算法的时间复杂度和空间复杂度_死循环的时间复杂度

章节 

• 算法效率
• 时间复杂度
• 空间复杂度
• 常见时间复杂度以及复杂度oj练习

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一. 算法的效率

1. 如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

2. 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算 机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

3. 复杂度在校招中的考察

 二. 时间复杂度

1. 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知 道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

//Func1中++count语句总共执行了N^2+2N+10次
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

 2. 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶   

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

                                                                                        O(N^2)

• N = 10 F(N) = 100
• N = 100 F(N) = 10000
• N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

大O是一个渐进表示法，不会去表示精确的次数，cpu的运算速度很快，估计精确的没有意义。

3. 常见时间复杂度计算举例

1. 

// Func2的时间复杂度是O(N)
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

2. 

// Func3的时间复杂度是O(M+N)
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
     ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
     ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

3.

// Func4的时间复杂度是O(1)
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
     ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

4.

// strchr的时间复杂度O(N)
const char * strchr ( const char * str, int character );
//因为这个函数实际上查找字符函数

5. 

// BubbleSort的时间复杂度O(N^2)
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
     int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
     Swap(&a[i-1], &a[i]);
     exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
     break;
 }
}

如下：

此时计算的是排序的次数，并非是循环的次数 

最好的情况，一次就拍完，此时的排序用的次数是 N-1，也就是说时间复杂度是O( N )

最坏的情况应该是(N-1+1)(N-1)/2，等差数列求和，首项加尾项乘以项数除以2

6.

// BinarySearch的时间复杂度是log2(下标2)N
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n;
 while (begin < end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

【 注：写二分查找算法时的注意事项

1. 

int mid = begin + ((end-begin)>>1);

此行代码也是除以2，但是好处在于不仅效率更高，还能防止栈溢出，但是要注意()，因为移位操作符的优先级很低！

2. 

注意查找时左闭右闭区间和左闭右开区间时begin和end变化的对应关系和while判断条件的对应 ，不要因为while判断条件和右开时没有对应上begin以及end的变化导致漏掉了元素没有查找或者是右闭时没有对应上导致了死循环，总之，左闭右开就保持左闭右开，左闭右闭就保持左闭右闭，具体情况自己去写并分析，这里主要讨论时间复杂度】

如下图：

 二分/折半查找其实就是把一个有序的数组不断折半到最后一个元素也被查找完

所以可以用这种思想：

首先最好的情况是折半一次以后就找到了，所以时间复杂度是O( 1 )

然后是最坏的情况是根本就找不到！，所以时间复杂度应该像下面这样计算

先假设找了X次，数组长度为N，所以，在折半了X次以后把整个数组都给找完了，此时采用逆向思维，所以此时应该就是2^X = N，就可以求出 X = log2（下标2）N，所以此时时间复杂度应该是O( log2(下标2)N)

为了简便，会简写成O(logN)

另外一种方法是把不断除以2，采用正向思维，N在不断除以2了只剩下了一个元素（此时的情况就是要么找到了要么就找不到），所以最后等于 1 

7.

//阶乘递归Fac的时间复杂度是O(N)
long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

 

8.

//斐波那契递归Fib的时间复杂度是O(2^N)
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

实例答案及分析：

1. 实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

2. 实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

3. 实例3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

4. 实例4基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

5. 实例5基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最 坏，时间复杂度为 O(N^2)

6. 实例6基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底 数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）

7. 实例7通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

8. 实例8通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。（建议画图递归栈帧的二叉树理解）

三. 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

示例1：

//形参是传过来的不用算，而end，exchange，i变量是额外申请的
//所以答案是O(1)
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

示例2：

// malloc开辟的空间随n变化，O(n)
// 使用数组求出数列全部项，返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

示例3：

// 阶乘递归Fac的空间复杂度是O(n)，结合栈帧理解
long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

实例答案及分析：

1. 实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

2. 实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

3. 实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

示例4：

//斐波那契递归Fib的空间复杂度是O(N)
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

从 N-1 项开始递归，   一直递归到第二项开始回归， 也就是说，  真正意义上创建的空间是 n-1~2 项也就是说具体的空间复杂度是 n，因为回归后，当创建的栈帧被销毁后，从 N-2  递归时，使用的空间还是之前被销毁的那些空间（栈空间是向下生长的），重复利用。

也就是说：

时间一去不复返，是累积的

空间回收以后可以重复利用

四. 常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度如下：