,:)).^2));  %中心与一级，一级之间距离
        if i>1
            a(j,i)=sqrt(sum((A(i,:)-A(j,:)).^2));  %一级供水站之间距离
        end
    end
end
 
for i=1:n
    for j=i+1:n
        a(i+1,j+1)=sqrt(sum((B(i,:)-B(j,:)).^2));   %一级与二级，二级之间距离
        if i>8
            a(j+1,i+1)=sqrt(sum((B(i,:)-B(j,:)).^2));   %二级供水站之间距离
        end
    end
end
 
total=0;      % 管道总里程数
a(find(a==0))=inf;    % prim算法
result=[];p=1;tb=2:length(a);
while length(result)~=length(a)-1
    temp=a(p,tb);temp=temp(:);
    d=min(temp);
    total=total+d;
    [jb,kb]=find(a(p,tb)==d);
    j=p(jb(1));k=tb(kb(1));
    b(j,k)=1;
    b(k,j)=1;
    result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[];
end
 
% 输出一级管道的距离
disp('一级管道的距离：');
% 初始化一级管道总距离
total_one_level = 0;
for i = 1:m
    for j = i+1:m
        if b(i, j) == 1
            distance = a(i, j);
            fprintf('从一级供水站 %d 到一级供水站 %d 的距离为 %.2f\n', i, j, distance);
            % 累加一级管道的距离
            total_one_level = total_one_level + distance;
        end
    end
end
 
fprintf('一级管道总距离为 %.2f\n', total_one_level);
 
result
total
 
% 以下为绘图部分，请将此部分放在合适的地方
A1=[26];         % 中心供水站x坐标
A2=[31];         % 中心供水站y坐标
 
V1=[5 8 10 17 20 25 35 41];       % 一级供水站x坐标
V2=[33 9 24 23 10 47 42 31];      % 一级供水站y坐标
 
P1=[24 21 22 24 37 38 37 20 13 16 21 29 29 36 16 22 40 42 21 17 7 17 26 9 12 9 2 25 33 40];                  % 二级供水站x坐标
P2=[30 29 30 32 33 33 36 13 46 39 39 38 44 44 46 44 44 40 41 51 34 34 16 16 17 19 1 25 21 24];               % 二级供水站y坐标
 
% 画线路图
scatter(A1,A2,'bo')  % 中心供水站位置
hold on;
scatter(V1,V2,'k*')  % 一级供水站位置
hold on;
scatter(P1,P2,'b.')   % 二级供水站位置
hold on;
 
xlabel('x')
ylabel('y')
gplot(b,C,'r-')
hleg=legend('中心供水站','一级供水站','二级供水站','管道','location','northeastoutside');

实验总结

通过本次实验，知道并应用了Prim算法：

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合，若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1，若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1。重复上述步骤，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边。